ยินดีต้อนรับสู่การนำเสนอเรื่อง เรเดียน กับองศาครับ คุณทุกคนคงคุ้นเคยกับ เรื่ององศาแล้ว ผมว่าเราได้ให้คุณฝึก ทำโจทย์ต่าง ๆ ด้วยมุมเป็นองศาแล้ว คุณน่าจะคุ้นอยู่ว่ามุมฉากเท่ากับ 90 องศา หรือครึ่งมุมฉาก -- 45 องศา แล้วคุณอาจคุ้นกับหลักที่ว่า วงกลม -- นั่นคือวงกลมที่ดีที่สุดแล้ว -- ในวงกลมที่ผมพยายามที่สุดแล้ว มันมี 360 องศา วันนี้ผมจะแนะนำวิธีการวัดมุมอีกอย่าง และมันเรียกว่า เรเดียน - เรเดียนคืออะไร? ผมจะเริ่มด้วยนิยาม แล้วผมว่า มันจะให้สัญชาตญาณเองว่าทำไม มันถึงเรียกว่า เรเดียน - ขอผมใช้เครื่องมือวงกลม จะได้วาดวงกลมสวย ๆ ดีกว่า - ผมจะยังใช้เครื่องมือเรเดียน, เครื่องมือวงกลม โอเค - นี่คือรัศมียาว r เรเดียนคือมุมที่รองรับส่วนโค้ง และคำว่ารองรับ หมายถึง หากนี่คือมุม, และนี่คือ ส่วนโค้ง, มุมนี้รองรับด้วยส่วนโค้งนี้ และส่วนโค้งนี้ ก็รองรับมุมนี้ ดังนั้นเรเดียน -- หนึ่งเรเดียน -- คือมุมที่รองรับส่วนโค้ง ที่ยาวเท่ากับรัศมีพอดี ความยาวนี่ก็คือ r ด้วย และมุมนี้คือ หนึ่ง เรเดียน ผมว่ามันเลอะนะ ขอผมวาดวงกลมใหญ่หน่อย - ได้แล้ว ผมจะทำแบบนี้เพราะผมเคยสงสัย ว่าทำไมเขาใช้เรเดียน เรารู้จักองศากันหมดแล้ว แต่หากคิดดู มันก็เข้าใจ ได้อยู่ ขอผมใช้เครื่องมือเส้นตรงแล้วกัน - สมมุติว่ารัศมีนี่ยาว r และส่วนโค้งนี้ ตรงนี้ก็ยาว r แล้วมุมนี้, เรียกว่าทีต้า, เท่ากับหนึ่งเรเดียน ทีนี้ก็เข้าใจได้แล้วทำไมถึงเรียกว่าเรเดียน มันก็คือหนึ่งรัศมี (radius) งั้นผมถามหน่อย: วงกลมหนึ่งวง มีกี่เรเดียน? หากนี่คือ r, เส้นรอบวง ของวงกลมคืออะไร? - มันคือ 2 pi r, จริงไหม? คุณรู้มันจากวิดีโอเรขาคณิตพื้นฐาน หากเรเดียนคือมุมที่รองรับส่วนโค้งยาว r, งั้นมุมที่รองรับส่วนโค้งยาว 2 pi r คือ 2 pi เรเดียน มุมนี่เลยเท่ากับ 2 pi เรเดียน - หากคุณยังงงอยู่, ลองคิดแบบนี้ดู มุม 2 pi เรเดียน จะมุมไปรอบเพื่อรับ ส่วนโค้งยาว 2 pi เท่าของเรเดียส หรือเรดิไอ ผมไม่รู้จะเรียกพหูพจน์ของรัศมียังไง อาจเป็นเรเดียนส์ก็ได้ ไม่รู้เหมือนกัน แล้วผมจะพูดเรื่องพวกนี้ให้คุณงงทำไม? ผมแค่อยากให้คุณได้สัญชาตญาณว่าทำไมมันถึงเรียกว่า เรเดียน และมันเกี่ยวกับวงกลมอย่างไร จากนั้น ในวงกลมหนึ่งมี 2 pi เรเดียน, เราก็หา ความสัมพันธ์ระหว่างเรเดียนกับองศาได้ ขอผมลบนี่นะ เราบอกว่าในวงกลม, มันมี 2 pi เรเดียน - แล้วในวงกลมมีกี่องศา? หากเราไปรอบวงกลมพอดี จะได้กี่องศา? นั่นจะเท่ากับ 360 องศา - ได้ เราได้สมการที่บอกการแปลงระหว่าง เรเดียนกับองศาแล้ว งั้น หนึ่งเรเดียน เท่ากับ 360 ส่วน 2 pi องศา ผมแค่หารทั้งสองข้างด้วย 2 pi ซึ่งเท่ากับ 180 ส่วน pi องศา - เราสามารถทำตรงกันข้ามได้ เราหารทั้งสองด้วย 360 แล้วเรา บอกว่า 1 องศา -- ผมแค่หารทั้งสองข้างด้วย 360 แล้วผมก็กลับมัน 1 องศาเท่ากับ 2 pi ส่วน 360 เรเดียน - ซึ่งเท่ากับ pi ส่วน 180 เรเดียน แล้วเราก็ได้วิธีแปลง: 1 เรเดียน เท่ากับ 180 ส่วน pi องศา และ 1 องศา เท่ากับ pi ส่วน 180 เรเดียน และหากคุณลืมมัน, คุณจะจำ มันก็ได้ แต่หากคุณลืมมันไป, ก็กลับมาตรงนี้ ว่า 2 pi เรเดียนเท่ากับ 360 องศา หรือวิธีนึงคือ มันทำให้เลข ง่ายหน่อยหากคุณคิดแค่ครึ่งวงกลม ครึ่งวงกลม -- มุมนี้ -- คือ 180 องศา, จริงไหม? - นั่นคือเครื่องหมายองศา ผมอยากเขียนองศาออกมา นั่นก็เท่ากับ pi เรเดียนด้วย - ดังนั้น pi เรเดียน เท่ากับ 180 องศา แล้วเราก็เห็นเลขแล้ว 1 เรเดียนเท่ากับ 180 ส่วน pi องศา หรือ 1 องศา เท่ากับ pi ส่วน 180 เรเดียน ลองทำโจทย์สักหน่อย แล้วคุณจะได้ สัญชาตญาณไป หากผมถามคุณว่า 45 องศา -- แปลงมันเป็นเรเดียน - เราก็รู้ว่า 1 องศา คือ pi ส่วน 180 เรเดียน ดังนั้น 45 องศา เท่ากับ 45 คูณ pi ส่วน 180 เรเดียน ลองดูกัน, 45 หารด้วย 180 45 คูณสี่ได้ 180 นี่เลยเท่ากับ pi ส่วน 4 เรเดียน - 45 องศา เท่ากับ pi ส่วน 4 เรเดียน จำเอาไว้, ว่าพวกนี้เป็นแค่หน่วย หรือวิธีการวัดมุมสองอย่างที่ต่างกัน และสาเหตุที่ผมทำเช่นนี้ เพราะมันเป็นมาตรฐาน ในการวัดมุม, แม้ว่า เราส่วนใหญ่คุ้นกับองศาใน ชีวิตประจำวัน ลองทำตัวอย่างอีกดีกว่า จำไว้: 1 เรเดียน เท่ากับ 180 ส่วน pi องศา 1 องศา เท่ากับ pi ส่วน 180 เรเดียน หากคุณงง, แค่เขียนนี่ออกมา นี่คือสิ่งที่ผมทำ เพราะผมมักลืมว่ามันคือ pi ส่วน 180 หรือ 180 ส่วน pi ผมแค่จำว่า pi เรเดียน เท่ากับ 180 องศา ลองดูอีกอันนึง หากผมบอกว่า pi ส่วน 2 เรเดียน เท่ากับ กี่องศา? - ผมลืมไปแล้วว่าผมเขียนอะไรไว้ ผมก็ แค่บอกตัวเองว่า pi เรเดียน เท่ากับ 180 องศา - โอ้, ภรรยาผมกลับบ้านแล้ว, ผมต้องไปก่อน แล้วค่อยมาทำต่อทีหลัง ที่จริง, ขอผมทำโจทย์นี้ให้เสร็จก่อน แล้วผมค่อย ไปหาภรรยาผม เรารู้ว่า pi เรเดียนเท่ากับ 180 องศา, จริงไหม? หนึ่งเรเดียน เท่ากับ 180 ส่วน -- นั่นคือหนึ่งเรเดียน -- เท่ากับ 180 ส่วน pi องศา ผมหาสูตรนั้นอีกทีเพราะ ผมลืมตลอด ลองกลับไปตรงนี้กัน งั้น pi ส่วน 2 เรเดียนเท่ากับ pi ส่วน 2 คูณ 180 ส่วน pi องศา นั่นเท่ากับ 90 องศา - ผมจะทำอีกตัวอย่างนึงนะ - สมมุติว่า 30 องศา - เหมือนเดิม, ผมลืมสูตร ผมเลยนึก ว่า pi เรเดียน เท่ากับ 180 องศา งั้น 1 องศาจะเท่ากับ pi ส่วน 180 เรเดียน แล้ว 30 องศา เท่ากับ 30 คูณ pi ส่วน 180 เรเดียน ซึ่งเท่ากับ -- 30 คูณหก ได้ 180 นั่นเลยเท่ากับ pi ส่วน 6 เรเดียน หวังว่าคุณคงเข้าใจว่าจะเปลี่ยนหน่วยระหว่างองศา กับเรเดียนยังไง และทำไมมันถึงเรียกว่าเรเดียน เพราะมันสัมพันธ์กับรัศมีมาก แล้วคุณก็ ไม่รู้สิ ยุ่งกับเรเดียนแทนที่จะเป็นองศา ได้สบาย ๆ แล้วพบกันใหม่ในการนำเสนอหน้าครับ