9:59:59.000,9:59:59.000
Och vi kunde har gjort att vårt första steg.
0:00:00.870,0:00:03.610
Välkommen till videon om hur man löser kvadratiska ekvationer
0:00:03.610,0:00:04.440
Vad är att slutföra kvadraten?
0:00:04.440,0:00:06.740
Tja, det är ett sätt att lösa andragradsekvationer.
0:00:06.740,0:00:09.700
Och faktiskt, låt mig bara skriva ner en andragradsekvation, och
0:00:09.700,0:00:11.570
sedan kommer jag visa er hur du genomför kvadratkomplettering
0:00:11.570,0:00:13.460
Och sedan ska vi göra ett annat exempel och sedan kanske tala
0:00:13.460,0:00:16.650
lite lite om varför det kallas för kvadratkomplettering
0:00:16.650,0:00:27.770
Så låt oss säga har denna ekvation: x^2 plus 16 x
0:00:27.770,0:00:32.600
minus 57 är lika med 0.
0:00:32.600,0:00:36.130
Så vilka verktyg har vi för att lösa ett
0:00:36.130,0:00:36.970
sådant här problem?
0:00:36.970,0:00:38.570
Vi kan försöka faktorisera ut ett svar,
0:00:38.570,0:00:41.770
Vi skulle kunna säga, vilka två summeras ihop till 16 och när du
0:00:41.770,0:00:44.060
multiplicera dem så blir det -57?
0:00:44.060,0:00:45.450
Och skulle du behöva tänka och testa lite.
0:00:45.450,0:00:47.360
Och du kan få hela tal, men du är inte ens
0:00:47.360,0:00:49.050
säker om det finns 2 heltal som ger dig en
0:00:49.050,0:00:49.540
enkel och korrekt lösning
0:00:49.540,0:00:50.630
I detta fallet finns det dock heltal.
0:00:50.630,0:00:53.510
Ibland lösningen är ett decimalt tal
0:00:53.510,0:00:54.190
och du känner inte till det
0:00:54.190,0:00:58.150
Så är den enda gång som du verkligen kan faktorisera om du är säker att
0:00:58.150,0:01:01.000
du kunde faktorisera ut detta i form av heltalsuttryck.
0:01:01.000,0:01:03.620
Ni vet, x plus vissa heltal eller x minus vissa heltal
0:01:03.620,0:01:05.920
gånger, du vet, x plus några andra heltal.
0:01:05.920,0:01:06.990
Eller liknande
0:01:06.990,0:01:09.240
Det andra alternativet är att göra en andragradsekvation.
0:01:09.240,0:01:11.420
Och vad vi ska se är faktiskt andragradsekvation
0:01:11.420,0:01:15.510
är bara i huvudsak en genväg för kvadratkomplettering.
0:01:15.510,0:01:18.410
Andragradsekvation bevisas faktiskt genom
0:01:18.410,0:01:19.420
kvadratkomplettering
0:01:19.420,0:01:21.420
Så vad är kvadratkomplettering?
0:01:21.420,0:01:23.340
Hur gör man?
0:01:23.340,0:01:27.080
Nåväl, innan vi går vidare låt oss se vad som händer
0:01:27.080,0:01:30.930
om jag kvadrerar ett uttryck.
0:01:30.930,0:01:33.220
Låt mig göra det här nere i hörnet
0:01:33.220,0:01:40.250
Vad är (x plus a), i kvadrat?
0:01:40.250,0:01:50.940
Ja, det är lika med x^2 + 2ax + a^2.
0:01:50.940,0:01:51.680
Rätt?
0:01:51.680,0:01:55.420
Så om du ser någonsin något på denna form vet du att det har
0:01:55.420,0:01:57.740
x plus något i kvadrat.
0:01:57.740,0:02:01.040
Så vore det inte snyggt vi kan manipulera denna ekvation
0:02:01.040,0:02:05.900
så vi kan skriva det som (x + a) ^2 är lika med något,
0:02:05.900,0:02:08.140
och då kan vi bara ta kvadratroten ur hela uttrycket?
0:02:08.140,0:02:11.580
Och vad vi ska göra är faktiskt att göra just detta.
0:02:11.580,0:02:13.090
Vilket är att genomföra kvadratkomplettering
0:02:13.090,0:02:15.010
Så låt mig visa ett exempel.
0:02:15.010,0:02:16.515
Jag tror att ett exempel kommer att göra det lite tydligare.
0:02:16.515,0:02:17.620
Låt mig ruta in det här.
0:02:17.620,0:02:19.310
Detta är vad du behöver komma ihåg.
0:02:19.310,0:02:22.130
Detta är hela logiken bakom kvadratkomplettering
0:02:22.130,0:02:25.650
att få en ekvation i denna form, på ena sidan av lika med
0:02:25.650,0:02:27.940
och bara ha ett tal kvar på andra sidan, så
0:02:27.940,0:02:31.210
man kan ta kvadratroten ur båda sidor.
0:02:31.210,0:02:32.000
Så låt oss se.
0:02:32.000,0:02:33.970
Först av allt, låt oss bara kontrollera att detta inte är
0:02:33.970,0:02:35.020
en perfekt kvadrat.
0:02:35.020,0:02:39.700
Om detta skulle, skulle denna koefficient motsvara 2a.
0:02:39.700,0:02:40.470
Eller hur?
0:02:40.470,0:02:44.440
Så a skulle vara 8, och detta skulle sedan vara 64.
0:02:44.440,0:02:48.270
Detta är uppenbarligen inte 64, så det här inte är
0:02:48.270,0:02:50.840
ett kvadratiskt uttryck
0:02:50.840,0:02:51.680
Så hur kan vi göra?
0:02:51.680,0:02:55.990
Vi börjar med att eliminera 57 genom att lägga till 57 på
0:02:55.990,0:02:57.200
båda sidorna av ekvationen
0:02:57.200,0:03:07.550
Så vi får x^2 + 16x = 57
0:03:07.550,0:03:11.470
Allt jag gjorde var att lägga till 57 på båda sidor
0:03:11.470,0:03:16.300
Vad kan jag nu lägga till här i uttrycket så att
0:03:16.300,0:03:21.480
vänstersidan av uttrycket blir en kvadrat av något uttryck
0:03:21.480,0:03:24.820
liknande x+a
0:03:24.820,0:03:28.790
Om vi följer lösningen här nere så har vi x^2
0:03:28.790,0:03:37.880
+ 2ax , så vi kan se det här som 2ax
0:03:37.880,0:03:39.090
eller hur?
0:03:39.090,0:03:40.900
Det är 2ax.
0:03:40.900,0:03:43.520
Och då behöver vi bara lägga till a i kvadrat
0:03:43.520,0:03:44.040
Eller hur
0:03:44.040,0:03:46.300
plus a i kvadrat
0:03:46.300,0:03:48.010
Och då har vi den på samma form som här nere
0:03:48.010,0:03:50.510
Men vi vet från grundläggande algebra att
0:03:50.510,0:03:52.080
allt man gör på ena sidan måste man även göra på andra
0:03:52.080,0:03:54.230
Så om jag la till a i kvadrat på ena sidan, får vi
0:03:54.230,0:03:56.840
lägga till en a i kvadrat på denna sidan med
0:03:56.840,0:04:01.350
Och nu kan man enkelt skriva om detta som en kvadrat
0:04:01.350,0:04:02.260
av ett uttryck
0:04:02.260,0:04:04.210
Men innan vi gör det måste vi lösa ut a.
0:04:04.210,0:04:05.520
Och tja, hur gör vi det?
0:04:05.520,0:04:06.740
Vad är a?
0:04:06.740,0:04:10.720
Om det här uttrycket är 2ax, vad är a?
0:04:10.720,0:04:15.380
2*a blir samma sak som 16, så a blir 8
0:04:15.380,0:04:18.020
Och det kan man vanligtvis göra genom att titta på den
0:04:18.020,0:04:18.630
och räkna i huvuvdet.
0:04:18.630,0:04:20.930
Men om du vill se det algebraiskt
0:04:20.930,0:04:25.690
faktiskt skriva 2ax lika med 16x
0:04:25.690,0:04:29.090
Och sedan dela båda sidor med 2 och du får
0:04:29.090,0:04:31.430
16 genom 2
0:04:31.430,0:04:36.950
och vi kan anta att x inte är 0, då blir detta 8
0:04:36.950,0:04:38.130
så a är 8
0:04:38.130,0:04:42.430
så om a är 8, kan vi skriva om det här uttrycket - skall byta färg
0:04:42.430,0:04:49.030
- som x i kvadrat plus 16x
0:04:49.030,0:04:50.470
plus a i kvadrat
0:04:50.470,0:04:54.180
och här får vi 64 då a är 8
0:04:54.180,0:04:59.170
som är lika med 57 + 64
0:04:59.170,0:05:00.720
Eller hur?
0:05:00.720,0:05:04.600
Det kanske blev lite rörigt här, men allt vi gjort
0:05:04.600,0:05:08.890
är egentligen att lägga till 57 på båda sidor
0:05:08.890,0:05:10.870
av ekvationen för att försöka få ut ett enkelt tar på höger sida
0:05:10.870,0:05:14.320
och sedan la vi till 64 på båda sidor av ekvationen
0:05:14.320,0:05:16.830
och varför la jag till 64 på båda sidor av ekvationen?
0:05:16.830,0:05:21.070
Så att vänster sida blir på denna formen
0:05:21.070,0:05:23.200
Och med uttrycket på den här formen
0:05:23.200,0:05:26.030
Kan jag skriva om det som vadå?
0:05:26.030,0:05:27.170
(x + a) i kvadrat
0:05:27.170,0:05:28.620
och kan skriva om det såhär
0:05:28.620,0:05:35.550
och eftersom vi nu vet att a är 8, så att detta blir (x+8) i kvadrat
0:05:35.550,0:05:39.730
är lika med, och vad är 57+64
0:05:39.730,0:05:43.090
det är 121
0:05:43.090,0:05:47.270
Nu har vi något som ser väldigt enkelt ut
0:05:47.270,0:05:48.960
det är fortfarande en kvadratisk ekvation, för att
0:05:48.960,0:05:50.350
om du utvecklar denna sidan får du en kvadrat.
0:05:50.350,0:05:53.065
men vi kan det här utan att använda kvadratiska ekvationer
0:05:53.065,0:05:54.610
och utan att faktorisera
0:05:54.610,0:05:57.390
Vi kan helt enkelt ta roten ur båda sidor av det här
0:05:57.390,0:06:00.550
Och om vi tar kvadratroten ur på båda sidor, vad får vi?
0:06:00.550,0:06:03.610
vi får , - skall bara byta färg -
0:06:03.610,0:06:09.230
att (x + 8) är lika med, och kom ihåg! att det är både
0:06:09.230,0:06:12.880
plus och minus roten ur 121
0:06:12.880,0:06:14.590
Och vad är roten ur 121?
0:06:14.590,0:06:15.960
Tja, 11 eller hur?
0:06:15.960,0:06:17.630
Och vi flyttar oss lite hit
0:06:17.630,0:06:18.800
Låt mig markera undan det här
0:06:18.800,0:06:20.620
Det var bara en notis
0:06:20.620,0:06:26.830
Så vi får x + 8 = plus eller minus 11
0:06:26.830,0:06:30.420
så x är lika med, ta bort 8 från båda sidor
0:06:30.420,0:06:33.860
8 plus eller minus 11
0:06:33.860,0:06:41.590
så x kan vara, minus 8 plus 11 är lika med 3
0:06:41.590,0:06:41.970
eller hur?
0:06:44.800,0:06:48.160
Låt oss försäkra oss om att jag gjordet det där rätt
0:06:48.160,0:06:53.310
x är lika med -8 plus eller minus 11
0:06:53.310,0:06:54.140
Jupp
0:06:54.140,0:06:55.350
Stämmer,
0:06:55.350,0:06:59.270
Så x kan vara 3
0:06:59.270,0:07:02.960
Och om jag sedan tar minus 8 minus 11,
0:07:02.960,0:07:10.416
kan x även vara minus 19
0:07:10.416,0:07:11.350
Tjoho
0:07:11.350,0:07:13.200
Låt oss kolla om detta verkar vettigt
0:07:13.200,0:07:18.680
Så i teori kan vi faktorisera ut detta som x
0:07:18.680,0:07:23.770
minus 3 gånger x plus 19 lika med 0
0:07:23.770,0:07:24.030
Eller?
0:07:24.030,0:07:26.160
För det finns 2 lösningar på denna kvadratekvation
0:07:26.160,0:07:28.190
Och det stämmer?
0:07:28.190,0:07:31.340
minus 3 gånger 19 är minus 57
0:07:31.340,0:07:36.920
och minus 3 plus 19 är plus 16
0:07:36.920,0:07:39.120
Vi kunde rentav faktoriserat uut det här direkt, men om
0:07:39.120,0:07:41.030
det inte är uppenbart, för åtminstonde är
0:07:41.030,0:07:43.600
19 ett lite konstigt tal. Vi kan göra det
0:07:43.600,0:07:46.800
genom kvadratkomplettering
0:07:46.800,0:07:47.690
Men varför kallas det kvadratkomplettering?
0:07:47.690,0:07:49.920
För att vi får det på denna form och måste lägga till det här
0:07:49.920,0:07:52.950
64 här är till för att komplettera kvadraten för att vända det här
0:07:52.950,0:07:56.020
vänsterledet till ett kvadratuttryck
0:07:56.020,0:07:56.770
Låt oss göra en till snabbt
0:07:56.770,0:07:59.920
Och jag förklarar lite mindre och ni hänger bara med
0:07:59.920,0:08:02.105
detta exempel kan verka lättare
0:08:04.800,0:08:07.080
men det kan bli lite knivigare
0:08:07.080,0:08:19.930
så, låt säga att jag har 6x i kvadrat minus 7x minus 3 lika med 0
0:08:19.930,0:08:22.980
vi kan försöka faktorisera ut det, men personligen skulle jag inte
0:08:22.980,0:08:25.260
njuta av faktorisering när jag har en koefficient
0:08:25.260,0:08:27.590
Och man kan säga, tja, varför inte dela båda sidor
0:08:27.590,0:08:28.970
av ekvationen med 6?
0:08:28.970,0:08:30.960
Men då får vi ett bråk här och ett bråk här
0:08:30.960,0:08:33.580
Och det är värre att reda ut bara genom att titta på det
0:08:33.580,0:08:35.190
Man kan göra kvadratiskt uttryck
0:08:35.190,0:08:37.310
Och kanske i framtiden kommer en video där
0:08:37.310,0:08:39.500
det visas, och jag kanske redan gjort en video
0:08:39.500,0:08:40.630
där jag bevisar kvadratiska ekvationen
0:08:40.630,0:08:42.380
men kvadratiska ekvationen är huvudsakligen
0:08:42.380,0:08:43.170
kvadratkomplettering
0:08:43.170,0:08:44.090
Det är en genväg
0:08:44.090,0:08:46.280
bara ytterligare ett sätt att komma ihåg formeln
0:08:46.280,0:08:48.320
men låt oss kvadratkomplettera här, för det är
0:08:48.320,0:08:50.640
poängen med videon
0:08:50.640,0:08:54.650
så vi lägger till 3 på båda sidor av ekvationen
0:08:54.650,0:08:56.300
vi kan, - låt oss lägga till 3 först
0:08:56.300,0:09:04.820
så du får 6x i kvadrat minus 7x lika med 3
0:09:04.820,0:09:06.770
jag la till 3 på båda sidor
0:09:06.770,0:09:09.470
och vissa lärare vill lämna kvar minus 3 här
0:09:09.470,0:09:11.050
för att bara lägga till nya tal.
0:09:11.050,0:09:13.170
men jag gillar att få bort det
0:09:13.170,0:09:16.080
så jag enklare ser vilket tal som blir rätt här
0:09:16.080,0:09:18.230
men jag gillar inte heller den här 6an
0:09:18.230,0:09:19.550
som bara försvårar vad jag försöker göra
0:09:19.550,0:09:25.990
jag vill ha den (x+a) i kvadrat inte någon kvadratrot
0:09:25.990,0:09:27.450
koefficient av x-termen
0:09:27.450,0:09:31.530
så låt oss dela båda sidor med 6 och vi får
0:09:31.530,0:09:39.730
x i kvadrat minus 7 genom 6 x lika med 3 genom 6
0:09:39.730,0:09:41.566
är lika med 1 genom 2
0:09:41.566,0:09:43.190
Och vi kan gjort det som vårat första steg
0:09:43.190,0:09:46.450
Vi kunde helt enkelt delat här med 6 från början
0:09:46.450,0:09:49.250
hursomhelst, nu skall vi försöka avsluta kvadraten
0:09:49.250,0:09:51.800
så vi har x i kvadrat, jag skall bara rengöra lite yta
0:09:51.800,0:09:59.530
minus 7 genom 6 x plus något kommer bli lika med 1 genom 2
0:09:59.530,0:10:02.400
och vi vill lägga till något här som
0:10:02.400,0:10:05.290
gör uttrycket till ett kvadratiskt uttryck
0:10:05.290,0:10:06.620
så hur gör vi det?
0:10:06.620,0:10:10.770
vi tittar i huvudsak på denna koefficienten och behåller
0:10:10.770,0:10:14.610
i tanken att det inte bara är 7 genom 6, utan minus 7 genom 6
0:10:14.610,0:10:17.460
så vi tar bort 1/2 ur den och kvadrerar
0:10:17.460,0:10:18.610
eller hur?
0:10:18.610,0:10:19.690
nu gör jag det.
0:10:19.690,0:10:25.290
x plus a, i kvadrat är lika med x i kvadrat, plus
0:10:25.290,0:10:28.820
2ax + a i kvadrat
0:10:28.820,0:10:29.070
eller hur?
0:10:29.070,0:10:30.750
Det är vad du skall komma ihåg i alla lägen!
0:10:30.750,0:10:33.560
Detta är grunen i kvadratkompletteringen
0:10:33.560,0:10:34.980
så vad sa jag precis?
0:10:34.980,0:10:37.260
tja, denna termen kommer bli 1 genom 2 av denna
0:10:37.260,0:10:39.190
koefficienten i kvadrat
0:10:39.190,0:10:40.190
Och hur vet vi det?
0:10:40.190,0:10:43.880
För att a kommer bli hälften av denna koefficienten om du bara
0:10:43.880,0:10:45.850
gör lite mönstermatchning
0:10:45.850,0:10:48.760
så vad är hälften av det här?
0:10:48.760,0:10:54.050
1 genom 2 minus 7 genom 6 är 7 genom 12
0:10:54.050,0:10:56.640
så om du vill skriva a lika med
0:10:56.640,0:10:58.770
minus 7 genom 12 för vårat exempels skull
0:10:58.770,0:11:00.770
och jag multiplicerade bara det här med 1 genom 2
0:11:00.770,0:11:01.980
eller hur?
0:11:01.980,0:11:03.660
så vad kan jag lägga till på båda sidor?
0:11:03.660,0:11:06.030
och lägger till en kvadrat
0:11:06.030,0:11:08.930
så vad är 7 genom 12 i kvadrat?
0:11:08.930,0:11:13.220
Ja, det kommer att bli 49/144.
0:11:13.220,0:11:15.000
Om jag gjorde det till den vänstra sidan måste jag
0:11:15.000,0:11:16.630
göra det även på den högra sidan.
0:11:16.630,0:11:22.240
Plus 49/144.
0:11:22.240,0:11:26.120
Och nu hur kan jag förenkla vänstersidan?
0:11:26.120,0:11:26.880
Vad är vårt nästa steg?
0:11:26.880,0:11:28.470
Nu vet vi om det är en perfekt kvadrat.
0:11:28.470,0:11:31.550
I själva verket vet vi vad a är. a är minus 7/12.
0:11:31.550,0:11:35.200
Och så vet vi att vänstra sida av ekvationen
0:11:35.200,0:11:43.390
är x minus a-- eller x plus a, men a är ett negativt tal.
0:11:43.390,0:11:47.980
Så x plus a, och a är negativt, kvadraten.
0:11:47.980,0:11:50.350
Och om du vill du kan multiplicera detta och bekräfta
0:11:50.350,0:11:53.130
att det är verkligen är det här.
0:11:53.130,0:11:55.920
Och det kommer att vara lika med--Låt oss få en gemensam
0:11:55.920,0:11:58.360
nämnare, 144.
0:11:58.360,0:12:04.070
72 plus 49 är lika med 121.
0:12:04.070,0:12:06.300
121/144.
0:12:06.300,0:12:09.210
Så vi har x minus 7/12, allt detta kvadrat
0:12:09.210,0:12:13.180
är lika med 121/144.
0:12:13.180,0:12:14.300
Så vad gör vi nu?
0:12:14.300,0:12:15.570
Nåväl vi tar bara kvadratroten ur båda
0:12:15.570,0:12:17.700
sidorna av denna ekvation.
0:12:17.700,0:12:20.140
Och jag försöker att frigöra lite utrymme.
0:12:20.140,0:12:22.215
Växla till grönt.
0:12:22.215,0:12:25.320
Låt mig avgränsa detta.
0:12:25.320,0:12:33.310
Och vi får x minus 7/12 är lika med plus eller minus
0:12:33.310,0:12:33.940
kvadratroten av.
0:12:33.940,0:12:38.120
Så plus eller minus 11/12.
0:12:38.120,0:12:38.390
Rätt?
0:12:38.390,0:12:39.660
Kvadratroten ur 121 är 11.
0:12:39.660,0:12:42.420
Kvadratroten av 144 är 12.
0:12:42.420,0:12:44.480
Så då kan vi lägga till 7/12 till båda sidor av ekvationen,
0:12:44.480,0:12:53.100
och vi får x uppgår till 7/12 plus eller minus 11/12.
0:12:53.100,0:12:58.660
Ja, det är lika med 7 plus eller minus 11/12.
0:12:58.660,0:13:00.050
Vilka är de två alternativen?
0:13:00.050,0:13:03.930
7 + 11 blir 18 genom 12.
0:13:03.930,0:13:08.210
Så x kunde lika 18/12 förenklat 3/2.
0:13:08.210,0:13:11.010
Eller vad är 7 - 11?
0:13:11.010,0:13:12.760
Det är minus 4/12.
0:13:12.760,0:13:15.370
Så det är minus 1/3.
0:13:15.370,0:13:16.630
Där är svaret
0:13:16.630,0:13:17.940
och så genomför man kvadratkomplettering.
0:13:17.940,0:13:20.220
Hoppas du förstår vad vi gjort och kommit till insikt.
0:13:20.220,0:13:23.340
Och om du vill visa andragradsekvation, allt du
0:13:23.340,0:13:27.320
behöver göra är i stället för att ha tal här, Skriv a x i kvadrat
0:13:27.320,0:13:29.820
plus bx plus c är lika med 0.
0:13:29.820,0:13:34.130
Och sedan slutföra fyrkantiga med de a, b och c's
0:13:34.130,0:13:35.060
i stället för siffror.
0:13:35.060,0:13:37.180
Och du kommer att få ett kvadratiskt uttryck
0:13:37.180,0:13:38.110
såhär långt in
0:13:38.110,0:13:39.510
Och jag tror att jag gjort det i en video.
0:13:39.510,0:13:41.600
Hör av er om jag inte gjort det så skall jag göra en video
0:13:41.600,0:13:44.540
Hur som helst, syns igen i nästa video!