0:00:00.910,0:00:03.770
Добро пожаловать на урок, посвященный градусам и радианам!

0:00:03.770,0:00:07.010
Итак, все вы, наверно, уже близко знакомы

0:00:07.010,0:00:07.950
с понятием «градусы».

0:00:07.950,0:00:10.310
Думаю, я хорошо вам растолковываю

0:00:10.310,0:00:12.370
различные задачки с углами.

0:00:12.370,0:00:23.460
Например, вам хорошо известно, что прямой угол составляет 90°.

0:00:23.460,0:00:28.650
Или то, что половина прямого угла – 45°.

0:00:28.650,0:00:32.630
А также вам, вероятно, известно то, [br]

0:00:32.630,0:00:36.610
что в окружности

0:00:36.610,0:00:38.760
... (это моя лучшая окружность)...

0:00:38.760,0:00:41.010
содержится 360°.

0:00:41.010,0:00:44.750
Так, сегодня я познакомлю вас с другой мерой или единицей [br]

0:00:44.750,0:00:47.270
для измерения углов, и называется она «радиан».

0:00:47.270,0:00:52.160


0:00:52.160,0:00:53.450
Итак, что такое радиан?

0:00:53.450,0:00:55.650
Начну с определения и думаю, [br]

0:00:55.650,0:00:57.105
вам станет понятнее,

0:00:57.105,0:00:59.910
почему это называется «радиан».

0:00:59.910,0:01:01.380


0:01:01.380,0:01:02.850
Воспользуюсь специальным инструментом и нарисую красивую окружность.

0:01:02.850,0:01:10.060


0:01:10.060,0:01:14.270
Ой, я все еще не отключил этот инструмент.

0:01:14.270,0:01:14.530
Вот так хорошо.

0:01:14.530,0:01:19.430


0:01:19.430,0:01:21.630
Это радиус длиной r.

0:01:21.630,0:01:25.500
Радиан – это угол, опирающийся на дугу.

0:01:25.500,0:01:30.210
«Опираться» означает… если есть этот угол и [br]

0:01:30.210,0:01:34.520
эта дуга, значит этот угол опирается на эту дугу, и эта дуга [br]

0:01:34.520,0:01:36.020
опирается на этот угол.

0:01:36.020,0:01:41.050
Итак, радиан (один радиан) - это угол, опирающийся на дугу, [br]

0:01:41.050,0:01:44.130
длина которой равна длине радиуса.

0:01:44.130,0:01:46.780
Поэтому длина этой дуги тоже равна r.

0:01:46.780,0:01:50.440
И угол равен 1 радиан.

0:01:50.440,0:01:51.140
Ой, как-то начёркано.

0:01:51.140,0:01:52.430
Давайте я нарисую окружность побольше.

0:01:52.430,0:01:53.720


0:01:53.720,0:01:55.010
Вот.

0:01:55.010,0:01:56.640
Почему я это делаю? Потому что сам когда-то удивлялся, [br]

0:01:56.640,0:01:57.860
почему это называется «радиан».

0:01:57.860,0:01:58.780
Мы все знаем о градусах.

0:01:58.780,0:02:00.300
Но если посмотреть на радианы,

0:02:00.300,0:02:02.090
в них тоже есть смысл.

0:02:03.100,0:02:05.873
Я сейчас нарисую линию.

0:02:05.873,0:02:12.980


0:02:12.980,0:02:18.990
Предположим, это радиус длиной r. Длина этой дуги, [br][br]

0:02:18.990,0:02:21.460
вот здесь, тоже равна r.

0:02:21.460,0:02:28.210
Этот угол, называемый θ (тета), равен 1 радиану.

0:02:28.210,0:02:30.220
Теперь становится понятно, почему это называется радианом.

0:02:30.220,0:02:32.440
Это название похоже на «радиус».

0:02:32.440,0:02:35.100
Позвольте вас спросить: сколько радианов

0:02:35.100,0:02:37.420
в этой окружности?

0:02:37.420,0:02:41.300
Итак, если это равно r, чему равна

0:02:41.300,0:02:42.050
вся длина окружности?

0:02:42.050,0:02:44.630


0:02:44.630,0:02:46.540
Она равна 2πr, правильно?

0:02:46.540,0:02:50.050
Вы знаете это из роликов по основам геометрии.

0:02:50.050,0:02:55.850
Итак, если радиан – это угол, опирающийся на дугу r,[br][br]

0:02:55.850,0:03:03.650
то угол, опирающийся на дугу 2πr, равен 2π радиан.

0:03:03.650,0:03:06.970
Так, этот угол равен 2π радиан.

0:03:06.970,0:03:12.510


0:03:12.510,0:03:14.820
Если вы все еще в недоумении, подумайте вот как: [br][br]

0:03:14.820,0:03:20.390
угол 2π радиан, проходя по кругу,

0:03:20.390,0:03:22.650
описывает дугу длиной 2π радиусов.

0:03:22.650,0:03:23.500
Или радиус.

0:03:23.500,0:03:26.460
Я не знаю, как назвать множественное число радиуса.

0:03:26.460,0:03:27.110
Возможно, радианы.

0:03:27.110,0:03:30.130
Но я не знаю.

0:03:30.130,0:03:32.630
Итак, почему я говорю всю эту абракадабру и сбиваю вас с толку?

0:03:32.630,0:03:35.580
Я хочу только одного: дать вам понять, почему это называется [br]

0:03:35.580,0:03:38.130
«радианом», и как он соотносится с окружностью.

0:03:38.130,0:03:41.890
И затем, зная, что в окружности содержится 2π радиан, мы сможем [br]

0:03:41.890,0:03:46.980
понять взаимосвязь между радианами и градусами.

0:03:46.980,0:03:49.920
Давайте я это удалю.

0:03:49.920,0:03:54.190
Итак, мы выяснили, что в окружности 2π радиан.

0:03:54.190,0:03:57.340


0:03:57.340,0:03:58.970
А сколько градусов в окружности?

0:03:58.970,0:04:00.800
Если мы пройдем вокруг всей окружности, сколько это будет градусов?

0:04:00.800,0:04:04.360
Это 360°.

0:04:04.360,0:04:07.080


0:04:07.080,0:04:07.520
Итак,

0:04:07.520,0:04:09.620
У нас есть равенство, с помощью которого мы можем [br]

0:04:09.620,0:04:10.950
перевести радианы в градусы.

0:04:10.950,0:04:19.390
Итак, один радиан равен 360/2π градусов

0:04:19.390,0:04:22.570
(я разделил обе части равенства на 2π), [br]

0:04:22.570,0:04:27.040
что в свою очередь равно 180/π градусов.

0:04:27.040,0:04:29.710


0:04:29.710,0:04:31.080
Аналогично можно было бы сделать обратное.

0:04:31.080,0:04:34.000
Можно было бы разделить обе части равенства на 360[br]и сказать, [br]

0:04:34.000,0:04:38.530
что 1 градус… (я делю обе части

0:04:38.530,0:04:39.970
на 360 и переставляю равенство)...

0:04:39.970,0:04:45.410
1 градус равен 2π/360 радиан.

0:04:45.410,0:04:48.570


0:04:48.570,0:04:53.260
Что в свою очередь равно π/180 радиан.

0:04:53.260,0:05:00.440
Итак, у нас есть равенства: 1 радиан = 180/π градусов [br][br]

0:05:00.440,0:05:05.220
и 1 градус = π/180 радиан.

0:05:05.220,0:05:06.980
И даже если вы забыли эти формулы,

0:05:06.980,0:05:08.740
несложно будет запомнить это.

0:05:08.740,0:05:12.520
Но если вы когда-либо забудете, всегда можете вернуться к этому: [br]

0:05:12.520,0:05:15.810
2π радиан = 360°.

0:05:15.810,0:05:21.450
Или другой способ, который, собственно, делает вычисления немного проще,

0:05:21.450,0:05:26.545
если вы возьмете половину окружности. [br]

0:05:26.545,0:05:31.550
Половина окружности – вот этот угол – это 180°, так?

0:05:31.550,0:05:35.210


0:05:35.210,0:05:36.120
Это значок градуса.

0:05:36.120,0:05:37.810
Я мог бы также написать «градусов».

0:05:37.810,0:05:39.680
И это также равно π радиан.

0:05:39.680,0:05:42.680


0:05:42.680,0:05:46.250
Итак, π радиан = 180°, и вот мы видим наши выражения:[br]

0:05:46.250,0:05:57.250
1 радиан = 180/π градусов или 1 градус равен...

0:05:57.250,0:06:00.940
1 градус = π/180.[br]

0:06:00.940,0:06:02.495
Так, давайте решим пару задач,

0:06:02.495,0:06:03.540
чтобы вы разобрались во всем этом.

0:06:03.540,0:06:09.010
Предположим, я прошу вас 45° перевести в радианы…

0:06:09.010,0:06:12.440


0:06:12.440,0:06:18.410
Ну, мы знаем, что 1 градус = π/180 радиан.

0:06:18.410,0:06:32.910
Поэтому 45° = 45*(π/180) радиан.

0:06:32.910,0:06:36.850
И видите, если сократить дробь,

0:06:36.850,0:06:42.360
45 разделить на 180, то получится π/4 радиан.

0:06:42.360,0:06:45.650


0:06:45.650,0:06:49.600
45° = π/4 радиан.

0:06:49.600,0:06:52.610
Имейте в виду, что это 2 разные единицы измерения [br]

0:06:52.610,0:06:55.070
или 2 разных способа измерения углов.[br]

0:06:55.070,0:06:56.590
Я рассказываю об этом потому, что радианы –

0:06:56.590,0:06:59.700
это фактически математический стандарт для измерения углов,

0:06:59.700,0:07:01.690
хотя многие из нас имеют дело с градусами[br]

0:07:01.690,0:07:03.030
чаще.

0:07:03.030,0:07:04.920
Давайте сделаем парочку других примеров.

0:07:04.920,0:07:06.690
Только всегда помните: 1 радиан равен [br][br]

0:07:06.690,0:07:08.400
180/π градусов,

0:07:08.400,0:07:10.200
1 градус = π/180 радиан.

0:07:10.200,0:07:12.630
Если вы путаетесь, просто запишите это.

0:07:12.630,0:07:15.400
Как я сейчас сделал, потому что я всегда забываю, [br]

0:07:15.400,0:07:17.570
что из них 180/π, а что π/180.[br]

0:07:17.570,0:07:21.550
Но я точно помню, что π радиан = 180°.

0:07:21.550,0:07:23.840
Решим еще один пример.

0:07:23.840,0:07:33.060
Итак, если бы я спросил: π/2 радиан - [br][br]

0:07:33.060,0:07:33.765
сколько это будет в градусах?

0:07:33.765,0:07:37.480


0:07:37.480,0:07:40.660
Ну вот, я уже забыл, что только что писал, [br]

0:07:40.660,0:07:45.565
поэтому напомню сам себе, что π радиан = 180°.

0:07:45.565,0:07:55.720
π радиан = 180°

0:07:55.720,0:07:57.930
Ой, только что моя жена пришла домой, поэтому мне придется оставить [br]

0:07:57.930,0:08:02.670
презентацию, как есть, и продолжить позже.

0:08:02.670,0:08:05.120
Хотя нет, все-таки давайте я закончу с этой задачей,[br]

0:08:05.120,0:08:07.270
а затем уж уделю внимание жене.[br]

0:08:07.270,0:08:12.140
Мы знаем, что π радиан = 180°, так?

0:08:12.140,0:08:18.840
Поэтому 1 радиан равен

0:08:18.840,0:08:21.660
180/π градусов.

0:08:21.660,0:08:23.470
Я вывел формулу снова, [br]

0:08:23.470,0:08:24.490
потому что всегда забываю ее.

0:08:24.490,0:08:25.500
Итак, вернемся сюда.

0:08:25.500,0:08:33.160
Так, π/2 радиан = (π/2) умножить

0:08:33.160,0:08:38.510
(180/π)градусов.

0:08:38.510,0:08:41.585
И это равно 90°.

0:08:41.585,0:08:47.240


0:08:47.240,0:08:48.830
Сделаю еще 1 пример.

0:08:48.830,0:08:54.480


0:08:54.480,0:08:55.915
Давайте возьмем 30°.

0:08:55.915,0:09:00.950


0:09:00.950,0:09:03.200
Еще раз, я забыл формулу, потому напоминаю,[br][br]

0:09:03.200,0:09:10.960
что π радиан = 180°.

0:09:10.960,0:09:19.150
Так, 1 градус равен π/180 радиан.

0:09:19.150,0:09:27.220
Поэтому 30° = 30*(π/180) радиан, [br]

0:09:27.220,0:09:31.320
что в свою очередь, если сократить дробь,[br]

0:09:31.320,0:09:36.160
равно π/6 радиан.

0:09:36.160,0:09:39.630
Будем надеяться, что теперь вы знаете, как перевести градусы [br]

0:09:39.630,0:09:42.070
в радианы и наоборот, а также почему эта единица измерения называется «радиан»

0:09:42.070,0:09:45.880
(потому что она тесно связана с радиусом, да?). Также надеюсь,

0:09:45.880,0:09:50.210
что вы будете спокойны, когда кто-либо вас попросит, например,

0:09:50.210,0:09:52.410
поработать с радианами, а не с градусами.

0:09:52.410,0:09:54.671
До встречи на следующем уроке!