Добро пожаловать на урок, посвященный градусам и радианам!
Итак, все вы, наверно, уже близко знакомы
с понятием «градусы».
Думаю, я хорошо вам растолковываю
различные задачки с углами.
Например, вам хорошо известно, что прямой угол составляет 90°.
Или то, что половина прямого угла – 45°.
А также вам, вероятно, известно то,
что в окружности
... (это моя лучшая окружность)...
содержится 360°.
Так, сегодня я познакомлю вас с другой мерой или единицей
для измерения углов, и называется она «радиан».
Итак, что такое радиан?
Начну с определения и думаю,
вам станет понятнее,
почему это называется «радиан».
Воспользуюсь специальным инструментом и нарисую красивую окружность.
Ой, я все еще не отключил этот инструмент.
Вот так хорошо.
Это радиус длиной r.
Радиан – это угол, опирающийся на дугу.
«Опираться» означает… если есть этот угол и
эта дуга, значит этот угол опирается на эту дугу, и эта дуга
опирается на этот угол.
Итак, радиан (один радиан) - это угол, опирающийся на дугу,
длина которой равна длине радиуса.
Поэтому длина этой дуги тоже равна r.
И угол равен 1 радиан.
Ой, как-то начёркано.
Давайте я нарисую окружность побольше.
Вот.
Почему я это делаю? Потому что сам когда-то удивлялся,
почему это называется «радиан».
Мы все знаем о градусах.
Но если посмотреть на радианы,
в них тоже есть смысл.
Я сейчас нарисую линию.
Предположим, это радиус длиной r. Длина этой дуги,
вот здесь, тоже равна r.
Этот угол, называемый θ (тета), равен 1 радиану.
Теперь становится понятно, почему это называется радианом.
Это название похоже на «радиус».
Позвольте вас спросить: сколько радианов
в этой окружности?
Итак, если это равно r, чему равна
вся длина окружности?
Она равна 2πr, правильно?
Вы знаете это из роликов по основам геометрии.
Итак, если радиан – это угол, опирающийся на дугу r,
то угол, опирающийся на дугу 2πr, равен 2π радиан.
Так, этот угол равен 2π радиан.
Если вы все еще в недоумении, подумайте вот как:
угол 2π радиан, проходя по кругу,
описывает дугу длиной 2π радиусов.
Или радиус.
Я не знаю, как назвать множественное число радиуса.
Возможно, радианы.
Но я не знаю.
Итак, почему я говорю всю эту абракадабру и сбиваю вас с толку?
Я хочу только одного: дать вам понять, почему это называется
«радианом», и как он соотносится с окружностью.
И затем, зная, что в окружности содержится 2π радиан, мы сможем
понять взаимосвязь между радианами и градусами.
Давайте я это удалю.
Итак, мы выяснили, что в окружности 2π радиан.
А сколько градусов в окружности?
Если мы пройдем вокруг всей окружности, сколько это будет градусов?
Это 360°.
Итак,
У нас есть равенство, с помощью которого мы можем
перевести радианы в градусы.
Итак, один радиан равен 360/2π градусов
(я разделил обе части равенства на 2π),
что в свою очередь равно 180/π градусов.
Аналогично можно было бы сделать обратное.
Можно было бы разделить обе части равенства на 360 и сказать,
что 1 градус… (я делю обе части
на 360 и переставляю равенство)...
1 градус равен 2π/360 радиан.
Что в свою очередь равно π/180 радиан.
Итак, у нас есть равенства: 1 радиан = 180/π градусов
и 1 градус = π/180 радиан.
И даже если вы забыли эти формулы,
несложно будет запомнить это.
Но если вы когда-либо забудете, всегда можете вернуться к этому:
2π радиан = 360°.
Или другой способ, который, собственно, делает вычисления немного проще,
если вы возьмете половину окружности.
Половина окружности – вот этот угол – это 180°, так?
Это значок градуса.
Я мог бы также написать «градусов».
И это также равно π радиан.
Итак, π радиан = 180°, и вот мы видим наши выражения:
1 радиан = 180/π градусов или 1 градус равен...
1 градус = π/180.
Так, давайте решим пару задач,
чтобы вы разобрались во всем этом.
Предположим, я прошу вас 45° перевести в радианы…
Ну, мы знаем, что 1 градус = π/180 радиан.
Поэтому 45° = 45*(π/180) радиан.
И видите, если сократить дробь,
45 разделить на 180, то получится π/4 радиан.
45° = π/4 радиан.
Имейте в виду, что это 2 разные единицы измерения
или 2 разных способа измерения углов.
Я рассказываю об этом потому, что радианы –
это фактически математический стандарт для измерения углов,
хотя многие из нас имеют дело с градусами
чаще.
Давайте сделаем парочку других примеров.
Только всегда помните: 1 радиан равен
180/π градусов,
1 градус = π/180 радиан.
Если вы путаетесь, просто запишите это.
Как я сейчас сделал, потому что я всегда забываю,
что из них 180/π, а что π/180.
Но я точно помню, что π радиан = 180°.
Решим еще один пример.
Итак, если бы я спросил: π/2 радиан -
сколько это будет в градусах?
Ну вот, я уже забыл, что только что писал,
поэтому напомню сам себе, что π радиан = 180°.
π радиан = 180°
Ой, только что моя жена пришла домой, поэтому мне придется оставить
презентацию, как есть, и продолжить позже.
Хотя нет, все-таки давайте я закончу с этой задачей,
а затем уж уделю внимание жене.
Мы знаем, что π радиан = 180°, так?
Поэтому 1 радиан равен
180/π градусов.
Я вывел формулу снова,
потому что всегда забываю ее.
Итак, вернемся сюда.
Так, π/2 радиан = (π/2) умножить
(180/π)градусов.
И это равно 90°.
Сделаю еще 1 пример.
Давайте возьмем 30°.
Еще раз, я забыл формулу, потому напоминаю,
что π радиан = 180°.
Так, 1 градус равен π/180 радиан.
Поэтому 30° = 30*(π/180) радиан,
что в свою очередь, если сократить дробь,
равно π/6 радиан.
Будем надеяться, что теперь вы знаете, как перевести градусы
в радианы и наоборот, а также почему эта единица измерения называется «радиан»
(потому что она тесно связана с радиусом, да?). Также надеюсь,
что вы будете спокойны, когда кто-либо вас попросит, например,
поработать с радианами, а не с градусами.
До встречи на следующем уроке!