欢迎观看这一节视频课 这一节讲配平
什么叫配平呢
配平是解二次方程的一张方法
所以在解一个二次方程前...
我先把这个二次方程写下来
然后我将说明如何配平
然后再看其它例子
以及为什么这叫作配平
方程是x2+16x-57=0
根据已学的知识
我们可以使用因式分解
看哪两个数加起来等于16
且乘起来是-57
稍微想想
我们得到的并不一定是整数
这一例虽然是整数
但情况并非总是如此
所以 因式分解只能用到
确定能得到整数表达式的情况
(x+整数)(x+整数)这种形式
另一个方法是二次公式
我们最终会看到
二次公式其实是配方的快捷方式
它其实是通过配方得到的
那么配方是什么 怎么做呢
首先看看 如何展开平方式
做在下面这里
(x+a)2是多少
它等于x2+2ax+a2
任何这种形式的
都可以写成(x+某数)2
如果能把这个方程
写成(x+a)2=某数的形式
就能直接开方求解
配方所要做的也正是这些 我举例说明下
例子更容易理解
这个框起来 是需要记住的
配方其实也就是这个
让方程一侧得到这种形式
另一侧只剩一个数
然后两侧同时取平方根
首先
确认这不是一个完全平方式
若是 将x项系数看作是2a
a就是8 a2应该是64
常数项显然不是64 不是完全平方式
然后 我们可以
在两侧同时加上57 以去掉57
有x2+16x=57
这是在两侧同时加上57
然后 左侧需要加上什么
才能得到(x+a)2这样的式子呢
按照下面的规律 有x2
+2ax 这个看成2ax
这是2ax
然后需要加上a2
加a2 这个形式就有了
但方程一侧进行运算 另一侧
需要进行相同运算
左侧加a2 右侧也要加a2
这就是完全平方式的形式了
但还需要知道a
a是多少呢
如果这个是2ax
2a显然是16 所以a为8
这只用观察法就能得出
写出来的话
也就是2ax=16x
然后两侧同时除以2x a=16x/2x
假设x不为0 则a=8
a=8 表达式可以写成
随便换种颜色 x2+16x+64
a是8 a2也就是64
等于57+64
我的说明有些冗长
其实这里到这里 也就是两侧同时加57
57移到右侧
然后同时加64
加64是为了
让左侧得到这个完全平方形式
得到完全平方形式后
重写出来是
(x+a)2 这个形式
而a是8 所以是(x+8)2
等于57+64 也就是121
这就非常好做了
仍然是二次方程
却不需要公式法或因式分解了
可以直接两侧同时开方
同时开方得到什么
再随便换个颜色
开方得到x+8=±根号121 正负号别忘了
根号121等于多少 11
到这里来 不管这个 这个只是草稿
于是有x+8=±11
两侧同时-8 有x=-8±11
x可以是-8+11 也就是3
确保我没做错
x=-8±11
对的 x可以是3
或者-8-11 x也可以是-19
看看说不说得通
理论上 这个可以分解为
(x-3)(x+19)=0
因为这两个是方程的解
这很正确
-3×19=-57
而x项系数-3+19=16
这个题其实可以直接用分解的
不过这并不明显
因为19是个很奇怪的数 还不如用配方
为什么叫配方呢
因为需要得到这种形式 加64
来配完整这个式子
让左侧得到完全平方式
再看个例子
我将减少说明 快速完成
这样可能看起来会更简单
不过这个问题更麻烦一些
6x2-7x-3=0
当然 还是可以用因式分解 但我不喜欢
x2项有系数时使用因式分解
两侧同时除以6我也不喜欢
这样到处都是分数
通过观察法分解不好使
可以用二次公式
之后的视频中我会讲到
其实我已经算是讲到了
二次公式本质就是配方
它只是一种快捷方式 将配方公式化
还是配方吧
这才是这一节的主题
首先 两侧同时加上3
得到6x2-7x=3
有些老师喜欢不管这个-3
直接配方
我觉得先把3挪开
算起来更清楚
这个6我也不喜欢 它会把事情搞复杂
我希望得到(x+a)2的形式 不希望x前
还有系数
所以 两侧同时除以6
得到x2-7/6x=3/6=1/2
这可以一步就位
直接把6一起除过去
下面开始配方
x2-7/6x+某数等于1/2 留点空间
左侧需要加上某数
得到完全平方式
怎么做呢
观察系数
这里不是7/6 而是-7/6
取它的1/2 然后平方
算算
(x+a)2=x2+2ax+a2
这是需要记住的
也是所有配方的基础
我刚说
这一项是x项系数1/2的平方
为什么
因为将两个式子的样式进行匹配
我们知道 a就是1/2的x项系数
-7/6的1/2是-7/12
写出来的话 这里a=-7/12
也就是x项系数乘以1/2
两侧需要加多少 才能完成配方
需要加(-7/12)2 也就是49/144
两侧同时加上49/144
左侧如何化简呢
我们知道这是完全平方式
我们知道a是-7/12
所以方程左侧是
(x+a)2 而a是负数
将其乘开必然得到这个
右边需要通分 公分母是144
72+49=121 所以是121/144
所以(x-7/12)2=121/144
然后
两侧同时开平方
找点空位置 换绿色
把这里框出来
我们有x-7/12=±根号(121/144)
也就是±11/12
根号121是11 根号144是12
然后两侧同时加上7/12
有x=7/12±11/12
也就是(7±11)/12
有两种可能 7+11=18 18/12
x=18/12 即3/2
或7-11 有-4/12
即x=-1/3 搞定 这就是配方
但愿大家能够理解
证明二次公式就需要配方
只是要配方的不再是具体数例
而是抽象方程Ax2+Bx+C=0
对Ax2+Bx+C=0进行配方
最后得到二次公式
之前视频我好像讲过
如果我没讲过 之后会讲
好了 下次再会
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