ยินดีต้อนรับสู่การนำเสนอเรื่อง เรเดียน กับองศาครับ
คุณทุกคนคงคุ้นเคยกับ
เรื่ององศาแล้ว
ผมว่าเราได้ให้คุณฝึก
ทำโจทย์ต่าง ๆ ด้วยมุมเป็นองศาแล้ว
คุณน่าจะคุ้นอยู่ว่ามุมฉากเท่ากับ 90 องศา
หรือครึ่งมุมฉาก -- 45 องศา
แล้วคุณอาจคุ้นกับหลักที่ว่า
วงกลม -- นั่นคือวงกลมที่ดีที่สุดแล้ว --
ในวงกลมที่ผมพยายามที่สุดแล้ว
มันมี 360 องศา
วันนี้ผมจะแนะนำวิธีการวัดมุมอีกอย่าง
และมันเรียกว่า เรเดียน
-
เรเดียนคืออะไร?
ผมจะเริ่มด้วยนิยาม แล้วผมว่า
มันจะให้สัญชาตญาณเองว่าทำไม
มันถึงเรียกว่า เรเดียน
-
ขอผมใช้เครื่องมือวงกลม จะได้วาดวงกลมสวย ๆ ดีกว่า
-
ผมจะยังใช้เครื่องมือเรเดียน, เครื่องมือวงกลม
โอเค
-
นี่คือรัศมียาว r
เรเดียนคือมุมที่รองรับส่วนโค้ง
และคำว่ารองรับ หมายถึง หากนี่คือมุม, และนี่คือ
ส่วนโค้ง, มุมนี้รองรับด้วยส่วนโค้งนี้ และส่วนโค้งนี้
ก็รองรับมุมนี้
ดังนั้นเรเดียน -- หนึ่งเรเดียน -- คือมุมที่รองรับส่วนโค้ง
ที่ยาวเท่ากับรัศมีพอดี
ความยาวนี่ก็คือ r ด้วย
และมุมนี้คือ หนึ่ง เรเดียน
ผมว่ามันเลอะนะ
ขอผมวาดวงกลมใหญ่หน่อย
-
ได้แล้ว
ผมจะทำแบบนี้เพราะผมเคยสงสัย
ว่าทำไมเขาใช้เรเดียน
เรารู้จักองศากันหมดแล้ว
แต่หากคิดดู มันก็เข้าใจ
ได้อยู่
ขอผมใช้เครื่องมือเส้นตรงแล้วกัน
-
สมมุติว่ารัศมีนี่ยาว r และส่วนโค้งนี้
ตรงนี้ก็ยาว r
แล้วมุมนี้, เรียกว่าทีต้า, เท่ากับหนึ่งเรเดียน
ทีนี้ก็เข้าใจได้แล้วทำไมถึงเรียกว่าเรเดียน
มันก็คือหนึ่งรัศมี (radius)
งั้นผมถามหน่อย: วงกลมหนึ่งวง
มีกี่เรเดียน?
หากนี่คือ r, เส้นรอบวง
ของวงกลมคืออะไร?
-
มันคือ 2 pi r, จริงไหม?
คุณรู้มันจากวิดีโอเรขาคณิตพื้นฐาน
หากเรเดียนคือมุมที่รองรับส่วนโค้งยาว r,
งั้นมุมที่รองรับส่วนโค้งยาว 2 pi r คือ 2 pi เรเดียน
มุมนี่เลยเท่ากับ 2 pi เรเดียน
-
หากคุณยังงงอยู่, ลองคิดแบบนี้ดู
มุม 2 pi เรเดียน จะมุมไปรอบเพื่อรับ
ส่วนโค้งยาว 2 pi เท่าของเรเดียส
หรือเรดิไอ
ผมไม่รู้จะเรียกพหูพจน์ของรัศมียังไง
อาจเป็นเรเดียนส์ก็ได้
ไม่รู้เหมือนกัน
แล้วผมจะพูดเรื่องพวกนี้ให้คุณงงทำไม?
ผมแค่อยากให้คุณได้สัญชาตญาณว่าทำไมมันถึงเรียกว่า
เรเดียน และมันเกี่ยวกับวงกลมอย่างไร
จากนั้น ในวงกลมหนึ่งมี 2 pi เรเดียน, เราก็หา
ความสัมพันธ์ระหว่างเรเดียนกับองศาได้
ขอผมลบนี่นะ
เราบอกว่าในวงกลม, มันมี 2 pi เรเดียน
-
แล้วในวงกลมมีกี่องศา?
หากเราไปรอบวงกลมพอดี จะได้กี่องศา?
นั่นจะเท่ากับ 360 องศา
-
ได้
เราได้สมการที่บอกการแปลงระหว่าง
เรเดียนกับองศาแล้ว
งั้น หนึ่งเรเดียน เท่ากับ 360 ส่วน 2 pi องศา
ผมแค่หารทั้งสองข้างด้วย 2 pi
ซึ่งเท่ากับ 180 ส่วน pi องศา
-
เราสามารถทำตรงกันข้ามได้
เราหารทั้งสองด้วย 360 แล้วเรา
บอกว่า 1 องศา -- ผมแค่หารทั้งสองข้างด้วย
360 แล้วผมก็กลับมัน
1 องศาเท่ากับ 2 pi ส่วน 360 เรเดียน
-
ซึ่งเท่ากับ pi ส่วน 180 เรเดียน
แล้วเราก็ได้วิธีแปลง: 1 เรเดียน เท่ากับ 180 ส่วน pi
องศา และ 1 องศา เท่ากับ pi ส่วน 180 เรเดียน
และหากคุณลืมมัน, คุณจะจำ
มันก็ได้
แต่หากคุณลืมมันไป, ก็กลับมาตรงนี้
ว่า 2 pi เรเดียนเท่ากับ 360 องศา
หรือวิธีนึงคือ มันทำให้เลข
ง่ายหน่อยหากคุณคิดแค่ครึ่งวงกลม
ครึ่งวงกลม -- มุมนี้ -- คือ 180 องศา, จริงไหม?
-
นั่นคือเครื่องหมายองศา
ผมอยากเขียนองศาออกมา
นั่นก็เท่ากับ pi เรเดียนด้วย
-
ดังนั้น pi เรเดียน เท่ากับ 180 องศา แล้วเราก็เห็นเลขแล้ว
1 เรเดียนเท่ากับ 180 ส่วน pi องศา หรือ 1 องศา เท่ากับ
pi ส่วน 180 เรเดียน
ลองทำโจทย์สักหน่อย แล้วคุณจะได้
สัญชาตญาณไป
หากผมถามคุณว่า 45 องศา -- แปลงมันเป็นเรเดียน
-
เราก็รู้ว่า 1 องศา คือ pi ส่วน 180 เรเดียน
ดังนั้น 45 องศา เท่ากับ 45 คูณ pi ส่วน 180 เรเดียน
ลองดูกัน, 45 หารด้วย 180
45 คูณสี่ได้ 180 นี่เลยเท่ากับ pi ส่วน 4 เรเดียน
-
45 องศา เท่ากับ pi ส่วน 4 เรเดียน
จำเอาไว้, ว่าพวกนี้เป็นแค่หน่วย
หรือวิธีการวัดมุมสองอย่างที่ต่างกัน
และสาเหตุที่ผมทำเช่นนี้ เพราะมันเป็นมาตรฐาน
ในการวัดมุม, แม้ว่า
เราส่วนใหญ่คุ้นกับองศาใน
ชีวิตประจำวัน
ลองทำตัวอย่างอีกดีกว่า
จำไว้: 1 เรเดียน เท่ากับ
180 ส่วน pi องศา
1 องศา เท่ากับ pi ส่วน 180 เรเดียน
หากคุณงง, แค่เขียนนี่ออกมา
นี่คือสิ่งที่ผมทำ เพราะผมมักลืมว่ามันคือ pi
ส่วน 180 หรือ 180 ส่วน pi
ผมแค่จำว่า pi เรเดียน เท่ากับ 180 องศา
ลองดูอีกอันนึง
หากผมบอกว่า pi ส่วน 2 เรเดียน เท่ากับ
กี่องศา?
-
ผมลืมไปแล้วว่าผมเขียนอะไรไว้ ผมก็
แค่บอกตัวเองว่า pi เรเดียน เท่ากับ 180 องศา
-
โอ้, ภรรยาผมกลับบ้านแล้ว, ผมต้องไปก่อน
แล้วค่อยมาทำต่อทีหลัง
ที่จริง, ขอผมทำโจทย์นี้ให้เสร็จก่อน แล้วผมค่อย
ไปหาภรรยาผม
เรารู้ว่า pi เรเดียนเท่ากับ 180 องศา, จริงไหม?
หนึ่งเรเดียน เท่ากับ 180 ส่วน -- นั่นคือหนึ่งเรเดียน --
เท่ากับ 180 ส่วน pi องศา
ผมหาสูตรนั้นอีกทีเพราะ
ผมลืมตลอด
ลองกลับไปตรงนี้กัน
งั้น pi ส่วน 2 เรเดียนเท่ากับ pi ส่วน 2 คูณ
180 ส่วน pi องศา
นั่นเท่ากับ 90 องศา
-
ผมจะทำอีกตัวอย่างนึงนะ
-
สมมุติว่า 30 องศา
-
เหมือนเดิม, ผมลืมสูตร ผมเลยนึก
ว่า pi เรเดียน เท่ากับ 180 องศา
งั้น 1 องศาจะเท่ากับ pi ส่วน 180 เรเดียน
แล้ว 30 องศา เท่ากับ 30 คูณ pi ส่วน 180 เรเดียน
ซึ่งเท่ากับ -- 30 คูณหก ได้ 180
นั่นเลยเท่ากับ pi ส่วน 6 เรเดียน
หวังว่าคุณคงเข้าใจว่าจะเปลี่ยนหน่วยระหว่างองศา
กับเรเดียนยังไง และทำไมมันถึงเรียกว่าเรเดียน
เพราะมันสัมพันธ์กับรัศมีมาก แล้วคุณก็
ไม่รู้สิ ยุ่งกับเรเดียนแทนที่จะเป็นองศา
ได้สบาย ๆ
แล้วพบกันใหม่ในการนำเสนอหน้าครับ