[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.57,0:00:02.78,Default,,0000,0000,0000,,Днес ще изследваме\Nкрива, за която
Dialogue: 0,0:00:02.78,0:00:07.18,Default,,0000,0000,0000,,х-координатите и\Nу-координатите са дефинирани
Dialogue: 0,0:00:07.32,0:00:10.46,Default,,0000,0000,0000,,или са функции от трети\Nпараметър Т.
Dialogue: 0,0:00:10.47,0:00:13.48,Default,,0000,0000,0000,,Можем да кажем, че\Nх е функция от Т,
Dialogue: 0,0:00:13.48,0:00:17.00,Default,,0000,0000,0000,,и че у е функция от Т.
Dialogue: 0,0:00:17.00,0:00:19.56,Default,,0000,0000,0000,,Ако това ти изглежда непознато,
Dialogue: 0,0:00:19.56,0:00:22.52,Default,,0000,0000,0000,,ти препоръчвам да видиш\Nуроците за параметрични уравнения
Dialogue: 0,0:00:22.52,0:00:24.20,Default,,0000,0000,0000,,в Кан Академия.
Dialogue: 0,0:00:24.20,0:00:27.70,Default,,0000,0000,0000,,Сега ще разгледаме общия\Nслучай в това видео,
Dialogue: 0,0:00:27.76,0:00:32.72,Default,,0000,0000,0000,,а в следващи уроци\Nще имаме конкретни примери.
Dialogue: 0,0:00:32.76,0:00:35.76,Default,,0000,0000,0000,,Сега ще изследваме графиката,\Nкоято съответства на това,
Dialogue: 0,0:00:35.86,0:00:42.04,Default,,0000,0000,0000,,от t = а, това ето тук\Nе t = а,
Dialogue: 0,0:00:42.18,0:00:48.96,Default,,0000,0000,0000,,когато тази точка е с \Nкоординати (х(а); у(а)).
Dialogue: 0,0:00:49.08,0:00:50.06,Default,,0000,0000,0000,,Това е тази точка,
Dialogue: 0,0:00:50.06,0:00:56.24,Default,,0000,0000,0000,,и после отиваме от\Nt = а до t = b=
Dialogue: 0,0:00:56.24,0:00:59.67,Default,,0000,0000,0000,,Кривата изглежда\Nможе би ето така,
Dialogue: 0,0:00:59.67,0:01:03.08,Default,,0000,0000,0000,,когато t = b.
Dialogue: 0,0:01:03.22,0:01:08.58,Default,,0000,0000,0000,,Тази точка тук има\Nкоординати (х(b); у(b)).
Dialogue: 0,0:01:08.74,0:01:10.61,Default,,0000,0000,0000,,Да помислим как ще\Nопределим дължината
Dialogue: 0,0:01:10.61,0:01:12.81,Default,,0000,0000,0000,,на действителната крива,
Dialogue: 0,0:01:12.81,0:01:17.31,Default,,0000,0000,0000,,действителната дължина\Nмежду t = а до t = b.
Dialogue: 0,0:01:17.31,0:01:18.40,Default,,0000,0000,0000,,За да помислим върху това,
Dialogue: 0,0:01:18.40,0:01:20.69,Default,,0000,0000,0000,,ще увелича мащаба, \Nза да видим какво ще стане,
Dialogue: 0,0:01:20.69,0:01:25.88,Default,,0000,0000,0000,,когато имаме малка\Nпромяна в стойността на t.
Dialogue: 0,0:01:26.04,0:01:28.62,Default,,0000,0000,0000,,Да започнем от тази точка тук,
Dialogue: 0,0:01:28.62,0:01:30.64,Default,,0000,0000,0000,,и нека да има съвсем\Nмалка промяна на t,
Dialogue: 0,0:01:30.64,0:01:34.96,Default,,0000,0000,0000,,така че, да кажем, че\Nотиваме от тази точка в тази точка
Dialogue: 0,0:01:34.96,0:01:36.80,Default,,0000,0000,0000,,с тази много малка\Nпромяна на t.
Dialogue: 0,0:01:36.80,0:01:38.09,Default,,0000,0000,0000,,Би трябвало да е много\Nпо-малко от това,
Dialogue: 0,0:01:38.09,0:01:39.10,Default,,0000,0000,0000,,но ако но начертая по-малко,
Dialogue: 0,0:01:39.10,0:01:40.49,Default,,0000,0000,0000,,няма да го виждаш.
Dialogue: 0,0:01:40.49,0:01:43.08,Default,,0000,0000,0000,,Да кажем, че това\Nе нашата много малка промяна
Dialogue: 0,0:01:43.08,0:01:47.82,Default,,0000,0000,0000,,по протежение на кривата,\Nпо която се движим,
Dialogue: 0,0:01:47.86,0:01:50.18,Default,,0000,0000,0000,,и искаме да намерим тази дължина.
Dialogue: 0,0:01:50.18,0:01:52.25,Default,,0000,0000,0000,,Можем да го разделим
Dialogue: 0,0:01:52.25,0:01:54.24,Default,,0000,0000,0000,,на разстоянието, изминато\Nспрямо оста х,
Dialogue: 0,0:01:54.24,0:01:56.60,Default,,0000,0000,0000,,и разстоянието, изминато\Nспрямо оста у.
Dialogue: 0,0:01:56.60,0:01:58.79,Default,,0000,0000,0000,,Спрямо оста х,
Dialogue: 0,0:01:58.79,0:02:00.49,Default,,0000,0000,0000,,оста х ето тук,
Dialogue: 0,0:02:00.49,0:02:03.00,Default,,0000,0000,0000,,има съвсем малка промяна на х,
Dialogue: 0,0:02:03.00,0:02:04.64,Default,,0000,0000,0000,,и на какво е равна тя?
Dialogue: 0,0:02:04.64,0:02:05.82,Default,,0000,0000,0000,,Това е скоростта на\Nпромяна,
Dialogue: 0,0:02:05.82,0:02:08.79,Default,,0000,0000,0000,,с която се променя\Nспрямо Т,
Dialogue: 0,0:02:08.79,0:02:11.96,Default,,0000,0000,0000,,с която х се променя спрямо t,
Dialogue: 0,0:02:11.96,0:02:14.37,Default,,0000,0000,0000,,по съвсем малката промяна на t,
Dialogue: 0,0:02:14.37,0:02:17.62,Default,,0000,0000,0000,,като тук го записвам \Nкато диференциал,
Dialogue: 0,0:02:17.68,0:02:20.00,Default,,0000,0000,0000,,използвам идеята, че
Dialogue: 0,0:02:20.00,0:02:23.81,Default,,0000,0000,0000,,диференциалът е много\Nмалка промяна
Dialogue: 0,0:02:23.81,0:02:25.73,Default,,0000,0000,0000,,на тази променлива.
Dialogue: 0,0:02:25.73,0:02:27.45,Default,,0000,0000,0000,,Това не е формално доказателство,
Dialogue: 0,0:02:27.45,0:02:29.01,Default,,0000,0000,0000,,но искам да разбереш логиката
Dialogue: 0,0:02:29.01,0:02:30.90,Default,,0000,0000,0000,,откъде получаваме\Nдължината на кривата,
Dialogue: 0,0:02:30.90,0:02:33.16,Default,,0000,0000,0000,,когато работим\Nс параметрични уравнения.
Dialogue: 0,0:02:33.16,0:02:35.74,Default,,0000,0000,0000,,Надявам се, че разбираш, че
Dialogue: 0,0:02:35.74,0:02:36.87,Default,,0000,0000,0000,,това е нашето dх.
Dialogue: 0,0:02:36.87,0:02:38.18,Default,,0000,0000,0000,,Даже можем да го запишем и така:
Dialogue: 0,0:02:38.18,0:02:43.24,Default,,0000,0000,0000,,dx/dt, което е същото\Nкато х'(t)dt.
Dialogue: 0,0:02:43.44,0:02:47.00,Default,,0000,0000,0000,,После имаме промяната на у,\Nкъдето използваме същата идея.
Dialogue: 0,0:02:47.16,0:02:49.68,Default,,0000,0000,0000,,Промяната на у, \Nизключително малката промяна на у,
Dialogue: 0,0:02:49.69,0:02:52.12,Default,,0000,0000,0000,,когато имаме нищожно малка\Nпромяна на t,
Dialogue: 0,0:02:52.12,0:02:55.24,Default,,0000,0000,0000,,можем да я разглеждаме като скорост \Nна изменение на у спрямо t,
Dialogue: 0,0:02:55.40,0:02:59.08,Default,,0000,0000,0000,,по промяната на t,\Nнищожно малката промяна на t,
Dialogue: 0,0:02:59.28,0:03:04.74,Default,,0000,0000,0000,,което ще бъде равно на:\Nможем да го запишем като y'(t)dt.
Dialogue: 0,0:03:05.36,0:03:07.82,Default,,0000,0000,0000,,Сега, въз основа на това,\Nколко е дължината на
Dialogue: 0,0:03:07.82,0:03:12.50,Default,,0000,0000,0000,,тази изключително малка крива\Nето тук?
Dialogue: 0,0:03:12.50,0:03:15.22,Default,,0000,0000,0000,,Можем да използваме\Nпитагоровата теорема.
Dialogue: 0,0:03:15.22,0:03:18.39,Default,,0000,0000,0000,,Това ще бъде корен квадратен от –
Dialogue: 0,0:03:18.40,0:03:20.88,Default,,0000,0000,0000,,това е хипотенуза на правоъгълния \Nтриъгълник ето тук.
Dialogue: 0,0:03:21.00,0:03:24.16,Default,,0000,0000,0000,,Значи е равно на квадратен корен\Nот квадратите на двете страни.
Dialogue: 0,0:03:24.36,0:03:26.50,Default,,0000,0000,0000,,Значи корен квадратен от,
Dialogue: 0,0:03:26.50,0:03:28.39,Default,,0000,0000,0000,,ще си направя повече място,
Dialogue: 0,0:03:28.39,0:03:30.11,Default,,0000,0000,0000,,защото мисля, че \Nще ми трябва доста,
Dialogue: 0,0:03:30.11,0:03:32.19,Default,,0000,0000,0000,,значи израза в синьо на квадрат, dx,
Dialogue: 0,0:03:32.19,0:03:39.20,Default,,0000,0000,0000,,на квадрат, можем да\Nго преработим като x'(t)dt на квадрат,
Dialogue: 0,0:03:39.36,0:03:47.84,Default,,0000,0000,0000,,плюс това на квадрат, което е\Ny'(t)dt на квадрат.
Dialogue: 0,0:03:47.98,0:03:50.52,Default,,0000,0000,0000,,Сега да опитаме малко\Nда опростим.
Dialogue: 0,0:03:50.52,0:03:54.26,Default,,0000,0000,0000,,Спомни си, че това е изключително \Nмалка дължина ето тук.
Dialogue: 0,0:03:54.44,0:03:58.80,Default,,0000,0000,0000,,Можем да изнесем\Nпред скоби dt на квадрат,
Dialogue: 0,0:03:58.80,0:04:00.65,Default,,0000,0000,0000,,то участва и в двата израза.
Dialogue: 0,0:04:00.65,0:04:02.98,Default,,0000,0000,0000,,Можем да преработим това като,
Dialogue: 0,0:04:02.98,0:04:05.54,Default,,0000,0000,0000,,мога да го преработя,
Dialogue: 0,0:04:05.54,0:04:07.64,Default,,0000,0000,0000,,а после поставям\Nзнак за корен квадратен.
Dialogue: 0,0:04:07.64,0:04:10.83,Default,,0000,0000,0000,,Значи изнасяме пред скоби\Ndt на квадрат,
Dialogue: 0,0:04:10.83,0:04:14.22,Default,,0000,0000,0000,,получаваме dt на квадрат
Dialogue: 0,0:04:14.22,0:04:19.60,Default,,0000,0000,0000,,по x'(t) на кадрат
Dialogue: 0,0:04:19.82,0:04:26.40,Default,,0000,0000,0000,,плюс у(t) на квадрат.
Dialogue: 0,0:04:26.44,0:04:27.28,Default,,0000,0000,0000,,И сега се вижда, че това
Dialogue: 0,0:04:27.28,0:04:31.02,Default,,0000,0000,0000,,е умножено по целия този израз\Nето тук.
Dialogue: 0,0:04:31.06,0:04:34.62,Default,,0000,0000,0000,,Ако това dt^2 е под знака\Nза корен квадратен,
Dialogue: 0,0:04:34.62,0:04:36.88,Default,,0000,0000,0000,,можем да го изнесем \Nи ще получим dt.
Dialogue: 0,0:04:36.90,0:04:40.74,Default,,0000,0000,0000,,Всичко това е равно\Nна корен квадратен от...
Dialogue: 0,0:04:40.75,0:04:44.13,Default,,0000,0000,0000,,този израз е още под\Nзнака за корен,
Dialogue: 0,0:04:44.13,0:04:50.40,Default,,0000,0000,0000,,това ще бъде х'(t) на квадрат
Dialogue: 0,0:04:50.40,0:04:55.14,Default,,0000,0000,0000,,плюс у'(t) на квадрат.
Dialogue: 0,0:04:55.42,0:04:59.74,Default,,0000,0000,0000,,Сега изнесохме dt,
Dialogue: 0,0:04:59.86,0:05:03.02,Default,,0000,0000,0000,,Можех да го напиша ето тук,
Dialogue: 0,0:05:03.03,0:05:04.26,Default,,0000,0000,0000,,но просто го пиша от \Nдругата страна,
Dialogue: 0,0:05:04.26,0:05:06.27,Default,,0000,0000,0000,,просто умножаваме по 2.
Dialogue: 0,0:05:06.27,0:05:08.66,Default,,0000,0000,0000,,Още веднъж ще преработим\Nизраза
Dialogue: 0,0:05:08.66,0:05:12.83,Default,,0000,0000,0000,,за тази нищожно малка\Nпромяна на дължината.
Dialogue: 0,0:05:12.83,0:05:15.51,Default,,0000,0000,0000,,За щастие в анализа имаме
Dialogue: 0,0:05:15.51,0:05:17.86,Default,,0000,0000,0000,,инструменти, за да съберем
Dialogue: 0,0:05:17.86,0:05:21.56,Default,,0000,0000,0000,,всички тези нищожно\Nмалки изменения,
Dialogue: 0,0:05:21.56,0:05:24.14,Default,,0000,0000,0000,,и това става с \Nопределен интеграл.
Dialogue: 0,0:05:24.14,0:05:27.82,Default,,0000,0000,0000,,Какво да направим,\Nза да съберем това и това, и това.
Dialogue: 0,0:05:27.94,0:05:30.02,Default,,0000,0000,0000,,Запомни, че това са\Nнищожно малки изменения.
Dialogue: 0,0:05:30.02,0:05:34.18,Default,,0000,0000,0000,,Аз ги показвам по-едри, само\Nза да можеш да ги виждаш,
Dialogue: 0,0:05:34.28,0:05:35.86,Default,,0000,0000,0000,,но ако съберем всички тези,
Dialogue: 0,0:05:35.86,0:05:38.61,Default,,0000,0000,0000,,това е равно на интеграл,
Dialogue: 0,0:05:38.61,0:05:40.65,Default,,0000,0000,0000,,като интегрираме спрямо t,
Dialogue: 0,0:05:40.65,0:05:46.14,Default,,0000,0000,0000,,започваме от t = а до t = b.
Dialogue: 0,0:05:46.60,0:05:52.10,Default,,0000,0000,0000,,Ето така поне теоретично\Nизведохме
Dialogue: 0,0:05:52.94,0:05:55.52,Default,,0000,0000,0000,,формулата за дължината\Nна кривата, когато
Dialogue: 0,0:05:55.52,0:05:59.46,Default,,0000,0000,0000,,имаме параметрични уравнения.
Dialogue: 0,0:05:59.46,0:06:00.84,Default,,0000,0000,0000,,В следващите уроци
Dialogue: 0,0:06:00.84,0:06:04.22,Default,,0000,0000,0000,,ще използваме тази формула,\Nза да намираме дължини на криви.