0:00:00.571,0:00:02.785
Днес ще изследваме[br]крива, за която

0:00:02.785,0:00:07.180
х-координатите и[br]у-координатите са дефинирани

0:00:07.320,0:00:10.460
или са функции от трети[br]параметър t.

0:00:10.467,0:00:13.476
Можем да кажем, че[br]х е функция от t,

0:00:13.476,0:00:17.004
и че у е функция от t.

0:00:17.004,0:00:19.561
Ако това ти изглежда непознато,

0:00:19.561,0:00:22.523
ти препоръчвам да видиш[br]уроците за параметрични уравнения

0:00:22.523,0:00:24.202
в Кан Академия.

0:00:24.202,0:00:27.700
Сега ще разгледаме общия[br]случай в това видео,

0:00:27.760,0:00:32.720
а в следващи уроци[br]ще имаме конкретни примери.

0:00:32.760,0:00:35.760
Сега ще изследваме графиката,[br]която съответства на това,

0:00:35.860,0:00:42.040
от t = а, това ето тук[br]е t = а,

0:00:42.180,0:00:48.960
когато тази точка е с [br]координати (х(а); у(а)).

0:00:49.080,0:00:50.055
Това е тази точка,

0:00:50.060,0:00:56.240
и после отиваме от[br]t = а до t = b.

0:00:56.240,0:00:59.668
Кривата изглежда[br]може би ето така,

0:00:59.668,0:01:03.080
когато t = b.

0:01:03.220,0:01:08.580
Тази точка тук има[br]координати (х(b); у(b)).

0:01:08.740,0:01:10.611
Да помислим как ще[br]определим дължината

0:01:10.611,0:01:12.806
на действителната крива,

0:01:12.806,0:01:17.311
действителната дължина[br]между t = а до t = b.

0:01:17.311,0:01:18.400
За да помислим върху това,

0:01:18.400,0:01:20.686
ще увелича мащаба, [br]за да видим какво ще стане,

0:01:20.686,0:01:25.880
когато имаме малка[br]промяна в стойността на t.

0:01:26.040,0:01:28.616
Да започнем от тази точка тук,

0:01:28.616,0:01:30.636
и нека да има съвсем[br]малка промяна на t,

0:01:30.636,0:01:34.957
така че, да кажем, че[br]отиваме от тази точка в тази точка

0:01:34.957,0:01:36.803
с тази много малка[br]промяна на t.

0:01:36.803,0:01:38.091
Би трябвало да е много[br]по-малко от това,

0:01:38.091,0:01:39.102
но ако но начертая по-малко,

0:01:39.102,0:01:40.487
няма да го виждаш.

0:01:40.487,0:01:43.085
Да кажем, че това[br]е нашата много малка промяна

0:01:43.085,0:01:47.820
по протежение на кривата,[br]по която се движим,

0:01:47.860,0:01:50.179
и искаме да намерим тази дължина.

0:01:50.179,0:01:52.246
Можем да го разделим

0:01:52.246,0:01:54.244
на разстоянието, изминато[br]спрямо оста х,

0:01:54.244,0:01:56.603
и разстоянието, изминато[br]спрямо оста у.

0:01:56.603,0:01:58.792
Спрямо оста х,

0:01:58.792,0:02:00.490
оста х ето тук,

0:02:00.490,0:02:03.002
има съвсем малка промяна на х,

0:02:03.002,0:02:04.640
и на какво е равна тя?

0:02:04.640,0:02:05.823
Това е скоростта на[br]промяна,

0:02:05.823,0:02:08.794
с която се променя[br]спрямо t,

0:02:08.794,0:02:11.963
с която х се променя спрямо t,

0:02:11.963,0:02:14.368
по съвсем малката промяна на t,

0:02:14.368,0:02:17.620
като тук го записвам [br]като диференциал,

0:02:17.680,0:02:20.000
използвам идеята, че

0:02:20.002,0:02:23.813
диференциалът е много[br]малка промяна

0:02:23.813,0:02:25.731
на тази променлива.

0:02:25.731,0:02:27.449
Това не е формално доказателство,

0:02:27.449,0:02:29.011
но искам да разбереш логиката

0:02:29.011,0:02:30.898
откъде получаваме[br]дължината на кривата,

0:02:30.898,0:02:33.163
когато работим[br]с параметрични уравнения.

0:02:33.163,0:02:35.736
Надявам се, че разбираш, че

0:02:35.736,0:02:36.868
това е нашето dх.

0:02:36.868,0:02:38.184
Даже можем да го запишем и така:

0:02:38.184,0:02:43.240
dx/dt, което е същото[br]като х'(t)dt.

0:02:43.440,0:02:47.000
После имаме промяната на у,[br]където използваме същата идея.

0:02:47.160,0:02:49.680
Промяната на у, [br]изключително малката промяна на у,

0:02:49.686,0:02:52.117
когато имаме нищожно малка[br]промяна на t,

0:02:52.120,0:02:55.240
можем да я разглеждаме като скорост [br]на изменение на у спрямо t,

0:02:55.400,0:02:59.080
по промяната на t,[br]нищожно малката промяна на t,

0:02:59.280,0:03:04.740
което ще бъде равно на:[br]можем да го запишем като y'(t)dt.

0:03:05.360,0:03:07.816
Сега, въз основа на това,[br]колко е дължината на

0:03:07.816,0:03:12.498
тази изключително малка крива[br]ето тук?

0:03:12.498,0:03:15.219
Можем да използваме[br]питагоровата теорема.

0:03:15.219,0:03:18.392
Това ще бъде корен квадратен от –

0:03:18.400,0:03:20.880
това е хипотенуза на правоъгълния [br]триъгълник ето тук.

0:03:21.000,0:03:24.160
Значи е равно на квадратен корен[br]от квадратите на двете страни.

0:03:24.360,0:03:26.497
Значи корен квадратен от,

0:03:26.497,0:03:28.390
ще си направя повече място,

0:03:28.390,0:03:30.110
защото мисля, че [br]ще ми трябва доста,

0:03:30.110,0:03:32.190
значи израза в синьо на квадрат, dx,

0:03:32.190,0:03:39.200
на квадрат, можем да[br]го преработим като x'(t)dt на квадрат,

0:03:39.360,0:03:47.840
плюс това на квадрат, което е[br]y'(t)dt на квадрат.

0:03:47.980,0:03:50.520
Сега да опитаме малко[br]да опростим.

0:03:50.520,0:03:54.260
Спомни си, че това е изключително [br]малка дължина ето тук.

0:03:54.440,0:03:58.798
Можем да изнесем[br]пред скоби dt на квадрат,

0:03:58.798,0:04:00.654
то участва и в двата израза.

0:04:00.654,0:04:02.985
Можем да преработим това като,

0:04:02.985,0:04:05.540
мога да го преработя,

0:04:05.540,0:04:07.642
а после поставям[br]знак за корен квадратен.

0:04:07.642,0:04:10.828
Значи изнасяме пред скоби[br]dt на квадрат,

0:04:10.828,0:04:14.224
получаваме dt на квадрат

0:04:14.224,0:04:19.600
по x'(t) на кадрат

0:04:19.820,0:04:26.400
плюс у(t) на квадрат.

0:04:26.440,0:04:27.280
И сега се вижда, че това

0:04:27.280,0:04:31.020
е умножено по целия този израз[br]ето тук.

0:04:31.060,0:04:34.620
Ако това dt^2 е под знака[br]за корен квадратен,

0:04:34.620,0:04:36.880
можем да го изнесем [br]и ще получим dt.

0:04:36.900,0:04:40.740
Всичко това е равно[br]на корен квадратен от...

0:04:40.750,0:04:44.127
този израз е още под[br]знака за корен,

0:04:44.127,0:04:50.400
това ще бъде х'(t) на квадрат

0:04:50.400,0:04:55.140
плюс у'(t) на квадрат.

0:04:55.420,0:04:59.740
Сега изнесохме dt,

0:04:59.860,0:05:03.020
Можех да го напиша ето тук,

0:05:03.029,0:05:04.260
но просто го пиша от [br]другата страна,

0:05:04.260,0:05:06.268
просто умножаваме по 2.

0:05:06.268,0:05:08.655
Още веднъж ще преработим[br]израза

0:05:08.655,0:05:12.830
за тази нищожно малка[br]промяна на дължината.

0:05:12.830,0:05:15.512
За щастие в анализа имаме

0:05:15.512,0:05:17.856
инструменти, за да съберем

0:05:17.856,0:05:21.559
всички тези нищожно[br]малки изменения,

0:05:21.559,0:05:24.141
и това става с [br]определен интеграл.

0:05:24.141,0:05:27.820
Какво да направим,[br]за да съберем това и това, и това.

0:05:27.940,0:05:30.016
Запомни, че това са[br]нищожно малки изменения.

0:05:30.020,0:05:34.180
Аз ги показвам по-едри, само[br]за да можеш да ги виждаш,

0:05:34.280,0:05:35.857
но ако съберем всички тези,

0:05:35.857,0:05:38.614
това е равно на интеграл,

0:05:38.614,0:05:40.647
като интегрираме спрямо t,

0:05:40.647,0:05:46.140
започваме от t = а до t = b.

0:05:46.600,0:05:52.100
Ето така поне теоретично[br]изведохме

0:05:52.940,0:05:55.522
формулата за дължината[br]на кривата, когато

0:05:55.522,0:05:59.456
имаме параметрични уравнения.

0:05:59.456,0:06:00.840
В следващите уроци

0:06:00.840,0:06:04.224
ще използваме тази формула,[br]за да намираме дължини на криви.