WEBVTT

00:00:00.910 --> 00:00:03.770
欢迎来学习弧度和角度这堂课

00:00:03.770 --> 00:00:06.250
我想你们应该对角度的概念

00:00:06.250 --> 00:00:07.950
都比较熟悉了

00:00:07.950 --> 00:00:09.320
在本课的关于角度的例子中

00:00:09.320 --> 00:00:12.820
我们做过了一些练习

00:00:12.820 --> 00:00:18.320
你们应该知道

00:00:18.320 --> 00:00:23.460
直角等于90度

00:00:23.460 --> 00:00:28.650
或者直角的一半等于45度

00:00:28.650 --> 00:00:31.470
你们也应该熟悉

00:00:31.470 --> 00:00:33.640
在圆中的一些概念

00:00:33.640 --> 00:00:36.340
这是我最擅长的画圆的方法

00:00:36.610 --> 00:00:41.010
一个圆的角度是360度

00:00:41.010 --> 00:00:43.360
今天我将会给你们介绍

00:00:43.360 --> 00:00:45.460
另外一种衡量角的方法 或是说单位

00:00:45.460 --> 00:00:47.270
就是弧度

00:00:52.160 --> 00:00:53.450
弧度是什么呢？

00:00:53.450 --> 00:00:55.650
我们先从定义开始吧

00:00:55.650 --> 00:00:57.100
我想这个会给你们一些直观的认识

00:00:57.100 --> 00:00:59.910
为什么它被称为弧度

00:00:59.910 --> 00:01:01.280
我用一下画圆的工具

00:01:01.280 --> 00:01:02.850
这样画的圆确实很不错

00:01:10.060 --> 00:01:14.270
我还在用着弧度工具 不 是画圆工具

00:01:14.270 --> 00:01:14.530
好的

00:01:19.430 --> 00:01:21.630
这个半径的长度为R

00:01:21.630 --> 00:01:25.500
弧度就是与一段圆弧相对的角

00:01:25.500 --> 00:01:29.250
“相对”意思是如果这是一个角

00:01:29.250 --> 00:01:30.980
这是一段圆弧

00:01:30.980 --> 00:01:34.520
这个角与这个圆弧相对

00:01:34.520 --> 00:01:36.020
这段圆弧与这个角相对

00:01:36.020 --> 00:01:36.830
所以一弧度

00:01:37.170 --> 00:01:41.050
1弧度等于与一段长度等于半径的圆弧

00:01:41.050 --> 00:01:44.130
相对的角的大小

00:01:44.130 --> 00:01:46.780
所以这段弧的长度也等于R

00:01:46.780 --> 00:01:50.440
这个角就是1弧度

00:01:50.440 --> 00:01:51.140
这个涂的都不像样了

00:01:51.140 --> 00:01:52.490
重新画一个大一些的圆

00:01:55.010 --> 00:01:56.640
画好了

00:01:56.640 --> 00:01:57.860
继续来研究一下弧度是因为我想知道

00:01:57.860 --> 00:01:58.780
为什么要使用弧度

00:01:58.780 --> 00:02:00.300
我们都知道角度

00:02:00.300 --> 00:02:01.480
不过考虑一下弧度

00:02:01.480 --> 00:02:03.100
就会觉得它是合理的

00:02:03.100 --> 00:02:05.870
用一下直线工具

00:02:12.980 --> 00:02:17.340
设定半径长度为R

00:02:17.340 --> 00:02:21.460
这段圆弧的长度也是R

00:02:21.460 --> 00:02:24.020
这个角 设为θ

00:02:24.020 --> 00:02:28.210
等于1弧度

00:02:28.210 --> 00:02:30.220
现在就可以称之为1弧度了

00:02:30.220 --> 00:02:32.440
好像一个半径一样

00:02:32.440 --> 00:02:33.560
现在问一个问题：

00:02:33.560 --> 00:02:37.420
一个整圆一共有多少弧度？

00:02:37.420 --> 00:02:41.300
如果这段长是R

00:02:41.300 --> 00:02:42.050
那么整个圆周的长度是多少？

00:02:44.630 --> 00:02:46.540
等于2πR 对吗？

00:02:46.540 --> 00:02:50.050
根据基本的几何知识就可以得出

00:02:50.050 --> 00:02:53.100
如果1弧度等于

00:02:53.100 --> 00:02:55.850
与长度为R的圆弧相对的角的大小

00:02:55.850 --> 00:03:01.630
那么与长为2πR的圆弧相对的

00:03:01.630 --> 00:03:03.650
角的大小就是2π弧度

00:03:03.650 --> 00:03:06.970
所以这个角等于2π弧度

00:03:12.510 --> 00:03:14.820
如果你仍然没明白 那就用这种方式考虑一下

00:03:14.820 --> 00:03:17.370
大小为2π弧度的角

00:03:17.370 --> 00:03:22.650
与长为2π乘以半径的圆弧

00:03:22.650 --> 00:03:23.920
相对应

00:03:23.920 --> 00:03:26.460
我不知道半径的复数形式怎么念

00:03:26.460 --> 00:03:27.110
可能是radians吧

00:03:27.110 --> 00:03:30.130
我确实不知道

00:03:30.130 --> 00:03:31.890
所以为什么我通过这么混乱的方式

00:03:31.890 --> 00:03:32.630
使你们更加困惑呢？

00:03:32.630 --> 00:03:34.660
我只是想给你们一个直观的认识

00:03:34.660 --> 00:03:36.050
让你们知道为什么称之为弧度

00:03:36.050 --> 00:03:38.130
同时也告诉你们弧度跟圆的关系

00:03:38.130 --> 00:03:41.160
现在知道一个圆周是2π弧度

00:03:41.160 --> 00:03:42.550
我们可以计算出

00:03:42.550 --> 00:03:46.980
弧度和角度之间的关系

00:03:46.980 --> 00:03:49.920
把这个删了

00:03:49.920 --> 00:03:54.190
我们说过一个圆周为2π弧度

00:03:57.340 --> 00:03:58.970
一个圆的角度是多少？

00:03:58.970 --> 00:04:00.800
绕圆一周是多少角度？

00:04:00.800 --> 00:04:04.360
当然是360度

00:04:07.080 --> 00:04:07.520
所以

00:04:07.520 --> 00:04:09.620
所以就可以建立一个

00:04:09.620 --> 00:04:10.950
弧度与角度之间的等式

00:04:10.950 --> 00:04:19.390
通过等式两边都除以2π

00:04:19.390 --> 00:04:22.570
所以1弧度等于360/(2π)度

00:04:22.570 --> 00:04:27.040
也就是180/π度

00:04:29.710 --> 00:04:31.080
同样 我们可以用其他的方式来做

00:04:31.080 --> 00:04:33.120
可以在等式的两边都除以360

00:04:33.130 --> 00:04:36.040
我们就可以说1度

00:04:36.040 --> 00:04:39.230
两边都除以360

00:04:39.230 --> 00:04:39.970
我反过来写

00:04:39.970 --> 00:04:45.410
1度等于2π除以360弧度

00:04:48.570 --> 00:04:53.260
也就是π比180弧度

00:04:53.260 --> 00:04:54.400
所以就有了转换式：

00:04:54.860 --> 00:05:01.240
1弧度等于180比π度

00:05:02.100 --> 00:05:05.220
1度等于π比180弧度

00:05:05.220 --> 00:05:06.980
如果你容易经常忘记这个关系式

00:05:06.980 --> 00:05:08.740
其实记住这个也无妨

00:05:08.740 --> 00:05:12.520
如果确实容易忘记的话 可以回过头来看这个

00:05:12.520 --> 00:05:15.810
2π弧度等于360度

00:05:15.810 --> 00:05:20.620
也可以用一种更简单的

00:05:20.630 --> 00:05:22.780
方法

00:05:22.780 --> 00:05:26.540
可以考虑一下半圆

00:05:26.540 --> 00:05:28.090
一个半圆

00:05:28.090 --> 00:05:31.550
角度的大小是180度 对吧？

00:05:35.210 --> 00:05:36.120
这个是度数的符号

00:05:36.120 --> 00:05:37.810
我也可以把“度”写出来

00:05:37.810 --> 00:05:39.680
它等于π弧度

00:05:42.680 --> 00:05:44.490
所以π弧度等于180度

00:05:44.490 --> 00:05:46.250
可以推导出这个数学式

00:05:46.250 --> 00:05:53.320
1弧度等于180/π度

00:05:53.320 --> 00:06:00.940
或1度等于π/180弧度

00:06:00.940 --> 00:06:02.490
我们来做几个问题

00:06:02.490 --> 00:06:03.540
使你们可以对这个有一个直观的认识

00:06:03.540 --> 00:06:07.420
如果问你45度

00:06:07.420 --> 00:06:09.010
将它转化成弧度

00:06:12.440 --> 00:06:18.410
我们都知道1度等于π比180弧度

00:06:18.410 --> 00:06:25.260
所以45度等于

00:06:25.260 --> 00:06:32.910
45乘以π比180弧度

00:06:32.910 --> 00:06:36.850
我们来看一看 180除以45

00:06:36.850 --> 00:06:39.370
180除以45等于4

00:06:39.380 --> 00:06:42.360
所以等于π比4弧度

00:06:45.650 --> 00:06:49.600
45度等于π比4弧度

00:06:49.600 --> 00:06:50.810
把它记住

00:06:50.810 --> 00:06:52.610
这两个仅仅是不同的单位

00:06:52.610 --> 00:06:55.070
或者是不同的度量角的方法

00:06:55.070 --> 00:06:56.590
我们之所以要这么做就是为了

00:06:56.590 --> 00:06:58.990
数学上测量角度的标准化

00:06:58.990 --> 00:07:01.280
尽管大部分人在日常生活中

00:07:01.280 --> 00:07:03.030
对于角度更熟悉一些

00:07:03.030 --> 00:07:04.920
我们来做一些其它的例子

00:07:04.920 --> 00:07:05.840
需要好好地记住：

00:07:05.840 --> 00:07:08.400
1弧度等于180比π度

00:07:08.400 --> 00:07:10.200
1度等于π比180弧度

00:07:10.200 --> 00:07:12.630
如果你们会混淆 就把这个写下来

00:07:12.630 --> 00:07:15.190
我把它写下来就是因为

00:07:15.190 --> 00:07:17.570
我常常忘了到底是π比180还是180比π

00:07:17.570 --> 00:07:21.550
我仅仅记着π弧度等于180度就行啦

00:07:21.550 --> 00:07:23.840
让我们来做另外一个例子

00:07:23.840 --> 00:07:33.060
如果我问π比2弧度

00:07:33.060 --> 00:07:33.760
等于多少度呢？

00:07:37.480 --> 00:07:40.130
我已经忘了我刚才写的关系式了

00:07:40.140 --> 00:07:42.590
我仅仅记得

00:07:42.590 --> 00:07:45.560
π弧度等于180度

00:07:55.720 --> 00:07:56.690
我的妻子刚刚回家

00:07:56.690 --> 00:07:57.930
我需要现在

00:07:57.930 --> 00:08:00.210
离开课堂一会

00:08:00.210 --> 00:08:02.670
过会会继续的

00:08:02.670 --> 00:08:04.540
还是让我们先把问题解决了吧

00:08:04.540 --> 00:08:07.270
然后我再去见我妻子

00:08:07.270 --> 00:08:11.640
我们都知道π弧度等于180度

00:08:11.640 --> 00:08:12.140
对吗？

00:08:12.140 --> 00:08:16.310
所以1弧度等于180比―

00:08:16.310 --> 00:08:21.660
1弧度等于180度比π度

00:08:21.660 --> 00:08:23.470
我刚刚把公式推算出来

00:08:23.470 --> 00:08:24.490
因为我老是忘记公式

00:08:24.490 --> 00:08:25.500
我们再回到这里

00:08:25.500 --> 00:08:33.160
所以π比2弧度等于

00:08:33.160 --> 00:08:38.510
π比2乘以180比π度

00:08:38.510 --> 00:08:41.580
最终等于90度

00:08:47.240 --> 00:08:48.830
我们再做一个例子

00:08:54.480 --> 00:08:55.910
30度

00:09:00.950 --> 00:09:03.200
我又忘记了公式 所以我只需要记住

00:09:03.200 --> 00:09:10.960
π弧度等于180度

00:09:10.960 --> 00:09:19.150
所以1度等于π比180弧度

00:09:19.150 --> 00:09:23.030
所以30度等于

00:09:23.030 --> 00:09:27.220
30乘以π比180弧度

00:09:27.220 --> 00:09:31.320
也就是 30比180为6

00:09:31.320 --> 00:09:36.160
等于π/6弧度

00:09:36.160 --> 00:09:37.890
希望你们能领悟到

00:09:37.890 --> 00:09:40.310
如何将弧度和度进行转换

00:09:40.310 --> 00:09:41.770
以及为什么称它为弧度

00:09:41.770 --> 00:09:44.860
因为它跟半径有关系

00:09:44.870 --> 00:09:48.570
那样当别人问你时 你就应答自如了

00:09:48.570 --> 00:09:52.410
不知道是什么问题 例如弧度和角度的转换

00:09:52.410 --> 00:09:54.670
我们下一节课见