0:00:00.870,0:00:03.610
Benvenuto al video sul completamento del quadrato.

0:00:03.610,0:00:04.440
Cos'e' il completamento del quadrato?

0:00:04.440,0:00:06.740
Beh, è un modo per risolvere un'equazione di secondo grado.

0:00:06.740,0:00:09.700
E in realtà, fammi scrivere un'equazione di secondo grado

0:00:09.700,0:00:11.570
e poi ti mostro come completare il quadrato.

0:00:11.570,0:00:13.460
E poi facciamo un altro esempio e magari parliamo

0:00:13.460,0:00:16.650
un po' sul perche' si chiama completamento del quadrato.

0:00:16.650,0:00:27.770
Diciamo che ho questa equazione:

0:00:27.770,0:00:32.600
x^2 + 16x - 57 = 0.

0:00:32.600,0:00:36.130
Quindi quali sono gli strumenti a nostra disposizione

0:00:36.130,0:00:36.970
che potremmo usare per risolvere questo problema?

0:00:36.970,0:00:38.570
Beh, potremmo provare a fattorizzare.

0:00:38.570,0:00:41.770
Potremmo dire, quali due numeri sommati fanno 16 e

0:00:41.770,0:00:44.060
moltiplicati danno -57?

0:00:44.060,0:00:45.450
E dovresti pensarci un po'.

0:00:45.450,0:00:47.360
E potresti ottenere numeri interi, ma non sei neanche

0:00:47.360,0:00:49.050
sicuro che ci siano due numeri interi che funzionano

0:00:49.050,0:00:49.540
in questo modo.

0:00:49.540,0:00:50.630
In questo problema ci sono.

0:00:50.630,0:00:53.510
Ma sai, a volte la soluzione è un numero decimale

0:00:53.510,0:00:54.190
e tu non lo sai.

0:00:54.190,0:00:58.150
Quindi l'unica volta in cui puoi davvero fattorizzare è se sei sicuro

0:00:58.150,0:01:01.000
di poterlo scomporre tipo in una espressione intera.

0:01:01.000,0:01:03.620
Sai, x piu' qualche numero intero o x meno qualche numero intero

0:01:03.620,0:01:05.920
per, sai, x, più qualche altro intero.

0:01:05.920,0:01:06.990
O allo stesso modo.

0:01:06.990,0:01:09.240
L'altra opzione è di fare l'equazione quadratica.

0:01:09.240,0:01:11.420
E cio' che vedremo è che in realtà l'equazione quadratica

0:01:11.420,0:01:15.510
è essenzialmente solo una scorciatoia per il completamento del quadrato.

0:01:15.510,0:01:18.410
In realta' l'equazione di secondo grado viene dimostrata utilizzando

0:01:18.410,0:01:19.420
il completamento del quadrato.

0:01:19.420,0:01:21.420
Quindi che cos'e' il completamento del quadrato?

0:01:21.420,0:01:23.340
Quindi che cosa facciamo?

0:01:23.340,0:01:27.080
Beh, prima di addentrarci in questo video vediamo cosa succede

0:01:27.080,0:01:30.930
se faccio il quadrato di un'espressione.

0:01:30.930,0:01:33.220
Fammelo fare qui sotto.

0:01:33.220,0:01:40.250
Quanto fa (x + a)^2?

0:01:40.250,0:01:50.940
Beh è uguale a x^2 + 2ax + a^2.

0:01:50.940,0:01:51.680
Giusto?

0:01:51.680,0:01:55.420
Quindi, se hai mai visto qualcosa in questa forma, sai che e'

0:01:55.420,0:01:57.740
x piu' qualcosa al quadrato.

0:01:57.740,0:02:01.040
Percio' non sarebbe bello se potessimo manipolare questa equazione

0:02:01.040,0:02:05.900
in modo da poterla scrivere come (x + a)^2 = qualcosa,

0:02:05.900,0:02:08.140
e poi potressimo prenderne semplicemente la radice quadrata?

0:02:08.140,0:02:11.580
E quello che faremo è, in realtà, proprio questo.

0:02:11.580,0:02:13.090
E questo e' il completamento del quadrato.

0:02:13.090,0:02:15.010
Quindi fammiti fare un esempio.

0:02:15.010,0:02:16.515
Penso che un esempio lo renderà un po' più chiaro.

0:02:16.515,0:02:17.620
Fammelo mettere da parte.

0:02:17.620,0:02:19.310
Questo è ciò che devi ricordare.

0:02:19.310,0:02:22.130
Questa è la logica dietro il completamento del quadrato ---

0:02:22.130,0:02:25.650
per ottenere un'equazione in questa forma, su un lato

0:02:25.650,0:02:27.940
dell'equazione, e solo un numero da altro lato, così

0:02:27.940,0:02:31.210
cosi' da fare la radice quadrata di entrambe le parti.

0:02:31.210,0:02:32.000
Quindi vediamo.

0:02:32.000,0:02:33.970
Prima di tutto, controlliamo per assicurarci che questo non sia

0:02:33.970,0:02:35.020
un quadrato perfetto.

0:02:35.020,0:02:39.700
Se così fosse, questo coefficiente sarebbe equivalente a 2a.

0:02:39.700,0:02:40.470
Giusto?

0:02:40.470,0:02:44.440
Quindi a sarebbe 8 e quindi questo sarebbe 64.

0:02:44.440,0:02:48.270
Questo chiaramente non è 64, quindi questa qui non è

0:02:48.270,0:02:50.840
un'espressione al quadrato.

0:02:50.840,0:02:51.680
Percio' cosa possiamo fare?

0:02:51.680,0:02:55.990
Beh fammi sbarazzare del 57 aggiungendo 57 a entrambi

0:02:55.990,0:02:57.200
i lati di questa equazione.

0:02:57.200,0:03:07.550
Quindi otterrei x^2 + 16x = 57.

0:03:07.550,0:03:11.470
Tutto quello che fatto è aggiungere 57 a entrambi i lati di questa equazione.

0:03:11.470,0:03:16.300
Ora, cosa potrei sommare qui affinché questo, il lato sinistro

0:03:16.300,0:03:21.480
di questa equazione, diventa un quadrato di qualche espressione

0:03:21.480,0:03:24.820
come x + a?

0:03:24.820,0:03:28.790
Se segui questo modello quaggiù, abbiamo

0:03:28.790,0:03:37.880
x^2 + 2ax --- quindi potresti vedere questo qui come 2ax.

0:03:37.880,0:03:39.090
Giusto?

0:03:39.090,0:03:40.900
Questo è 2ax.

0:03:40.900,0:03:43.520
E poi ci dobbiamo aggiungere un a^2.

0:03:43.520,0:03:44.040
Giusto?

0:03:44.040,0:03:46.300
Più a^2.

0:03:46.300,0:03:48.010
E avremmo questa forma qui.

0:03:48.010,0:03:50.510
Ma sappiamo dall'algebra di base che tutto quello che fai

0:03:50.510,0:03:52.080
su un lato di un'equazione devi farlo anche all'altro.

0:03:52.080,0:03:54.230
Quindi se qui abbiamo aggiunto un a^2, aggiungiamo un

0:03:54.230,0:03:56.840
a^2 pure qui.

0:03:56.840,0:04:01.350
E ora potresti essenzialmente riscriverla come un quadrato

0:04:01.350,0:04:02.260
di qualche espressione.

0:04:02.260,0:04:04.210
Ma prima dobbiamo capire quant'e' a.

0:04:04.210,0:04:05.520
Bene come facciamo?

0:04:05.520,0:04:06.740
Beh, che cosa è a?

0:04:06.740,0:04:10.720
Se questa espressione qui è 2ax, quant'e' a?

0:04:10.720,0:04:15.380
Beh 2a sara' 16, quindi a = 8.

0:04:15.380,0:04:18.020
E di solito lo si puo' fare semplicemente guardando;

0:04:18.020,0:04:18.630
lo fai a mente.

0:04:18.630,0:04:20.930
Ma se volessi vederlo algebricamente potresti

0:04:20.930,0:04:25.690
scrivere 2ax = 16x.

0:04:25.690,0:04:29.090
E poi dividere entrambi i lati per 2x e ottieni

0:04:29.090,0:04:31.430
a = 16x / 2x.

0:04:31.430,0:04:36.950
E assumendo che x non sia 0 questo diventa 8.

0:04:36.950,0:04:38.130
Quindi a = 8.

0:04:38.130,0:04:42.430
Quindi, se a = 8 potremmo riscrivere quell'espressione --- cambio

0:04:42.430,0:04:49.030
colore arbitrariamente --- come

0:04:49.030,0:04:50.470
x^2 + 16x + a^2.

0:04:50.470,0:04:54.180
Beh, è 64, perché a = 8.

0:04:54.180,0:04:59.170
È uguale a 57 + 64.

0:04:59.170,0:05:00.720
Giusto?

0:05:00.720,0:05:04.600
Sono andato attraverso una spiegazione abbastanza noiosa qui, ma tutto quello che abbiamo

0:05:04.600,0:05:08.890
fatto per arrivare da qui a lì è solo aggiungere 57 a entrambi

0:05:08.890,0:05:10.870
i lati di questa equazione per avercelo sul lato destro

0:05:10.870,0:05:14.320
e poi abbiamo aggiunto 64 a entrambi i lati di questa equazione.

0:05:14.320,0:05:16.830
E perché ho aggiunto 64 a entrambi i lati di questa equazione?

0:05:16.830,0:05:21.070
In modo che l'espressione a sinistra prendesse questa forma.

0:05:21.070,0:05:23.200
Ora che l'espressione a sinistra utilizza ha questa forma

0:05:23.200,0:05:26.030
la posso riscrivere come che cosa?

0:05:26.030,0:05:27.170
(x + a)^2.

0:05:27.170,0:05:28.620
Posso riscriverla in questa forma.

0:05:28.620,0:05:35.550
E sappiamo che a = 8, quindi diventa (x + 8)^2

0:05:35.550,0:05:39.730
è pari a-- e quanto fa 57 + 64?

0:05:39.730,0:05:43.090
Fa 121.

0:05:43.090,0:05:47.270
Ora abbiamo quella che appare come un'abbastanza semplice --- è

0:05:47.270,0:05:48.960
ancora un'equazione di secondo grado, in realtà, perché se

0:05:48.960,0:05:50.350
espandi questo lato ottieni una quadratica.

0:05:50.350,0:05:53.065
Ma possiamo risolverla senza utilizzare l'equazione quadratica

0:05:53.065,0:05:54.610
o senza doverla fattorizzare.

0:05:54.610,0:05:57.390
Possiamo solo fare la radice quadrata di entrambe le parti.

0:05:57.390,0:06:00.550
E se facciamo la radice quadrata di entrambe le parti cosa otteniamo?

0:06:00.550,0:06:03.610
Otteniamo --- di nuovo, cambio colore arbitrariamente ---

0:06:03.610,0:06:09.230
che x + 8 è uguale a, e questo ricordatelo,

0:06:09.230,0:06:12.880
piu' o meno la radice quadrata di 121.

0:06:12.880,0:06:14.590
E quant'è la radice quadrata di 121?

0:06:14.590,0:06:15.960
Beh è 11, giusto?

0:06:15.960,0:06:17.630
Quindi arriviamo qui.

0:06:17.630,0:06:18.800
Fammi mettere questo da parte.

0:06:18.800,0:06:20.620
Questa è stato solo una parentesi.

0:06:20.620,0:06:26.830
Quindi otteniamo x + 8 = più o meno 11.

0:06:26.830,0:06:30.420
E quindi x è uguale a --- sottraiamo 8 da entrambi i lati ---

0:06:30.420,0:06:33.860
-8 più o meno 11.

0:06:33.860,0:06:41.590
E quindi x sarebbe pari a --- quindi -8 + 11 fa 3.

0:06:41.590,0:06:41.970
Giusto?

0:06:44.800,0:06:48.160
Fammi assicurare di averlo fatto giusto.

0:06:48.160,0:06:53.310
x = -8 piu' o meno 11.

0:06:53.310,0:06:54.140
Sì.

0:06:54.140,0:06:55.350
Va bene.

0:06:55.350,0:06:59.270
Quindi x potrebbe essere uguale a 3.

0:06:59.270,0:07:02.960
E poi se prendo -8 - 11, x potrebbe

0:07:02.960,0:07:10.416
anche essere uguale a -19.

0:07:10.416,0:07:11.350
Va bene.

0:07:11.350,0:07:13.200
E vediamo se questo ha un senso.

0:07:13.200,0:07:18.680
Quindi in teoria questo dovrebbe poter essere fattorizzato come

0:07:18.680,0:07:23.770
x - 3 * x + 19 = 0

0:07:23.770,0:07:24.030
Giusto?

0:07:24.030,0:07:26.160
Perché queste sono le due soluzioni di questa equazione.

0:07:26.160,0:07:28.190
E funziona, giusto?

0:07:28.190,0:07:31.340
-3 * 19 = - 57.

0:07:31.340,0:07:36.920
E -3 + 19 = +16x.

0:07:36.920,0:07:39.120
L'avremmo potuto immediatamente fattorizzare in questo modo, ma se

0:07:39.120,0:07:41.030
non fosse risultato ovvio --- perché, sai, almeno

0:07:41.030,0:07:43.600
19 è un numero tipo strano --- lo potremmo fare

0:07:43.600,0:07:46.800
completando il quadrato.

0:07:46.800,0:07:47.690
E percio perché è chiamato completamento del quadrato?

0:07:47.690,0:07:49.920
Perché lo ottieni in questa forma e poi devi aggiungere questo

0:07:49.920,0:07:52.950
64 qui per tipo completare il quadrato --- per trasformare questo

0:07:52.950,0:07:56.020
lato sinistro dell'espressione in un'espressione al quadrato.

0:07:56.020,0:07:56.770
Facciamone un altro.

0:07:56.770,0:07:59.920
E farò meno spiegazione e più pratica

0:07:59.920,0:08:02.105
il che in realtà potrebbe farlo sembrare più semplice.

0:08:04.800,0:08:07.080
Ma questo sara' un problema piu' peloso.

0:08:07.080,0:08:19.930
Quindi diciamo che ho 6x^2 - 7x - 3 = 0.

0:08:19.930,0:08:22.980
Potresti provare a fattorizzarlo, ma personalmente non mi

0:08:22.980,0:08:25.260
diverto a fattorizzare quando ho un coefficiente.

0:08:25.260,0:08:27.590
E potresti dire, oh beh perché non dividiamo entrambi i lati

0:08:27.590,0:08:28.970
di questa equazione per 6?

0:08:28.970,0:08:30.960
Ma poi otterresti una frazione qui e una frazione qui.

0:08:30.960,0:08:33.580
E fattorizzare solo dando un'occhiata è ancora peggio.

0:08:33.580,0:08:35.190
Potresti fare l'equazione quadratica.

0:08:35.190,0:08:37.310
E magari ti mostrerò in un futuro video, l'equazione

0:08:37.310,0:08:39.500
quadratica --- e penso di averne già fatto uno dove ho dimostrato

0:08:39.500,0:08:40.630
l'equazione di secondo grado.

0:08:40.630,0:08:42.380
Ma l'equazione quadratica è essenzialmente

0:08:42.380,0:08:43.170
il completamento del quadrato.

0:08:43.170,0:08:44.090
È tipo una scorciatoia.

0:08:44.090,0:08:46.280
È tipo semplicemente ricordare la formula.

0:08:46.280,0:08:48.320
Ma completiamo il quadrato qui, perché è questo

0:08:48.320,0:08:50.640
il punto di questo video.

0:08:50.640,0:08:54.650
Quindi sommiamo il 3 a entrambi i lati dell'equazione.

0:08:54.650,0:08:56.300
Potresti fare --- beh, aggiungiamo prima il 3.

0:08:56.300,0:09:04.820
Quindi ottieni 6x^2 - 7x = 3.

0:09:04.820,0:09:06.770
Ho sommato 3 a entrambe le parti.

0:09:06.770,0:09:09.470
E alcuni insegnanti lasciano il -3 qui e poi provano

0:09:09.470,0:09:11.050
a capire cosa aggiungerci e tutto il resto.

0:09:11.050,0:09:13.170
Ma a me piace togliermelo di torno in modo da poter capire

0:09:13.170,0:09:16.080
molto chiaramente che numero dovrei mettere qui.

0:09:16.080,0:09:18.230
Ma nemmeno mi piace il 6 qui.

0:09:18.230,0:09:19.550
Complica solo le cose.

0:09:19.550,0:09:25.990
Mi piace avere( x + a)^2, non un qualche coefficiente

0:09:25.990,0:09:27.450
della radice quadrata sul termine x.

0:09:27.450,0:09:31.530
Quindi dividiamo entrambi i lati di questa equazione per 6 e ottieniamo

0:09:31.530,0:09:39.730
x^2 - 7/6x = --- 3 diviso 6

0:09:39.730,0:09:41.566
è uguale a 1/2.

0:09:41.566,0:09:43.190
E avremmo potuto farlo come primo passaggio.

0:09:43.190,0:09:46.450
Avremmo potuto dividere per 6 al primo passaggio.

0:09:46.450,0:09:49.250
Comunque, ora proviamo a completare il quadrato.

0:09:49.250,0:09:51.800
Quindi abbiamo x^2 --- mi faccio solo un po' di spazio ---

0:09:51.800,0:09:59.530
- 7/6 x + qualcosa sara' uguale a 1/2.

0:09:59.530,0:10:02.400
E percio' dobbiamo aggiungere qualcosa qui così che questo lato sinistro

0:10:02.400,0:10:05.290
dell'espressione diventi un'espressione al quadrato.

0:10:05.290,0:10:06.620
Quindi come lo facciamo?

0:10:06.620,0:10:10.770
Beh essenzialmente guardiamo questo coefficiente e manteniamo

0:10:10.770,0:10:14.610
in mente che questo non è solo 7/6 è -7/6.

0:10:14.610,0:10:17.460
Ne prendi 1/2 e poi lo elevi al quadrato.

0:10:17.460,0:10:18.610
Giusto?

0:10:18.610,0:10:19.690
Fammelo fare.

0:10:19.690,0:10:25.290
(x + a)^2 è uguale a

0:10:25.290,0:10:28.820
x^2 + 2ax + a^2.

0:10:28.820,0:10:29.070
Giusto?

0:10:29.070,0:10:30.750
E' questo che devi ricordare tutto il tempo.

0:10:30.750,0:10:33.560
E' cio' su cui si basa il completamento del quadrato.

0:10:33.560,0:10:34.980
Quindi cosa ho appena detto?

0:10:34.980,0:10:37.260
Beh, questo termine sara' 1/2 di questo

0:10:37.260,0:10:39.190
coefficiente al quadrato.

0:10:39.190,0:10:40.190
E come lo sappiamo?

0:10:40.190,0:10:43.880
Perché a sara' 1/2 di questo coefficiente se

0:10:43.880,0:10:45.850
fai un po' di controlli.

0:10:45.850,0:10:48.760
Quindi quant'e' 1/2 di questo coefficiente?

0:10:48.760,0:10:54.050
1/2 di -7/6 è -7/12.

0:10:54.050,0:10:56.640
Percio' se vuoi puoi scrivere

0:10:56.640,0:10:58.770
a = -7/12 per il nostro esempio.

0:10:58.770,0:11:00.770
E l'ho solo moltiplicato per 1/2.

0:11:00.770,0:11:01.980
Giusto?

0:11:01.980,0:11:03.660
Quindi cosa aggiungo ad entrambi i lati?

0:11:03.660,0:11:06.030
Aggiungo a^2.

0:11:06.030,0:11:08.930
Quindi quanto fa (7/12)^2?

0:11:08.930,0:11:13.220
Beh, sara' 49/144.

0:11:13.220,0:11:15.000
Se l'ho fatto a sinistra devo farlo anche

0:11:15.000,0:11:16.630
al lato destro.

0:11:16.630,0:11:22.240
Più 49/144.

0:11:22.240,0:11:26.120
E ora come posso semplificare questo lato sinistro?

0:11:26.120,0:11:26.880
Qual è il nostro prossimo passo?

0:11:26.880,0:11:28.470
Bene ora sappiamo che è un quadrato perfetto.

0:11:28.470,0:11:31.550
In realtà, sappiamo quant'e' a. a = - 7/12.

0:11:31.550,0:11:35.200
E percio' sappiamo che il sinistro lato di questa equazione

0:11:35.200,0:11:43.390
è x - a --- o x + a, ma a è un numero negativo.

0:11:43.390,0:11:47.980
Quindi x + a, e a è negativo, al quadrato.

0:11:47.980,0:11:50.350
E se vuoi puoi moltiplicare e confermare

0:11:50.350,0:11:53.130
che è veramente uguale a questo.

0:11:53.130,0:11:55.920
E questo sara' uguale a --- prendiamo un denominatore

0:11:55.920,0:11:58.360
comune --- 144.

0:11:58.360,0:12:04.070
Quindi 72 + 49 = 121.

0:12:04.070,0:12:06.300
121/144.

0:12:06.300,0:12:09.210
Quindi abbiamo x - 7/12, tutto questo al quadrato

0:12:09.210,0:12:13.180
è uguale a 121/144.

0:12:13.180,0:12:14.300
Percio' adesso che facciamo?

0:12:14.300,0:12:15.570
Bene, ora facciamo semplicemente la radice quadrata di entrambi

0:12:15.570,0:12:17.700
i lati di questa equazione.

0:12:17.700,0:12:20.140
E sto cercando di liberare un po' di spazio.

0:12:20.140,0:12:22.215
Passo al verde.

0:12:22.215,0:12:25.320
Fammelo suddividere.

0:12:25.320,0:12:33.310
E otteniamo x - 7/12 = più o meno

0:12:33.310,0:12:33.940
radice quadrata di questo.

0:12:33.940,0:12:38.120
Quindi, più o meno 11/12.

0:12:38.120,0:12:38.390
Giusto?

0:12:38.390,0:12:39.660
Radice quadrata di 121 è 11.

0:12:39.660,0:12:42.420
Radice quadrata di 144 è 12.

0:12:42.420,0:12:44.480
Quindi potremmo aggiungere 7/12 a entrambi i lati di questa equazione,

0:12:44.480,0:12:53.100
e otteniamo x = 7/12 piu' o meno 11/12.

0:12:53.100,0:12:58.660
Che è uguale a 7 più o meno 11/12.

0:12:58.660,0:13:00.050
Quindi quali sono le due opzioni?

0:13:00.050,0:13:03.930
7 + 11 = 18, su 12.

0:13:03.930,0:13:08.210
Quindi x potrebbe essere uguale 18/12, cioe' 3/2.

0:13:08.210,0:13:11.010
Oppure, quanto fa 7 - 11?

0:13:11.010,0:13:12.760
Fa - 4/12.

0:13:12.760,0:13:15.370
Quindi è -1/3.

0:13:15.370,0:13:16.630
Ecco qua.

0:13:16.630,0:13:17.940
Questo e' il completamento del quadrato.

0:13:17.940,0:13:20.220
Spero tu lo abbia trovato abbastanza comprensibile.

0:13:20.220,0:13:23.340
E se vuoi provare l'equazione quadratica,

0:13:23.340,0:13:27.320
quello che devi fare fare è invece di avere numeri, scrivi

0:13:27.320,0:13:29.820
ax^2 + bx + c = 0.

0:13:29.820,0:13:34.130
E poi completi il quadrato utilizzando la a, b e c

0:13:34.130,0:13:35.060
invece di numeri.

0:13:35.060,0:13:37.180
E finisci con l'equazione quadratica

0:13:37.180,0:13:38.110
a questo punto.

0:13:38.110,0:13:39.510
E penso che l'ho fatto in un video.

0:13:39.510,0:13:41.600
Fammi sapere se non l'ho fatto e lo farò per te.

0:13:41.600,0:13:44.540
Comunque, ci vediamo nel prossimo video.