WEBVTT

00:00:00.910 --> 00:00:03.770
Benvenuto alla lezione
sui radianti e i gradi!

00:00:03.770 --> 00:00:07.010
Credo che tu sappia già con chiarezza

00:00:07.010 --> 00:00:07.950
cosa siano i gradi,

00:00:07.950 --> 00:00:10.310
e che nelle nostre lezioni

00:00:10.310 --> 00:00:12.370
sugli angoli li usiate

00:00:12.370 --> 00:00:23.460
per gli esercizi che diamo.

00:00:23.460 --> 00:00:28.650
Saprai che un angolo retto è 90°

00:00:28.650 --> 00:00:32.630
e che 1/2 angolo retto è 45°.

00:00:32.630 --> 00:00:36.610
E forse saprai che in un cerchio --

00:00:36.610 --> 00:00:38.760
tento di fare un cerchio...

00:00:38.760 --> 00:00:41.010
ci sono 360°.

00:00:41.010 --> 00:00:44.750
Oggi vi mostrerò un altro modo per

00:00:44.750 --> 00:00:47.270
misurare gli angoli: i radianti.

00:00:47.270 --> 00:00:52.160
. . .

00:00:52.160 --> 00:00:53.450
Cos'è un radiante?

00:00:53.450 --> 00:00:55.650
Vi do una definizione e penso che basti

00:00:55.650 --> 00:00:57.105
a farvi capire perchè sia

00:00:57.105 --> 00:00:59.910
chiamato radiante.

00:00:59.910 --> 00:01:01.380
. .

00:01:01.380 --> 00:01:02.850
Facciamo un vero cerchio!

00:01:02.850 --> 00:01:10.060
. . .

00:01:10.060 --> 00:01:14.270
Ecco lo strumento adatto!

00:01:14.270 --> 00:01:14.530
OK.

00:01:14.530 --> 00:01:19.430
. . .

00:01:19.430 --> 00:01:21.630
Questo è un raggio di lunghezza r

00:01:21.630 --> 00:01:25.500
Un radiante è l'angolo che
sottende un arco.

00:01:25.500 --> 00:01:30.210
"Sottende" significa che, se questo
è l'angolo e questo l'arco,

00:01:30.210 --> 00:01:34.520
l'angolo sottende l'arco, l'arco

00:01:34.520 --> 00:01:36.020
sottende l'angolo.

00:01:36.020 --> 00:01:41.050
1 radiante, quindi, è l'angolo
che sottende un arco di

00:01:41.050 --> 00:01:44.130
lunghezza r.

00:01:44.130 --> 00:01:46.780
Quindi questo misura r.

00:01:46.780 --> 00:01:50.440
E quest'angolo è di 1 radiante.

00:01:50.440 --> 00:01:51.140
Uhm, chiariamo

00:01:51.140 --> 00:01:52.490
Usiamo un cerchio
più grande.

00:01:52.490 --> 00:01:55.010
. . .

00:01:55.010 --> 00:01:56.640
Ecco fatto.

00:01:56.640 --> 00:01:57.860
Spiegherò il perchè

00:01:57.860 --> 00:01:58.780
si usa il radiante.

00:01:58.780 --> 00:02:00.300
Tutti conosciamo i gradi.

00:02:00.300 --> 00:02:02.090
Ma, pensandoci, ha

00:02:02.090 --> 00:02:03.100
molto molto senso.

00:02:03.100 --> 00:02:05.873
Usiamo lo strumento per la linea.

00:02:05.873 --> 00:02:12.980
. . .

00:02:12.980 --> 00:02:18.990
Diciamo che questo raggio è lungo r
e che quest'arco

00:02:18.990 --> 00:02:21.460
è anch'esso lungo r.

00:02:21.460 --> 00:02:28.210
Allora, quest'angolo, detto θ (theta), 
misura 1 radiante.

00:02:28.210 --> 00:02:30.220
Adesso ha senso che lo chiamino
"radiante".

00:02:30.220 --> 00:02:32.440
è simile ad un raggio (lat. "radius")

00:02:32.440 --> 00:02:35.100
Adesso vi faccio una domanda: 
quanti radianti

00:02:35.100 --> 00:02:37.420
ci sono in una circonferenza?

00:02:37.420 --> 00:02:41.300
Se misura r, quanto misurerà 
tutta la circonferenza

00:02:41.300 --> 00:02:42.050
di un cerchio?

00:02:42.050 --> 00:02:44.630
. . .

00:02:44.630 --> 00:02:46.540
C = 2πr, vero?

00:02:46.540 --> 00:02:50.050
Lo sai grazie alla lezione di geometria.

00:02:50.050 --> 00:02:55.850
Quindi, se il radiante è l'angolo che 
sottende un arco lungo r, allora

00:02:55.850 --> 00:03:03.650
l'angolo che sottende 2πr è 2π.

00:03:03.650 --> 00:03:06.970
Quindi, quest'angolo vale 2π.

00:03:06.970 --> 00:03:12.510
. . .

00:03:12.510 --> 00:03:14.820
Se non hai capito,
proviamo così:

00:03:14.820 --> 00:03:20.390
un angolo di 2π radianti finisce
per sottendere

00:03:20.390 --> 00:03:22.650
un arco di 2π r

00:03:22.650 --> 00:03:23.500
radius o radii

00:03:23.500 --> 00:03:26.460
Non sono sicuro di come si dica il plurale di 'raggio' in latino

00:03:26.460 --> 00:03:27.110
È radianti?

00:03:27.110 --> 00:03:30.130
No, non credo

00:03:30.130 --> 00:03:32.630
Speriamo che non vi sto confondendo ora

00:03:32.630 --> 00:03:35.580
Volevo farvi capire da dove
provenga il nome e come sia

00:03:35.580 --> 00:03:38.130
legato al cerchio.

00:03:38.130 --> 00:03:41.890
Posto che in una circonferenza ci sono
2π radianti, possiamo

00:03:41.890 --> 00:03:46.980
esprimere la relazione tra radianti
e gradi.

00:03:46.980 --> 00:03:49.920
Facciamo spazio.

00:03:49.920 --> 00:03:54.190
Abbiamo detto che, in un cerchio,
ci sono 2π radianti.

00:03:54.190 --> 00:03:57.340
. . .

00:03:57.340 --> 00:03:58.970
E quanti gradi ci sono?

00:03:58.970 --> 00:04:00.800
Se percorriamo un cerchio completo,
quanti gradi abbiamo?

00:04:00.800 --> 00:04:04.360
360°.

00:04:04.360 --> 00:04:07.080
. . .

00:04:07.080 --> 00:04:07.520
E cosdì

00:04:07.520 --> 00:04:09.620
Abbiamo un'equazione per
convertire

00:04:09.620 --> 00:04:10.950
radianti e gradi.

00:04:10.950 --> 00:04:19.390
Quindi, 1 radiante = 360°/2π.

00:04:19.390 --> 00:04:22.570
Divido entrambe le parti
per 2π!

00:04:22.570 --> 00:04:27.040
Quindi otteniamo 180°/π

00:04:27.040 --> 00:04:29.710
. . .

00:04:29.710 --> 00:04:31.080
Allo stesso modo per i
gradi.

00:04:31.080 --> 00:04:34.000
Avremmo entrambi i lati divisi per 360

00:04:34.000 --> 00:04:38.530
e diremmo che 1°

00:04:38.530 --> 00:04:39.970
1 grado

00:04:39.970 --> 00:04:45.410
è uguale a 2π/360 radianti

00:04:45.410 --> 00:04:48.570
. . .

00:04:48.570 --> 00:04:53.260
E quindi π/180 radianti.

00:04:53.260 --> 00:05:00.440
Quindi possiamo convertire:
1 radiante = 180°/π

00:05:00.440 --> 00:05:05.220
e 1° = π/180 radianti.

00:05:05.220 --> 00:05:06.980
Se lo dimenticate, non succede, niente di grave.

00:05:06.980 --> 00:05:08.740
Ma non è male cercare di memorizzarlo

00:05:08.740 --> 00:05:12.520
E se doveste dimenticarlo, potete aiutarvi con la proprietà

00:05:12.520 --> 00:05:15.810
ricordando che 2π = 360°

00:05:15.810 --> 00:05:21.450
Alternativamente, forse è più semplice,

00:05:21.450 --> 00:05:26.545
pensate che metà del cerchio

00:05:26.545 --> 00:05:31.550
quest'angolo è 180 gradi

00:05:31.550 --> 00:05:35.210
. . .

00:05:35.210 --> 00:05:36.120
Indichiamo i gradi così

00:05:36.120 --> 00:05:37.810
o scriviamo 'gradi' per esteso

00:05:37.810 --> 00:05:39.680
e 180 gradi corrisponde a π radianti

00:05:39.680 --> 00:05:42.680
. . .

00:05:42.680 --> 00:05:46.250
Quindi π radianti corrisponde a 180 gradi

00:05:46.250 --> 00:05:57.250
espresso in gradi, un radiante è pari a 180/π

00:05:57.250 --> 00:06:00.940
espresso in radianti, un grado è pari a π/180

00:06:00.940 --> 00:06:02.495
Risolviamo un paio di esercizi

00:06:02.495 --> 00:06:03.540
per familiarizzarci

00:06:03.540 --> 00:06:09.010
Convertiamo 45 gradi in radianti

00:06:09.010 --> 00:06:12.440
...

00:06:12.440 --> 00:06:18.410
Sappiamo che 1 grado = π/180

00:06:18.410 --> 00:06:32.910
quindi 45 gradi = 45 * π/180

00:06:32.910 --> 00:06:36.850
Dividiamo 45/180

00:06:36.850 --> 00:06:42.360
45 ci sta 4 volte nel 180, quindi = π/180

00:06:42.360 --> 00:06:45.650
. . .

00:06:45.650 --> 00:06:49.600
45 gradi = π/4

00:06:49.600 --> 00:06:52.610
non dimenticate che queste sono unità diverse

00:06:52.610 --> 00:06:55.070
due modi differenti di misurare gli angoli

00:06:55.070 --> 00:06:56.590
La ragione d'insistere su ciò

00:06:56.590 --> 00:06:59.700
è che questo è il modo standard per misurare gli angoli

00:06:59.700 --> 00:07:01.690
in genere abbiamo più familiarità con i gradi

00:07:01.690 --> 00:07:03.030
nella vita di tutti i giorni

00:07:03.030 --> 00:07:04.920
Ancora un paio di esempi

00:07:04.920 --> 00:07:06.690
Ricordate che 1 radiante espresso in gradi

00:07:06.690 --> 00:07:08.400
è uguale a 180/π

00:07:08.400 --> 00:07:10.200
1 grado espresso in radianti = π/180

00:07:10.200 --> 00:07:12.630
scrivete questa eguaglianza per aiutarvi

00:07:12.630 --> 00:07:15.400
io me ne dimentico sempre altrimenti

00:07:15.400 --> 00:07:17.570
π/180 o 180/π

00:07:17.570 --> 00:07:21.550
Io mi ricordo che π radianti = 180 gradi

00:07:21.550 --> 00:07:23.840
Facciamone un altro

00:07:23.840 --> 00:07:33.060
Allora, π/2 corrisponde

00:07:33.060 --> 00:07:33.765
a quanti gradi?

00:07:33.765 --> 00:07:37.480
. . .

00:07:37.480 --> 00:07:40.660
Non ho fatto caso che l'avevo già scritto

00:07:40.660 --> 00:07:45.565
parto da π = 180

00:07:45.565 --> 00:07:55.720
. . .

00:07:55.720 --> 00:07:57.930
Mia moglie è appena rientrata quindi vi devo lasciare

00:07:57.930 --> 00:08:02.670
continuerò la presentazione un'altra volta

00:08:02.670 --> 00:08:05.120
Anzi, finiamo questa

00:08:05.120 --> 00:08:07.270
e poi mi occupo della moglie

00:08:07.270 --> 00:08:12.140
Allora, π = 180

00:08:12.140 --> 00:08:18.840
1 = 180 / π

00:08:18.840 --> 00:08:21.660
1 = 180 / π

00:08:21.660 --> 00:08:23.470
Me la devo riscrivere ogni volta

00:08:23.470 --> 00:08:24.490
perché me ne dimentico sempre

00:08:24.490 --> 00:08:25.500
Torniamo a noi

00:08:25.500 --> 00:08:33.160
π/2 = π/(2*180/π)

00:08:33.160 --> 00:08:38.510
π/2 = π/(2*180/π)

00:08:38.510 --> 00:08:41.585
Che corrisponde a 90 gradi

00:08:41.585 --> 00:08:47.240
.. .

00:08:47.240 --> 00:08:48.830
Facciamo un ultimo esempio

00:08:48.830 --> 00:08:54.480
. . .

00:08:54.480 --> 00:08:55.915
Calcoliamo 30 gradi

00:08:55.915 --> 00:09:00.950
. . .

00:09:00.950 --> 00:09:03.200
Come al solito, non ricordo la formula, ma ricordo che

00:09:03.200 --> 00:09:10.960
π radianti = 180 gradi

00:09:10.960 --> 00:09:19.150
1 grado espresso in radianti = π/180

00:09:19.150 --> 00:09:27.220
30 gradi è 30*π/180

00:09:27.220 --> 00:09:31.320
che dà... 180/30=6

00:09:31.320 --> 00:09:36.160
π/6

00:09:36.160 --> 00:09:39.630
Abbiamo preso la mano con queste conversioni

00:09:39.630 --> 00:09:42.070
e si capisce perché si chiamano 'radianri'

00:09:42.070 --> 00:09:45.880
visto il rapporto stretto con il raggio

00:09:45.880 --> 00:09:50.210
ci siamo familiarizzati con queste unità di misura

00:09:50.210 --> 00:09:52.410
e ormai sappiamo convertire gradi in radianti e viceversa.

00:09:52.410 --> 00:09:55.031
Alla prossima presentazione.