Och vi kunde har gjort att vårt första steg.
Välkommen till videon om hur man löser kvadratiska ekvationer
Vad är att slutföra kvadraten?
Tja, det är ett sätt att lösa andragradsekvationer.
Och faktiskt, låt mig bara skriva ner en andragradsekvation, och
sedan kommer jag visa er hur du genomför kvadratkomplettering
Och sedan ska vi göra ett annat exempel och sedan kanske tala
lite lite om varför det kallas för kvadratkomplettering
Så låt oss säga har denna ekvation: x^2 plus 16 x
minus 57 är lika med 0.
Så vilka verktyg har vi för att lösa ett
sådant här problem?
Vi kan försöka faktorisera ut ett svar,
Vi skulle kunna säga, vilka två summeras ihop till 16 och när du
multiplicera dem så blir det -57?
Och skulle du behöva tänka och testa lite.
Och du kan få hela tal, men du är inte ens
säker om det finns 2 heltal som ger dig en
enkel och korrekt lösning
I detta fallet finns det dock heltal.
Ibland lösningen är ett decimalt tal
och du känner inte till det
Så är den enda gång som du verkligen kan faktorisera om du är säker att
du kunde faktorisera ut detta i form av heltalsuttryck.
Ni vet, x plus vissa heltal eller x minus vissa heltal
gånger, du vet, x plus några andra heltal.
Eller liknande
Det andra alternativet är att göra en andragradsekvation.
Och vad vi ska se är faktiskt andragradsekvation
är bara i huvudsak en genväg för kvadratkomplettering.
Andragradsekvation bevisas faktiskt genom
kvadratkomplettering
Så vad är kvadratkomplettering?
Hur gör man?
Nåväl, innan vi går vidare låt oss se vad som händer
om jag kvadrerar ett uttryck.
Låt mig göra det här nere i hörnet
Vad är (x plus a), i kvadrat?
Ja, det är lika med x^2 + 2ax + a^2.
Rätt?
Så om du ser någonsin något på denna form vet du att det har
x plus något i kvadrat.
Så vore det inte snyggt vi kan manipulera denna ekvation
så vi kan skriva det som (x + a) ^2 är lika med något,
och då kan vi bara ta kvadratroten ur hela uttrycket?
Och vad vi ska göra är faktiskt att göra just detta.
Vilket är att genomföra kvadratkomplettering
Så låt mig visa ett exempel.
Jag tror att ett exempel kommer att göra det lite tydligare.
Låt mig ruta in det här.
Detta är vad du behöver komma ihåg.
Detta är hela logiken bakom kvadratkomplettering
att få en ekvation i denna form, på ena sidan av lika med
och bara ha ett tal kvar på andra sidan, så
man kan ta kvadratroten ur båda sidor.
Så låt oss se.
Först av allt, låt oss bara kontrollera att detta inte är
en perfekt kvadrat.
Om detta skulle, skulle denna koefficient motsvara 2a.
Eller hur?
Så a skulle vara 8, och detta skulle sedan vara 64.
Detta är uppenbarligen inte 64, så det här inte är
ett kvadratiskt uttryck
Så hur kan vi göra?
Vi börjar med att eliminera 57 genom att lägga till 57 på
båda sidorna av ekvationen
Så vi får x^2 + 16x = 57
Allt jag gjorde var att lägga till 57 på båda sidor
Vad kan jag nu lägga till här i uttrycket så att
vänstersidan av uttrycket blir en kvadrat av något uttryck
liknande x+a
Om vi följer lösningen här nere så har vi x^2
+ 2ax , så vi kan se det här som 2ax
eller hur?
Det är 2ax.
Och då behöver vi bara lägga till a i kvadrat
Eller hur
plus a i kvadrat
Och då har vi den på samma form som här nere
Men vi vet från grundläggande algebra att
allt man gör på ena sidan måste man även göra på andra
Så om jag la till a i kvadrat på ena sidan, får vi
lägga till en a i kvadrat på denna sidan med
Och nu kan man enkelt skriva om detta som en kvadrat
av ett uttryck
Men innan vi gör det måste vi lösa ut a.
Och tja, hur gör vi det?
Vad är a?
Om det här uttrycket är 2ax, vad är a?
2*a blir samma sak som 16, så a blir 8
Och det kan man vanligtvis göra genom att titta på den
och räkna i huvuvdet.
Men om du vill se det algebraiskt
faktiskt skriva 2ax lika med 16x
Och sedan dela båda sidor med 2 och du får
16 genom 2
och vi kan anta att x inte är 0, då blir detta 8
så a är 8
så om a är 8, kan vi skriva om det här uttrycket - skall byta färg
- som x i kvadrat plus 16x
plus a i kvadrat
och här får vi 64 då a är 8
som är lika med 57 + 64
Eller hur?
Det kanske blev lite rörigt här, men allt vi gjort
är egentligen att lägga till 57 på båda sidor
av ekvationen för att försöka få ut ett enkelt tar på höger sida
och sedan la vi till 64 på båda sidor av ekvationen
och varför la jag till 64 på båda sidor av ekvationen?
Så att vänster sida blir på denna formen
Och med uttrycket på den här formen
Kan jag skriva om det som vadå?
(x + a) i kvadrat
och kan skriva om det såhär
och eftersom vi nu vet att a är 8, så att detta blir (x+8) i kvadrat
är lika med, och vad är 57+64
det är 121
Nu har vi något som ser väldigt enkelt ut
det är fortfarande en kvadratisk ekvation, för att
om du utvecklar denna sidan får du en kvadrat.
men vi kan det här utan att använda kvadratiska ekvationer
och utan att faktorisera
Vi kan helt enkelt ta roten ur båda sidor av det här
Och om vi tar kvadratroten ur på båda sidor, vad får vi?
vi får , - skall bara byta färg -
att (x + 8) är lika med, och kom ihåg! att det är både
plus och minus roten ur 121
Och vad är roten ur 121?
Tja, 11 eller hur?
Och vi flyttar oss lite hit
Låt mig markera undan det här
Det var bara en notis
Så vi får x + 8 = plus eller minus 11
så x är lika med, ta bort 8 från båda sidor
8 plus eller minus 11
så x kan vara, minus 8 plus 11 är lika med 3
eller hur?
Låt oss försäkra oss om att jag gjordet det där rätt
x är lika med -8 plus eller minus 11
Jupp
Stämmer,
Så x kan vara 3
Och om jag sedan tar minus 8 minus 11,
kan x även vara minus 19
Tjoho
Låt oss kolla om detta verkar vettigt
Så i teori kan vi faktorisera ut detta som x
minus 3 gånger x plus 19 lika med 0
Eller?
För det finns 2 lösningar på denna kvadratekvation
Och det stämmer?
minus 3 gånger 19 är minus 57
och minus 3 plus 19 är plus 16
Vi kunde rentav faktoriserat uut det här direkt, men om
det inte är uppenbart, för åtminstonde är
19 ett lite konstigt tal. Vi kan göra det
genom kvadratkomplettering
Men varför kallas det kvadratkomplettering?
För att vi får det på denna form och måste lägga till det här
64 här är till för att komplettera kvadraten för att vända det här
vänsterledet till ett kvadratuttryck
Låt oss göra en till snabbt
Och jag förklarar lite mindre och ni hänger bara med
detta exempel kan verka lättare
men det kan bli lite knivigare
så, låt säga att jag har 6x i kvadrat minus 7x minus 3 lika med 0
vi kan försöka faktorisera ut det, men personligen skulle jag inte
njuta av faktorisering när jag har en koefficient
Och man kan säga, tja, varför inte dela båda sidor
av ekvationen med 6?
Men då får vi ett bråk här och ett bråk här
Och det är värre att reda ut bara genom att titta på det
Man kan göra kvadratiskt uttryck
Och kanske i framtiden kommer en video där
det visas, och jag kanske redan gjort en video
där jag bevisar kvadratiska ekvationen
men kvadratiska ekvationen är huvudsakligen
kvadratkomplettering
Det är en genväg
bara ytterligare ett sätt att komma ihåg formeln
men låt oss kvadratkomplettera här, för det är
poängen med videon
så vi lägger till 3 på båda sidor av ekvationen
vi kan, - låt oss lägga till 3 först
så du får 6x i kvadrat minus 7x lika med 3
jag la till 3 på båda sidor
och vissa lärare vill lämna kvar minus 3 här
för att bara lägga till nya tal.
men jag gillar att få bort det
så jag enklare ser vilket tal som blir rätt här
men jag gillar inte heller den här 6an
som bara försvårar vad jag försöker göra
jag vill ha den (x+a) i kvadrat inte någon kvadratrot
koefficient av x-termen
så låt oss dela båda sidor med 6 och vi får
x i kvadrat minus 7 genom 6 x lika med 3 genom 6
är lika med 1 genom 2
Och vi kan gjort det som vårat första steg
Vi kunde helt enkelt delat här med 6 från början
hursomhelst, nu skall vi försöka avsluta kvadraten
så vi har x i kvadrat, jag skall bara rengöra lite yta
minus 7 genom 6 x plus något kommer bli lika med 1 genom 2
och vi vill lägga till något här som
gör uttrycket till ett kvadratiskt uttryck
så hur gör vi det?
vi tittar i huvudsak på denna koefficienten och behåller
i tanken att det inte bara är 7 genom 6, utan minus 7 genom 6
så vi tar bort 1/2 ur den och kvadrerar
eller hur?
nu gör jag det.
x plus a, i kvadrat är lika med x i kvadrat, plus
2ax + a i kvadrat
eller hur?
Det är vad du skall komma ihåg i alla lägen!
Detta är grunen i kvadratkompletteringen
så vad sa jag precis?
tja, denna termen kommer bli 1 genom 2 av denna
koefficienten i kvadrat
Och hur vet vi det?
För att a kommer bli hälften av denna koefficienten om du bara
gör lite mönstermatchning
så vad är hälften av det här?
1 genom 2 minus 7 genom 6 är 7 genom 12
så om du vill skriva a lika med
minus 7 genom 12 för vårat exempels skull
och jag multiplicerade bara det här med 1 genom 2
eller hur?
så vad kan jag lägga till på båda sidor?
och lägger till en kvadrat
så vad är 7 genom 12 i kvadrat?
Ja, det kommer att bli 49/144.
Om jag gjorde det till den vänstra sidan måste jag
göra det även på den högra sidan.
Plus 49/144.
Och nu hur kan jag förenkla vänstersidan?
Vad är vårt nästa steg?
Nu vet vi om det är en perfekt kvadrat.
I själva verket vet vi vad a är. a är minus 7/12.
Och så vet vi att vänstra sida av ekvationen
är x minus a-- eller x plus a, men a är ett negativt tal.
Så x plus a, och a är negativt, kvadraten.
Och om du vill du kan multiplicera detta och bekräfta
att det är verkligen är det här.
Och det kommer att vara lika med--Låt oss få en gemensam
nämnare, 144.
72 plus 49 är lika med 121.
121/144.
Så vi har x minus 7/12, allt detta kvadrat
är lika med 121/144.
Så vad gör vi nu?
Nåväl vi tar bara kvadratroten ur båda
sidorna av denna ekvation.
Och jag försöker att frigöra lite utrymme.
Växla till grönt.
Låt mig avgränsa detta.
Och vi får x minus 7/12 är lika med plus eller minus
kvadratroten av.
Så plus eller minus 11/12.
Rätt?
Kvadratroten ur 121 är 11.
Kvadratroten av 144 är 12.
Så då kan vi lägga till 7/12 till båda sidor av ekvationen,
och vi får x uppgår till 7/12 plus eller minus 11/12.
Ja, det är lika med 7 plus eller minus 11/12.
Vilka är de två alternativen?
7 + 11 blir 18 genom 12.
Så x kunde lika 18/12 förenklat 3/2.
Eller vad är 7 - 11?
Det är minus 4/12.
Så det är minus 1/3.
Där är svaret
och så genomför man kvadratkomplettering.
Hoppas du förstår vad vi gjort och kommit till insikt.
Och om du vill visa andragradsekvation, allt du
behöver göra är i stället för att ha tal här, Skriv a x i kvadrat
plus bx plus c är lika med 0.
Och sedan slutföra fyrkantiga med de a, b och c's
i stället för siffror.
Och du kommer att få ett kvadratiskt uttryck
såhär långt in
Och jag tror att jag gjort det i en video.
Hör av er om jag inte gjort det så skall jag göra en video
Hur som helst, syns igen i nästa video!