欢迎观看这一节视频课 这一节讲配平 什么叫配平呢 配平是解二次方程的一张方法 所以在解一个二次方程前... 我先把这个二次方程写下来 然后我将说明如何配平 然后再看其它例子 以及为什么这叫作配平 方程是x2+16x-57=0 根据已学的知识 我们可以使用因式分解 看哪两个数加起来等于16 且乘起来是-57 稍微想想 我们得到的并不一定是整数 这一例虽然是整数 但情况并非总是如此 所以 因式分解只能用到 确定能得到整数表达式的情况 (x+整数)(x+整数)这种形式 (x+整数)(x+整数)这种形式 另一个方法是二次公式 我们最终会看到 二次公式其实是配方的快捷方式 它其实是通过配方得到的 那么配方是什么 怎么做呢 首先看看 如何展开平方式 首先看看 如何展开平方式 做在下面这里 (x+a)2是多少 它等于x2+2ax+a2 任何这种形式的 都可以写成(x+某数)2 如果能把这个方程 写成(x+a)2=某数的形式 就能直接开方求解 配方所要做的也正是这些 我举例说明下 配方所要做的也正是这些 我举例说明下 例子更容易理解 这个框起来 是需要记住的 配方其实也就是这个 让方程一侧得到这种形式 另一侧只剩一个数 然后两侧同时取平方根 首先 确认这不是一个完全平方式 若是 将x项系数看作是2a a就是8 a2应该是64 常数项显然不是64 不是完全平方式 然后 我们可以 在两侧同时加上57 以去掉57 有x2+16x=57 这是在两侧同时加上57 然后 左侧需要加上什么 才能得到(x+a)2这样的式子呢 按照下面的规律 有x2 +2ax 这个看成2ax 这是2ax 然后需要加上a2 加a2 这个形式就有了 但方程一侧进行运算 另一侧 需要进行相同运算 左侧加a2 右侧也要加a2 这就是完全平方式的形式了 但还需要知道a a是多少呢 如果这个是2ax 2a显然是16 所以a为8 这只用观察法就能得出 写出来的话 也就是2ax=16x 然后两侧同时除以2x a=16x/2x 假设x不为0 则a=8 a=8 表达式可以写成 随便换种颜色 x2+16x+64 a是8 a2也就是64 等于57+64 我的说明有些冗长 其实这里到这里 也就是两侧同时加57 57移到右侧 然后同时加64 加64是为了 让左侧得到这个完全平方形式 得到完全平方形式后 重写出来是 (x+a)2 这个形式 而a是8 所以是(x+8)2 等于57+64 也就是121 这就非常好做了 仍然是二次方程 仍然是二次方程 却不需要公式法或因式分解了 可以直接两侧同时开方 同时开方得到什么 再随便换个颜色 开方得到x+8=±根号121 正负号别忘了 根号121等于多少 11 到这里来 不管这个 这个只是草稿 于是有x+8=±11 两侧同时-8 有x=-8±11 x可以是-8+11 也就是3 确保我没做错 x=-8±11 对的 x可以是3 或者-8-11 x也可以是-19 看看说不说得通 理论上 这个可以分解为 (x-3)(x+19)=0 因为这两个是方程的解 这很正确 -3×19=-57 而x项系数-3+19=16 这个题其实可以直接用分解的 不过这并不明显 因为19是个很奇怪的数 还不如用配方 为什么叫配方呢 因为需要得到这种形式 加64 来配完整这个式子 让左侧得到完全平方式 再看个例子 我将减少说明 快速完成 这样可能看起来会更简单 不过这个问题更麻烦一些 6x2-7x-3=0 当然 还是可以用因式分解 但我不喜欢 x2项有系数时使用因式分解 两侧同时除以6我也不喜欢 这样到处都是分数 通过观察法分解不好使 可以用二次公式 之后的视频中我会讲到 其实我已经算是讲到了 二次公式本质就是配方 它只是一种快捷方式 将配方公式化 还是配方吧 这才是这一节的主题 首先 两侧同时加上3 得到6x2-7x=3 有些老师喜欢不管这个-3 直接配方 我觉得先把3挪开 算起来更清楚 这个6我也不喜欢 它会把事情搞复杂 我希望得到(x+a)2的形式 不希望x前 还有系数 所以 两侧同时除以6 得到x2-7/6x=3/6=1/2 这可以一步就位 直接把6一起除过去 下面开始配方 x2-7/6x+某数等于1/2 留点空间 左侧需要加上某数 得到完全平方式 怎么做呢 观察系数 这里不是7/6 而是-7/6 取它的1/2 然后平方 算算 (x+a)2=x2+2ax+a2 这是需要记住的 也是所有配方的基础 我刚说 这一项是x项系数1/2的平方 为什么 因为将两个式子的样式进行匹配 我们知道 a就是1/2的x项系数 -7/6的1/2是-7/12 写出来的话 这里a=-7/12 也就是x项系数乘以1/2 两侧需要加多少 才能完成配方 需要加(-7/12)2 也就是49/144 两侧同时加上49/144 左侧如何化简呢 我们知道这是完全平方式 我们知道a是-7/12 所以方程左侧是 (x+a)2 而a是负数 将其乘开必然得到这个 右边需要通分 公分母是144 72+49=121 所以是121/144 所以(x-7/12)2=121/144 然后 两侧同时开平方 找点空位置 换绿色 把这里框出来 我们有x-7/12=±根号(121/144) 也就是±11/12 根号121是11 根号144是12 然后两侧同时加上7/12 有x=7/12±11/12 也就是(7±11)/12 有两种可能 7+11=18 18/12 x=18/12 即3/2 或7-11 有-4/12 即x=-1/3 搞定 这就是配方 但愿大家能够理解 证明二次公式就需要配方 只是要配方的不再是具体数例 而是抽象方程Ax2+Bx+C=0 对Ax2+Bx+C=0进行配方 最后得到二次公式 之前视频我好像讲过 如果我没讲过 之后会讲 好了 下次再会 网易公开课官方微博 http://t.163.com/163open oCourse字幕组翻译：只做公开课的字幕组 http://ocourse.org