WEBVTT

00:00:00.910 --> 00:00:03.770
歡迎來學習弧度和角度這堂課

00:00:03.770 --> 00:00:06.250
我想你們應該對角度的概念

00:00:06.250 --> 00:00:07.950
都比較熟悉了

00:00:07.950 --> 00:00:09.320
在本課的關於角度的例子中

00:00:09.320 --> 00:00:12.820
我們做過了一些練習

00:00:12.820 --> 00:00:18.320
你們應該知道

00:00:18.320 --> 00:00:23.460
直角等於90度

00:00:23.460 --> 00:00:28.650
或者直角的一半等於45度

00:00:28.650 --> 00:00:31.470
你們也應該熟悉

00:00:31.470 --> 00:00:33.640
在圓中的一些概念

00:00:33.640 --> 00:00:36.340
這是我最擅長的畫圓的方法

00:00:36.610 --> 00:00:41.010
一個圓的角度是360度

00:00:41.010 --> 00:00:43.360
今天我將會給你們介紹

00:00:43.360 --> 00:00:45.460
另外一種衡量角的方法 或是說單位

00:00:45.460 --> 00:00:47.270
就是弧度

00:00:52.160 --> 00:00:53.450
弧度是什麽呢？

00:00:53.450 --> 00:00:55.650
我們先從定義開始吧

00:00:55.650 --> 00:00:57.100
我想這個會給你們一些直觀的認識

00:00:57.100 --> 00:00:59.910
爲什麽它被稱爲弧度

00:00:59.910 --> 00:01:01.280
我用一下畫圓的工具

00:01:01.280 --> 00:01:02.850
這樣畫的圓確實很不錯

00:01:10.060 --> 00:01:14.270
我還在用著弧度工具 不 是畫圓工具

00:01:14.270 --> 00:01:14.530
好的

00:01:19.430 --> 00:01:21.630
這個半徑的長度爲R

00:01:21.630 --> 00:01:25.500
弧度就是與一段圓弧相對的角

00:01:25.500 --> 00:01:29.250
“相對”意思是如果這是一個角

00:01:29.250 --> 00:01:30.980
這是一段圓弧

00:01:30.980 --> 00:01:34.520
這個角與這個圓弧相對

00:01:34.520 --> 00:01:36.020
這段圓弧與這個角相對

00:01:36.020 --> 00:01:36.830
所以一弧度

00:01:37.170 --> 00:01:41.050
1弧度等於與一段長度等於半徑的圓弧

00:01:41.050 --> 00:01:44.130
相對的角的大小

00:01:44.130 --> 00:01:46.780
所以這段弧的長度也等於R

00:01:46.780 --> 00:01:50.440
這個角就是1弧度

00:01:50.440 --> 00:01:51.140
這個塗的都不像樣了

00:01:51.140 --> 00:01:52.490
重新畫一個大一些的圓

00:01:55.010 --> 00:01:56.640
畫好了

00:01:56.640 --> 00:01:57.860
繼續來研究一下弧度是因爲我想知道

00:01:57.860 --> 00:01:58.780
爲什麽要使用弧度

00:01:58.780 --> 00:02:00.300
我們都知道角度

00:02:00.300 --> 00:02:01.480
不過考慮一下弧度

00:02:01.480 --> 00:02:03.100
就會覺得它是合理的

00:02:03.100 --> 00:02:05.870
用一下直線工具

00:02:12.980 --> 00:02:17.340
設定半徑長度爲R

00:02:17.340 --> 00:02:21.460
這段圓弧的長度也是R

00:02:21.460 --> 00:02:24.020
這個角 設爲θ

00:02:24.020 --> 00:02:28.210
等於1弧度

00:02:28.210 --> 00:02:30.220
現在就可以稱之爲1弧度了

00:02:30.220 --> 00:02:32.440
好像一個半徑一樣

00:02:32.440 --> 00:02:33.560
現在問一個問題：

00:02:33.560 --> 00:02:37.420
一個整圓一共有多少弧度？

00:02:37.420 --> 00:02:41.300
如果這段長是R

00:02:41.300 --> 00:02:42.050
那麽整個圓周的長度是多少？

00:02:44.630 --> 00:02:46.540
等於2πR 對嗎？

00:02:46.540 --> 00:02:50.050
根據基本的幾何知識就可以得出

00:02:50.050 --> 00:02:53.100
如果1弧度等於

00:02:53.100 --> 00:02:55.850
與長度爲R的圓弧相對的角的大小

00:02:55.850 --> 00:03:01.630
那麽與長爲2πR的圓弧相對的

00:03:01.630 --> 00:03:03.650
角的大小就是2π弧度

00:03:03.650 --> 00:03:06.970
所以這個角等於2π弧度

00:03:12.510 --> 00:03:14.820
如果你仍然沒明白 那就用這種方式考慮一下

00:03:14.820 --> 00:03:17.370
大小爲2π弧度的角

00:03:17.370 --> 00:03:22.650
與長爲2π乘以半徑的圓弧

00:03:22.650 --> 00:03:23.920
相對應

00:03:23.920 --> 00:03:26.460
我不知道半徑的複數形式怎麽念

00:03:26.460 --> 00:03:27.110
可能是radians吧

00:03:27.110 --> 00:03:30.130
我確實不知道

00:03:30.130 --> 00:03:31.890
所以爲什麽我通過這麽混亂的方式

00:03:31.890 --> 00:03:32.630
使你們更加困惑呢？

00:03:32.630 --> 00:03:34.660
我只是想給你們一個直觀的認識

00:03:34.660 --> 00:03:36.050
讓你們知道爲什麽稱之爲弧度

00:03:36.050 --> 00:03:38.130
同時也告訴你們弧度跟圓的關係

00:03:38.130 --> 00:03:41.160
現在知道一個圓周是2π弧度

00:03:41.160 --> 00:03:42.550
我們可以計算出

00:03:42.550 --> 00:03:46.980
弧度和角度之間的關係

00:03:46.980 --> 00:03:49.920
把這個刪了

00:03:49.920 --> 00:03:54.190
我們說過一個圓周爲2π弧度

00:03:57.340 --> 00:03:58.970
一個圓的角度是多少？

00:03:58.970 --> 00:04:00.800
繞圓一周是多少角度？

00:04:00.800 --> 00:04:04.360
當然是360度

00:04:07.080 --> 00:04:07.520
所以

00:04:07.520 --> 00:04:09.620
所以就可以建立一個

00:04:09.620 --> 00:04:10.950
弧度與角度之間的等式

00:04:10.950 --> 00:04:19.390
通過等式兩邊都除以2π

00:04:19.390 --> 00:04:22.570
所以1弧度等於360/(2π)度

00:04:22.570 --> 00:04:27.040
也就是180/π度

00:04:29.710 --> 00:04:31.080
同樣 我們可以用其他的方式來做

00:04:31.080 --> 00:04:33.120
可以在等式的兩邊都除以360

00:04:33.130 --> 00:04:36.040
我們就可以說1度

00:04:36.040 --> 00:04:39.230
兩邊都除以360

00:04:39.230 --> 00:04:39.970
我反過來寫

00:04:39.970 --> 00:04:45.410
1度等於2π除以360弧度

00:04:48.570 --> 00:04:53.260
也就是π比180弧度

00:04:53.260 --> 00:04:54.400
所以就有了轉換式：

00:04:54.860 --> 00:05:01.240
1弧度等於180比π度

00:05:02.100 --> 00:05:05.220
1度等於π比180弧度

00:05:05.220 --> 00:05:06.980
如果你容易經常忘記這個關係式

00:05:06.980 --> 00:05:08.740
其實記住這個也無妨

00:05:08.740 --> 00:05:12.520
如果確實容易忘記的話 可以回過頭來看這個

00:05:12.520 --> 00:05:15.810
2π弧度等於360度

00:05:15.810 --> 00:05:20.620
也可以用一種更簡單的

00:05:20.630 --> 00:05:22.780
方法

00:05:22.780 --> 00:05:26.540
可以考慮一下半圓

00:05:26.540 --> 00:05:28.090
一個半圓

00:05:28.090 --> 00:05:31.550
角度的大小是180度 對吧？

00:05:35.210 --> 00:05:36.120
這個是度數的符號

00:05:36.120 --> 00:05:37.810
我也可以把“度”寫出來

00:05:37.810 --> 00:05:39.680
它等於π弧度

00:05:42.680 --> 00:05:44.490
所以π弧度等於180度

00:05:44.490 --> 00:05:46.250
可以推導出這個數學式

00:05:46.250 --> 00:05:53.320
1弧度等於180/π度

00:05:53.320 --> 00:06:00.940
或1度等於π/180弧度

00:06:00.940 --> 00:06:02.490
我們來做幾個問題

00:06:02.490 --> 00:06:03.540
使你們可以對這個有一個直觀的認識

00:06:03.540 --> 00:06:07.420
如果問你45度

00:06:07.420 --> 00:06:09.010
將它轉化成弧度

00:06:12.440 --> 00:06:18.410
我們都知道1度等於π比180弧度

00:06:18.410 --> 00:06:25.260
所以45度等於

00:06:25.260 --> 00:06:32.910
45乘以π比180弧度

00:06:32.910 --> 00:06:36.850
我們來看一看 180除以45

00:06:36.850 --> 00:06:39.370
180除以45等於4

00:06:39.380 --> 00:06:42.360
所以等於π比4弧度

00:06:45.650 --> 00:06:49.600
45度等於π比4弧度

00:06:49.600 --> 00:06:50.810
把它記住

00:06:50.810 --> 00:06:52.610
這兩個僅僅是不同的單位

00:06:52.610 --> 00:06:55.070
或者是不同的度量角的方法

00:06:55.070 --> 00:06:56.590
我們之所以要這麽做就是爲了

00:06:56.590 --> 00:06:58.990
數學上測量角度的標準化

00:06:58.990 --> 00:07:01.280
盡管大部分人在日常生活中

00:07:01.280 --> 00:07:03.030
對於角度更熟悉一些

00:07:03.030 --> 00:07:04.920
我們來做一些其它的例子

00:07:04.920 --> 00:07:05.840
需要好好地記住：

00:07:05.840 --> 00:07:08.400
1弧度等於180比π度

00:07:08.400 --> 00:07:10.200
1度等於π比180弧度

00:07:10.200 --> 00:07:12.630
如果你們會混淆 就把這個寫下來

00:07:12.630 --> 00:07:15.190
我把它寫下來就是因爲

00:07:15.190 --> 00:07:17.570
我常常忘了到底是π比180還是180比π

00:07:17.570 --> 00:07:21.550
我僅僅記著π弧度等於180度就行啦

00:07:21.550 --> 00:07:23.840
讓我們來做另外一個例子

00:07:23.840 --> 00:07:33.060
如果我問π比2弧度

00:07:33.060 --> 00:07:33.760
等於多少度呢？

00:07:37.480 --> 00:07:40.130
我已經忘了我剛才寫的關係式了

00:07:40.140 --> 00:07:42.590
我僅僅記得

00:07:42.590 --> 00:07:45.560
π弧度等於180度

00:07:55.720 --> 00:07:56.690
我的妻子剛剛回家

00:07:56.690 --> 00:07:57.930
我需要現在

00:07:57.930 --> 00:08:00.210
離開課堂一會

00:08:00.210 --> 00:08:02.670
過會會繼續的

00:08:02.670 --> 00:08:04.540
還是讓我們先把問題解決了吧

00:08:04.540 --> 00:08:07.270
然後我再去見我妻子

00:08:07.270 --> 00:08:11.640
我們都知道π弧度等於180度

00:08:11.640 --> 00:08:12.140
對嗎？

00:08:12.140 --> 00:08:16.310
所以1弧度等於180比―

00:08:16.310 --> 00:08:21.660
1弧度等於180度比π度

00:08:21.660 --> 00:08:23.470
我剛剛把公式推算出來

00:08:23.470 --> 00:08:24.490
因爲我老是忘記公式

00:08:24.490 --> 00:08:25.500
我們再回到這裡

00:08:25.500 --> 00:08:33.160
所以π比2弧度等於

00:08:33.160 --> 00:08:38.510
π比2乘以180比π度

00:08:38.510 --> 00:08:41.580
最終等於90度

00:08:47.240 --> 00:08:48.830
我們再做一個例子

00:08:54.480 --> 00:08:55.910
30度

00:09:00.950 --> 00:09:03.200
我又忘記了公式 所以我只需要記住

00:09:03.200 --> 00:09:10.960
π弧度等於180度

00:09:10.960 --> 00:09:19.150
所以1度等於π比180弧度

00:09:19.150 --> 00:09:23.030
所以30度等於

00:09:23.030 --> 00:09:27.220
30乘以π比180弧度

00:09:27.220 --> 00:09:31.320
也就是 30比180爲6

00:09:31.320 --> 00:09:36.160
等於π/6弧度

00:09:36.160 --> 00:09:37.890
希望你們能領悟到

00:09:37.890 --> 00:09:40.310
如何將弧度和度進行轉換

00:09:40.310 --> 00:09:41.770
以及爲什麽稱它爲弧度

00:09:41.770 --> 00:09:44.860
因爲它跟半徑有關係

00:09:44.870 --> 00:09:48.570
那樣當別人問你時 你就應答自如了

00:09:48.570 --> 00:09:52.410
不知道是什麽問題 例如弧度和角度的轉換

00:09:52.410 --> 00:09:54.670
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