WEBVTT

00:00:00.870 --> 00:00:03.080
欢迎观看这一节视频课 这一节讲配平

00:00:03.080 --> 00:00:04.440
什么叫配平呢

NOTE Paragraph

00:00:04.440 --> 00:00:06.740
配平是解二次方程的一张方法

00:00:06.740 --> 00:00:07.970
所以在解一个二次方程前...

00:00:07.970 --> 00:00:09.700
我先把这个二次方程写下来

00:00:09.700 --> 00:00:11.570
然后我将说明如何配平

00:00:11.570 --> 00:00:13.460
然后再看其它例子

00:00:13.460 --> 00:00:16.650
以及为什么这叫作配平

00:00:16.650 --> 00:00:32.600
方程是x2+16x-57=0

00:00:32.600 --> 00:00:36.130
根据已学的知识

00:00:36.130 --> 00:00:38.570
我们可以使用因式分解

00:00:38.570 --> 00:00:41.770
看哪两个数加起来等于16

00:00:41.770 --> 00:00:44.060
且乘起来是-57

00:00:44.060 --> 00:00:45.450
稍微想想

00:00:45.450 --> 00:00:47.360
我们得到的并不一定是整数

00:00:49.540 --> 00:00:51.850
这一例虽然是整数

00:00:51.850 --> 00:00:54.190
但情况并非总是如此

00:00:54.190 --> 00:00:58.150
所以 因式分解只能用到

00:00:58.150 --> 00:01:01.000
确定能得到整数表达式的情况

00:01:01.000 --> 00:01:03.620
(x+整数)(x+整数)这种形式

00:01:03.620 --> 00:01:06.990
(x+整数)(x+整数)这种形式

00:01:06.990 --> 00:01:09.240
另一个方法是二次公式

00:01:09.240 --> 00:01:11.420
我们最终会看到

00:01:11.420 --> 00:01:15.510
二次公式其实是配方的快捷方式

00:01:15.510 --> 00:01:19.420
它其实是通过配方得到的

00:01:19.420 --> 00:01:23.340
那么配方是什么 怎么做呢

00:01:23.340 --> 00:01:27.080
首先看看 如何展开平方式

00:01:27.080 --> 00:01:30.930
首先看看 如何展开平方式

00:01:30.930 --> 00:01:33.220
做在下面这里

00:01:33.220 --> 00:01:40.250
(x+a)2是多少

00:01:40.250 --> 00:01:51.680
它等于x2+2ax+a2

00:01:51.680 --> 00:01:54.310
任何这种形式的

00:01:54.310 --> 00:01:57.740
都可以写成(x+某数)2

00:01:57.740 --> 00:02:01.040
如果能把这个方程

00:02:01.040 --> 00:02:05.900
写成(x+a)2=某数的形式

00:02:05.900 --> 00:02:08.140
就能直接开方求解

00:02:08.140 --> 00:02:11.580
配方所要做的也正是这些 我举例说明下

00:02:11.580 --> 00:02:15.010
配方所要做的也正是这些 我举例说明下

00:02:15.010 --> 00:02:16.510
例子更容易理解

00:02:16.510 --> 00:02:19.310
这个框起来 是需要记住的

00:02:19.310 --> 00:02:22.130
配方其实也就是这个

00:02:22.130 --> 00:02:25.650
让方程一侧得到这种形式

00:02:25.650 --> 00:02:27.940
另一侧只剩一个数

00:02:27.940 --> 00:02:32.000
然后两侧同时取平方根

00:02:32.000 --> 00:02:32.570
首先

00:02:32.570 --> 00:02:35.020
确认这不是一个完全平方式

00:02:35.020 --> 00:02:39.700
若是 将x项系数看作是2a

00:02:39.700 --> 00:02:44.440
a就是8 a2应该是64

00:02:44.440 --> 00:02:50.840
常数项显然不是64 不是完全平方式

00:02:50.840 --> 00:02:52.040
然后 我们可以

00:02:52.040 --> 00:02:57.200
在两侧同时加上57 以去掉57

00:02:57.200 --> 00:03:07.550
有x2+16x=57

00:03:07.550 --> 00:03:11.470
这是在两侧同时加上57

00:03:11.470 --> 00:03:16.300
然后 左侧需要加上什么

00:03:16.300 --> 00:03:24.820
才能得到(x+a)2这样的式子呢

00:03:24.820 --> 00:03:28.790
按照下面的规律 有x2

00:03:28.790 --> 00:03:37.880
+2ax 这个看成2ax

00:03:37.880 --> 00:03:40.900
这是2ax

00:03:40.900 --> 00:03:44.040
然后需要加上a2

00:03:44.040 --> 00:03:48.010
加a2 这个形式就有了

00:03:48.010 --> 00:03:50.510
但方程一侧进行运算 另一侧

00:03:50.510 --> 00:03:52.080
需要进行相同运算

00:03:52.080 --> 00:03:56.840
左侧加a2 右侧也要加a2

00:03:56.840 --> 00:04:02.260
这就是完全平方式的形式了

00:04:02.260 --> 00:04:04.210
但还需要知道a

00:04:04.210 --> 00:04:06.740
a是多少呢

00:04:06.740 --> 00:04:10.720
如果这个是2ax

00:04:10.720 --> 00:04:15.380
2a显然是16 所以a为8

00:04:15.380 --> 00:04:18.630
这只用观察法就能得出

00:04:18.630 --> 00:04:20.930
写出来的话

00:04:20.930 --> 00:04:25.690
也就是2ax=16x

00:04:25.690 --> 00:04:31.430
然后两侧同时除以2x a=16x/2x

00:04:31.430 --> 00:04:38.130
假设x不为0 则a=8

00:04:38.130 --> 00:04:42.430
a=8 表达式可以写成

00:04:42.430 --> 00:04:50.470
随便换种颜色 x2+16x+64

00:04:50.470 --> 00:04:54.180
a是8 a2也就是64

00:04:54.180 --> 00:05:00.720
等于57+64

00:05:00.720 --> 00:05:04.600
我的说明有些冗长

00:05:04.600 --> 00:05:08.890
其实这里到这里 也就是两侧同时加57

00:05:08.890 --> 00:05:10.870
57移到右侧

00:05:10.870 --> 00:05:14.320
然后同时加64

00:05:14.320 --> 00:05:16.830
加64是为了

00:05:16.830 --> 00:05:21.070
让左侧得到这个完全平方形式

00:05:21.070 --> 00:05:23.200
得到完全平方形式后

00:05:23.200 --> 00:05:26.030
重写出来是

00:05:26.030 --> 00:05:28.620
(x+a)2 这个形式

00:05:28.620 --> 00:05:35.550
而a是8 所以是(x+8)2

00:05:35.550 --> 00:05:43.090
等于57+64 也就是121

00:05:43.090 --> 00:05:47.270
这就非常好做了

00:05:47.270 --> 00:05:48.960
仍然是二次方程

00:05:48.960 --> 00:05:50.350
仍然是二次方程

00:05:50.350 --> 00:05:53.060
却不需要公式法或因式分解了

00:05:54.610 --> 00:05:57.390
可以直接两侧同时开方

00:05:57.390 --> 00:06:00.550
同时开方得到什么

00:06:00.550 --> 00:06:03.610
再随便换个颜色

00:06:03.610 --> 00:06:09.230
开方得到x+8=±根号121 正负号别忘了

00:06:12.880 --> 00:06:15.960
根号121等于多少 11

00:06:15.960 --> 00:06:20.620
到这里来 不管这个 这个只是草稿

00:06:20.620 --> 00:06:26.830
于是有x+8=±11

00:06:26.830 --> 00:06:33.860
两侧同时-8 有x=-8±11

00:06:33.860 --> 00:06:41.590
x可以是-8+11 也就是3

00:06:41.590 --> 00:06:48.160
确保我没做错

00:06:48.160 --> 00:06:53.310
x=-8±11

00:06:53.310 --> 00:06:59.270
对的 x可以是3

00:06:59.270 --> 00:07:10.410
或者-8-11 x也可以是-19

00:07:10.410 --> 00:07:13.200
看看说不说得通

00:07:13.200 --> 00:07:18.680
理论上 这个可以分解为

00:07:18.680 --> 00:07:24.030
(x-3)(x+19)=0

00:07:24.030 --> 00:07:26.160
因为这两个是方程的解

00:07:26.160 --> 00:07:28.190
这很正确

00:07:28.190 --> 00:07:31.340
-3×19=-57

00:07:31.340 --> 00:07:36.920
而x项系数-3+19=16

00:07:36.920 --> 00:07:39.120
这个题其实可以直接用分解的

00:07:39.120 --> 00:07:41.030
不过这并不明显

00:07:41.030 --> 00:07:46.800
因为19是个很奇怪的数 还不如用配方

00:07:46.800 --> 00:07:47.690
为什么叫配方呢

00:07:47.690 --> 00:07:49.920
因为需要得到这种形式 加64

00:07:49.920 --> 00:07:52.950
来配完整这个式子

00:07:52.950 --> 00:07:56.020
让左侧得到完全平方式

00:07:56.020 --> 00:07:56.770
再看个例子

00:07:56.770 --> 00:07:59.920
我将减少说明 快速完成

00:07:59.920 --> 00:08:02.100
这样可能看起来会更简单

00:08:04.800 --> 00:08:07.080
不过这个问题更麻烦一些

00:08:07.080 --> 00:08:19.930
6x2-7x-3=0

00:08:19.930 --> 00:08:22.980
当然 还是可以用因式分解 但我不喜欢

00:08:22.980 --> 00:08:25.260
x2项有系数时使用因式分解

00:08:25.260 --> 00:08:27.590
两侧同时除以6我也不喜欢

00:08:28.970 --> 00:08:30.960
这样到处都是分数

00:08:30.960 --> 00:08:33.580
通过观察法分解不好使

00:08:33.580 --> 00:08:35.190
可以用二次公式

00:08:35.190 --> 00:08:37.710
之后的视频中我会讲到

00:08:37.710 --> 00:08:40.630
其实我已经算是讲到了

00:08:40.630 --> 00:08:43.170
二次公式本质就是配方

00:08:43.170 --> 00:08:46.280
它只是一种快捷方式 将配方公式化

00:08:46.280 --> 00:08:47.520
还是配方吧

00:08:47.520 --> 00:08:50.640
这才是这一节的主题

00:08:50.640 --> 00:08:54.650
首先 两侧同时加上3

00:08:56.300 --> 00:09:06.770
得到6x2-7x=3

00:09:06.770 --> 00:09:09.470
有些老师喜欢不管这个-3

00:09:09.470 --> 00:09:11.050
直接配方

00:09:11.050 --> 00:09:13.170
我觉得先把3挪开

00:09:13.170 --> 00:09:16.080
算起来更清楚

00:09:16.080 --> 00:09:19.550
这个6我也不喜欢 它会把事情搞复杂

00:09:19.550 --> 00:09:25.990
我希望得到(x+a)2的形式 不希望x前

00:09:25.990 --> 00:09:27.450
还有系数

00:09:27.450 --> 00:09:31.530
所以 两侧同时除以6

00:09:31.530 --> 00:09:41.560
得到x2-7/6x=3/6=1/2

00:09:41.560 --> 00:09:43.190
这可以一步就位

00:09:43.190 --> 00:09:46.450
直接把6一起除过去

00:09:46.450 --> 00:09:49.250
下面开始配方

00:09:49.250 --> 00:09:51.800
x2-7/6x+某数等于1/2 留点空间

00:09:59.530 --> 00:10:02.400
左侧需要加上某数

00:10:02.400 --> 00:10:05.290
得到完全平方式

00:10:05.290 --> 00:10:06.620
怎么做呢

00:10:06.620 --> 00:10:10.770
观察系数

00:10:10.770 --> 00:10:14.610
这里不是7/6 而是-7/6

00:10:14.610 --> 00:10:18.610
取它的1/2 然后平方

00:10:18.610 --> 00:10:19.690
算算

00:10:19.690 --> 00:10:28.820
(x+a)2=x2+2ax+a2

00:10:28.820 --> 00:10:30.750
这是需要记住的

00:10:30.750 --> 00:10:33.560
也是所有配方的基础

00:10:33.560 --> 00:10:34.980
我刚说

00:10:34.980 --> 00:10:39.190
这一项是x项系数1/2的平方

00:10:39.190 --> 00:10:40.190
为什么

00:10:40.190 --> 00:10:44.080
因为将两个式子的样式进行匹配

00:10:44.080 --> 00:10:48.760
我们知道 a就是1/2的x项系数

00:10:48.760 --> 00:10:54.050
-7/6的1/2是-7/12

00:10:54.050 --> 00:10:58.770
写出来的话 这里a=-7/12

00:10:58.770 --> 00:11:01.980
也就是x项系数乘以1/2

00:11:01.980 --> 00:11:06.030
两侧需要加多少 才能完成配方

00:11:06.030 --> 00:11:13.440
需要加(-7/12)2 也就是49/144

00:11:13.440 --> 00:11:16.630
两侧同时加上49/144

00:11:22.240 --> 00:11:26.120
左侧如何化简呢

00:11:26.120 --> 00:11:28.470
我们知道这是完全平方式

00:11:28.470 --> 00:11:31.550
我们知道a是-7/12

00:11:31.550 --> 00:11:35.200
所以方程左侧是

00:11:35.200 --> 00:11:43.390
(x+a)2 而a是负数

00:11:47.980 --> 00:11:50.350
将其乘开必然得到这个

00:11:53.130 --> 00:11:58.360
右边需要通分 公分母是144

00:11:58.360 --> 00:12:06.300
72+49=121 所以是121/144

00:12:06.300 --> 00:12:13.180
所以(x-7/12)2=121/144

00:12:13.180 --> 00:12:14.300
然后

00:12:14.300 --> 00:12:17.700
两侧同时开平方

00:12:17.700 --> 00:12:22.210
找点空位置 换绿色

00:12:22.210 --> 00:12:25.320
把这里框出来

00:12:25.320 --> 00:12:33.940
我们有x-7/12=±根号(121/144)

00:12:33.940 --> 00:12:38.390
也就是±11/12

00:12:38.390 --> 00:12:42.420
根号121是11 根号144是12

00:12:42.420 --> 00:12:44.480
然后两侧同时加上7/12

00:12:44.480 --> 00:12:53.100
有x=7/12±11/12

00:12:53.100 --> 00:12:58.660
也就是(7±11)/12

00:12:58.660 --> 00:13:03.930
有两种可能 7+11=18 18/12

00:13:03.930 --> 00:13:08.210
x=18/12 即3/2

00:13:08.210 --> 00:13:12.760
或7-11 有-4/12

00:13:12.760 --> 00:13:17.940
即x=-1/3 搞定 这就是配方

00:13:17.940 --> 00:13:20.220
但愿大家能够理解

00:13:20.220 --> 00:13:23.340
证明二次公式就需要配方

00:13:23.340 --> 00:13:26.240
只是要配方的不再是具体数例

00:13:26.240 --> 00:13:29.820
而是抽象方程Ax2+Bx+C=0

00:13:29.820 --> 00:13:35.060
对Ax2+Bx+C=0进行配方

00:13:35.060 --> 00:13:38.110
最后得到二次公式

00:13:38.110 --> 00:13:39.510
之前视频我好像讲过

00:13:39.510 --> 00:13:41.600
如果我没讲过 之后会讲

00:13:41.600 --> 00:13:44.540
好了 下次再会

00:00:17.070 --> 00:00:25.070
网易公开课官方微博 http://t.163.com/163open

00:00:30.070 --> 00:00:45.070
oCourse字幕组翻译：只做公开课的字幕组 http://ocourse.org