1
00:00:00,910 --> 00:00:03,770
Teraz opowiem o stopniach i radianach.

2
00:00:03,770 --> 00:00:06,250
Prawdopodobnie jesteście już całkiem

3
00:00:06,250 --> 00:00:07,950
zaprzyjaźnieni z pojęciem stopni.

4
00:00:07,950 --> 00:00:09,320
Z naszym wzorem kątów

5
00:00:09,320 --> 00:00:12,820
uporamy się z całkiem sporą ilością problemów.

6
00:00:12,820 --> 00:00:18,320
Pewnie już wiecie, że

7
00:00:18,320 --> 00:00:23,460
miara kąta prostego wynosi 90 stopni,

8
00:00:23,460 --> 00:00:28,650
a połowa kąta prostego - 45 stopni.

9
00:00:28,650 --> 00:00:31,470
I pewnie znacie też

10
00:00:31,470 --> 00:00:33,640
zasadę, że w kołach -

11
00:00:33,640 --> 00:00:36,340
i to jest moja najmocniejsza strona jeśli chodzi o koła -

12
00:00:36,610 --> 00:00:41,010
w kołach mamy 360 stopni.

13
00:00:41,010 --> 00:00:43,360
Dziś zamierzam wam pokazać

14
00:00:43,360 --> 00:00:45,460
inne jednostki miary kątów

15
00:00:45,460 --> 00:00:47,270
nazywane radianami.

16
00:00:52,160 --> 00:00:53,450
A więc czym jest radian?

17
00:00:53,450 --> 00:00:55,650
Zacznę od definicji

18
00:00:55,650 --> 00:00:57,100
i myślę że to wam nawet rozjaśni,

19
00:00:57,100 --> 00:00:59,910
dlaczego ta nazwa brzmi właśnie 'radian'.

20
00:00:59,910 --> 00:01:01,280
Użyję narzędzia do rysowania okręgów,

21
00:01:01,280 --> 00:01:02,850
rysując całkiem ładne koło.

22
00:01:10,060 --> 00:01:14,270
Wciąż używam narzędzia do rysowania kół.

23
00:01:14,270 --> 00:01:14,530
OK.

24
00:01:19,430 --> 00:01:21,630
To jest promień o długości r.

25
00:01:21,630 --> 00:01:25,500
Radian jest kątem który odpowiada łukowi.

26
00:01:25,500 --> 00:01:29,250
Oznacza to, że jeśli to jest kąt,

27
00:01:29,250 --> 00:01:30,980
a to jest łuk,

28
00:01:30,980 --> 00:01:34,520
to ten kąt odpowiada temu łukowi,

29
00:01:34,520 --> 00:01:36,020
a ten łuk odpowiada temu kątowi.

30
00:01:36,020 --> 00:01:36,830
A więc radian

31
00:01:37,170 --> 00:01:41,050
- jeden radian - jest kątem odpowiadającym łukowi

32
00:01:41,050 --> 00:01:44,130
o długości równej długości promienia.

33
00:01:44,130 --> 00:01:46,780
A więc jego długość także wynosi r.

34
00:01:46,780 --> 00:01:50,440
Więc ten kąt ma 1 radian.

35
00:01:50,440 --> 00:01:51,140
Zrobił się tu trochę bałagan.

36
00:01:51,140 --> 00:01:52,490
Narysuję większe koło.

37
00:01:55,010 --> 00:01:56,640
Oto ono.

38
00:01:56,640 --> 00:01:57,860
I robię to by pokazać

39
00:01:57,860 --> 00:01:58,780
po co używa się radianów.

40
00:01:58,780 --> 00:02:00,300
Wszyscy posługujemy się stopniami,

41
00:02:00,300 --> 00:02:01,480
lecz gdyby się nad tym zastanowić,

42
00:02:01,480 --> 00:02:03,100
to właściwie ma to sens.

43
00:02:03,100 --> 00:02:05,870
Teraz użyję narzędzia do rysowania linii.

44
00:02:12,980 --> 00:02:17,340
Powiedzmy że ten promień ma długość r

45
00:02:17,340 --> 00:02:21,460
a ten łuk tutaj ma także długość równą r.

46
00:02:21,460 --> 00:02:24,020
A więc ten kąt, nazwijmy go theta,

47
00:02:24,020 --> 00:02:28,210
jest równy 1 radian.

48
00:02:28,210 --> 00:02:30,220
I teraz widzimy że używanie skali radialnej ma sens.

49
00:02:30,220 --> 00:02:32,440
Jest podobny do promienia.

50
00:02:32,440 --> 00:02:33,560
A więc zadajmy sobie pytanie:

51
00:02:33,560 --> 00:02:37,420
Ile radianów jest w jednym kole?

52
00:02:37,420 --> 00:02:41,300
Jeśli to jest r,

53
00:02:41,300 --> 00:02:42,050
jaki jest pełen obwód koła?

54
00:02:44,630 --> 00:02:46,540
Jest równy 2 pi r, prawda?

55
00:02:46,540 --> 00:02:50,050
Wiemy to z podstawowych wzorów z geometrii.

56
00:02:50,050 --> 00:02:53,100
Więc jeśli radian jest tym kątem,

57
00:02:53,100 --> 00:02:55,850
który odpowiada łukowi o długości r,

58
00:02:55,850 --> 00:03:01,630
to kąt odpowiadający łukowi o długości 2 pi r

59
00:03:01,630 --> 00:03:03,650
jest równy 2 pi radianów.

60
00:03:03,650 --> 00:03:06,970
Czyli ten kąt to 2 pi radianów.

61
00:03:12,510 --> 00:03:14,820
Jeśli wciąż nie rozumiecie, spójrzcie na to w ten sposób.

62
00:03:14,820 --> 00:03:17,370
Kąt równy 2 pi radianów

63
00:03:17,370 --> 00:03:22,650
zaznacza kąt odpowiadający łukowi równemu 2 pi promieni.

64
00:03:22,650 --> 00:03:23,920
Albo promieniów.

65
00:03:23,920 --> 00:03:26,460
Nie wiem jak brzmi liczba mnoga od rzeczownika 'promień'.

66
00:03:26,460 --> 00:03:27,110
Może radiany.

67
00:03:27,110 --> 00:03:30,130
Nieważne.

68
00:03:30,130 --> 00:03:31,890
Dlaczego przechodzę przez cały ten bałagan

69
00:03:31,890 --> 00:03:32,630
zawracając wam głowy?

70
00:03:32,630 --> 00:03:34,660
Chcę tylko uświadomić wam, po pierwsze,

71
00:03:34,660 --> 00:03:36,050
skąd wzięła się nazwa 'radian'

72
00:03:36,050 --> 00:03:38,130
oraz jego związek z kołem.

73
00:03:38,130 --> 00:03:41,160
A po drugie, wiedząc że mamy 2 pi radianów w kole,

74
00:03:41,160 --> 00:03:42,550
możemy się dowiedzieć,

75
00:03:42,550 --> 00:03:46,980
jakie są relacje między radianami a stopniami,

76
00:03:46,980 --> 00:03:49,920
Usunę to.

77
00:03:49,920 --> 00:03:54,190
Tak jak już mówiłem, w kole mamy 2 pi radianów.

78
00:03:57,340 --> 00:03:58,970
A ile stopni mamy w kole?

79
00:03:58,970 --> 00:04:00,800
Gdybyśmy okrążyli całe koło, ile stopni wyjdzie?

80
00:04:00,800 --> 00:04:04,360
To odpowiada 360 stopniom.

81
00:04:07,080 --> 00:04:07,520
A więc

82
00:04:07,520 --> 00:04:09,620
Mamy równanie opisujące proporcje między

83
00:04:09,620 --> 00:04:10,950
radianami i stopniami.

84
00:04:10,950 --> 00:04:19,390
Czyli 1 radian odpowiada 360 : 2 pi stopni.

85
00:04:19,390 --> 00:04:22,570
Właśnie podzieliłem obie strony przez 2 pi.

86
00:04:22,570 --> 00:04:27,040
co równa się 180 przez pi stopni.

87
00:04:29,710 --> 00:04:31,080
Podobnie mogliśmy to zrobić w inny sposób.

88
00:04:31,080 --> 00:04:33,120
Można było podzielić obie strony przez 360

89
00:04:33,130 --> 00:04:36,040
i określić 1 stopień -

90
00:04:36,040 --> 00:04:39,230
właśnie zamierzam podzielić obie strony przez 360

91
00:04:39,230 --> 00:04:39,970
i 'przekręcam'.

92
00:04:39,970 --> 00:04:45,410
jeden stopień jest równy 2 pi przez 360 radianów.

93
00:04:48,570 --> 00:04:53,260
Co daje pi przez 180 radianów.

94
00:04:53,260 --> 00:04:54,400
A więc mamy przelicznik:

95
00:04:54,860 --> 00:05:01,240
1 radian odpowiada 180 przez pi stopni

96
00:05:02,100 --> 00:05:05,220
a 1 stopień odpowiada pi przez 180 radianów.

97
00:05:05,220 --> 00:05:06,980
A jeśli zapomnicie te wzory,

98
00:05:06,980 --> 00:05:08,740
zapamiętanie tego nie boli.

99
00:05:08,740 --> 00:05:12,520
Ale jeślibyście kiedykolwiek zapomnieli, zawsze wróćcie do tego,

100
00:05:12,520 --> 00:05:15,810
że 2 pi radianów jest równe 360 stopni.

101
00:05:15,810 --> 00:05:20,620
Albo w inny sposób, który właściwie

102
00:05:20,630 --> 00:05:22,780
jest odrobinę prostszy -

103
00:05:22,780 --> 00:05:26,540
jeśli pomyślicie o połowie koła.

104
00:05:26,540 --> 00:05:28,090
Połowa koła -

105
00:05:28,090 --> 00:05:31,550
ten kąt - ma 180 stopni, prawda?

106
00:05:35,210 --> 00:05:36,120
To jest symbol stopnia.

107
00:05:36,120 --> 00:05:37,810
Mogłem także napisać słownie.

108
00:05:37,810 --> 00:05:39,680
To też jest równe pi radianów.

109
00:05:42,680 --> 00:05:44,490
Więc pi radianów równa się 180 stopniom.

110
00:05:44,490 --> 00:05:46,250
I możemy wyprowadzić wzory.

111
00:05:46,250 --> 00:05:53,320
1 rad=180/pi stopni

112
00:05:53,320 --> 00:06:00,940
lub: 1 stopień=pi/180 rad.

113
00:06:00,940 --> 00:06:02,490
Rozwiążmy więc kilka zadań,

114
00:06:02,490 --> 00:06:03,540
żebyście to załapali.

115
00:06:03,540 --> 00:06:07,420
Spróbujmy zamienić

116
00:06:07,420 --> 00:06:09,010
45 stopni na radiany.

117
00:06:12,440 --> 00:06:18,410
Wiemy, że 1 stopień to pi przez 180 radianów.

118
00:06:18,410 --> 00:06:25,260
Zatem 45 stopni jest równe

119
00:06:25,260 --> 00:06:32,910
45 razy pi przez 180 radianów.

120
00:06:32,910 --> 00:06:36,850
Spójrzmy, 45 podzielone przez 180.

121
00:06:36,850 --> 00:06:39,370
45 mieści się w 180 a razy,

122
00:06:39,380 --> 00:06:42,360
więc to równa się pi przez 4 radiany.

123
00:06:45,650 --> 00:06:49,600
45 stopni=pi / 4 rad.

124
00:06:49,600 --> 00:06:50,810
Zapamiętajcie tylko,

125
00:06:50,810 --> 00:06:52,610
że to są po prostu dwie różne jednostki

126
00:06:52,610 --> 00:06:55,070
lub dwa różne sposoby mierzenia kątów.

127
00:06:55,070 --> 00:06:56,590
A powód dla którego to robię to właściwie

128
00:06:56,590 --> 00:06:58,990
matematyczna zasada miar kątów,

129
00:06:58,990 --> 00:07:01,280
choć większość z nas woli stopnie -

130
00:07:01,280 --> 00:07:03,030
po prostu z życia codziennego.

131
00:07:03,030 --> 00:07:04,920
Zróbmy kilka innych zadań.

132
00:07:04,920 --> 00:07:05,840
Zawsze pamiętajcie,

133
00:07:05,840 --> 00:07:08,400
że 1 radian odpowiada 180 przez pi stopni.

134
00:07:08,400 --> 00:07:10,200
! stopień to pi przez 180 radianów.

135
00:07:10,200 --> 00:07:12,630
Jeśli wam się to poplącze, zapiszcie sobie.

136
00:07:12,630 --> 00:07:15,190
Zawsze to robię, bo zapominam

137
00:07:15,190 --> 00:07:17,570
kiedy ma być pi/180 a kiedy 180/pi.

138
00:07:17,570 --> 00:07:21,550
Pamiętam tylko że pi radianów to 180 stopni.

139
00:07:21,550 --> 00:07:23,840
Zróbmy co innego.

140
00:07:23,840 --> 00:07:33,060
Gdybym powiedział, że pi/ 2 rad =

141
00:07:33,060 --> 00:07:33,760
ile stopni?

142
00:07:37,480 --> 00:07:40,130
Właściwie zapomniałem już co napisałem

143
00:07:40,140 --> 00:07:42,590
więc tylko sobie przypomnę, że

144
00:07:42,590 --> 00:07:45,560
pi rad = 180 stopni.

145
00:07:55,720 --> 00:07:56,690
Och, moja żona właśnie wróciła do domu,

146
00:07:56,690 --> 00:07:57,930
więc zostawię

147
00:07:57,930 --> 00:08:00,210
tą prezentację tak

148
00:08:00,210 --> 00:08:02,670
i dokończę później.

149
00:08:02,670 --> 00:08:04,540
Właściwie skończę tylko ten problem.

150
00:08:04,540 --> 00:08:07,270
a potem pójdę zająć się moją żoną.

151
00:08:07,270 --> 00:08:11,640
Wiemy że pi radianów równe jest 180 stopni,

152
00:08:11,640 --> 00:08:12,140
prawda?

153
00:08:12,140 --> 00:08:16,310
Więc 1 rad=180/...

154
00:08:16,310 --> 00:08:21,660
to jeden radian - jest równy 180/pi stopni.

155
00:08:21,660 --> 00:08:23,470
Właśnie odkryłem ten wzór ponownie,

156
00:08:23,470 --> 00:08:24,490
bo zawsze go zapominam.

157
00:08:24,490 --> 00:08:25,500
Wróćmy więc tutaj.

158
00:08:25,500 --> 00:08:33,160
pi/ 2 rad równa się

159
00:08:33,160 --> 00:08:38,510
pi/2 * 180/pi stopni.

160
00:08:38,510 --> 00:08:41,580
a to równa się 90 stopni.

161
00:08:47,240 --> 00:08:48,830
Pokażę jeszcze jeden przykład.

162
00:08:54,480 --> 00:08:55,910
Powiedzmy - 30 stopni.

163
00:09:00,950 --> 00:09:03,200
Jeszcze raz zapomniałem wzoru, więc wystarczy że pamiętam

164
00:09:03,200 --> 00:09:10,960
że pi radianów to 180 stopni.

165
00:09:10,960 --> 00:09:19,150
Jeden stopień równa się pi przez 180 radianów.

166
00:09:19,150 --> 00:09:23,030
Więc 30 stopni to

167
00:09:23,030 --> 00:09:27,220
30 razy pi przez 180 rad,

168
00:09:27,220 --> 00:09:31,320
co równa się... 30 mieści się w 180 sześć razy.

169
00:09:31,320 --> 00:09:36,160
To daje pi przez 6 radianów.

170
00:09:36,160 --> 00:09:37,890
Wiecie już

171
00:09:37,890 --> 00:09:40,310
jak zamieniać radiany na stopnie,

172
00:09:40,310 --> 00:09:41,770
a nawet dlaczego tak się nazywają,

173
00:09:41,770 --> 00:09:44,860
ponieważ są bardzo ściśle związane z promieniami

174
00:09:44,870 --> 00:09:48,570
i będziecie się czuć pewnie gdy ktoś was poprosi żebyście

175
00:09:48,570 --> 00:09:52,410
poradzili sobie z radianami w przeciwieństwie do stopni.

176
00:09:52,410 --> 00:09:54,670
Do zobaczenia w następnej prezentacji.