1
00:00:00,571 --> 00:00:02,785
Днес ще изследваме
крива, за която

2
00:00:02,785 --> 00:00:07,180
х-координатите и
у-координатите са дефинирани

3
00:00:07,320 --> 00:00:10,460
или са функции от трети
параметър t.

4
00:00:10,467 --> 00:00:13,476
Можем да кажем, че
х е функция от t,

5
00:00:13,476 --> 00:00:17,004
и че у е функция от t.

6
00:00:17,004 --> 00:00:19,561
Ако това ти изглежда непознато,

7
00:00:19,561 --> 00:00:22,523
ти препоръчвам да видиш
уроците за параметрични уравнения

8
00:00:22,523 --> 00:00:24,202
в Кан Академия.

9
00:00:24,202 --> 00:00:27,700
Сега ще разгледаме общия
случай в това видео,

10
00:00:27,760 --> 00:00:32,720
а в следващи уроци
ще имаме конкретни примери.

11
00:00:32,760 --> 00:00:35,760
Сега ще изследваме графиката,
която съответства на това,

12
00:00:35,860 --> 00:00:42,040
от t = а, това ето тук
е t = а,

13
00:00:42,180 --> 00:00:48,960
когато тази точка е с 
координати (х(а); у(а)).

14
00:00:49,080 --> 00:00:50,055
Това е тази точка,

15
00:00:50,060 --> 00:00:56,240
и после отиваме от
t = а до t = b.

16
00:00:56,240 --> 00:00:59,668
Кривата изглежда
може би ето така,

17
00:00:59,668 --> 00:01:03,080
когато t = b.

18
00:01:03,220 --> 00:01:08,580
Тази точка тук има
координати (х(b); у(b)).

19
00:01:08,740 --> 00:01:10,611
Да помислим как ще
определим дължината

20
00:01:10,611 --> 00:01:12,806
на действителната крива,

21
00:01:12,806 --> 00:01:17,311
действителната дължина
между t = а до t = b.

22
00:01:17,311 --> 00:01:18,400
За да помислим върху това,

23
00:01:18,400 --> 00:01:20,686
ще увелича мащаба, 
за да видим какво ще стане,

24
00:01:20,686 --> 00:01:25,880
когато имаме малка
промяна в стойността на t.

25
00:01:26,040 --> 00:01:28,616
Да започнем от тази точка тук,

26
00:01:28,616 --> 00:01:30,636
и нека да има съвсем
малка промяна на t,

27
00:01:30,636 --> 00:01:34,957
така че, да кажем, че
отиваме от тази точка в тази точка

28
00:01:34,957 --> 00:01:36,803
с тази много малка
промяна на t.

29
00:01:36,803 --> 00:01:38,091
Би трябвало да е много
по-малко от това,

30
00:01:38,091 --> 00:01:39,102
но ако но начертая по-малко,

31
00:01:39,102 --> 00:01:40,487
няма да го виждаш.

32
00:01:40,487 --> 00:01:43,085
Да кажем, че това
е нашата много малка промяна

33
00:01:43,085 --> 00:01:47,820
по протежение на кривата,
по която се движим,

34
00:01:47,860 --> 00:01:50,179
и искаме да намерим тази дължина.

35
00:01:50,179 --> 00:01:52,246
Можем да го разделим

36
00:01:52,246 --> 00:01:54,244
на разстоянието, изминато
спрямо оста х,

37
00:01:54,244 --> 00:01:56,603
и разстоянието, изминато
спрямо оста у.

38
00:01:56,603 --> 00:01:58,792
Спрямо оста х,

39
00:01:58,792 --> 00:02:00,490
оста х ето тук,

40
00:02:00,490 --> 00:02:03,002
има съвсем малка промяна на х,

41
00:02:03,002 --> 00:02:04,640
и на какво е равна тя?

42
00:02:04,640 --> 00:02:05,823
Това е скоростта на
промяна,

43
00:02:05,823 --> 00:02:08,794
с която се променя
спрямо t,

44
00:02:08,794 --> 00:02:11,963
с която х се променя спрямо t,

45
00:02:11,963 --> 00:02:14,368
по съвсем малката промяна на t,

46
00:02:14,368 --> 00:02:17,620
като тук го записвам 
като диференциал,

47
00:02:17,680 --> 00:02:20,000
използвам идеята, че

48
00:02:20,002 --> 00:02:23,813
диференциалът е много
малка промяна

49
00:02:23,813 --> 00:02:25,731
на тази променлива.

50
00:02:25,731 --> 00:02:27,449
Това не е формално доказателство,

51
00:02:27,449 --> 00:02:29,011
но искам да разбереш логиката

52
00:02:29,011 --> 00:02:30,898
откъде получаваме
дължината на кривата,

53
00:02:30,898 --> 00:02:33,163
когато работим
с параметрични уравнения.

54
00:02:33,163 --> 00:02:35,736
Надявам се, че разбираш, че

55
00:02:35,736 --> 00:02:36,868
това е нашето dх.

56
00:02:36,868 --> 00:02:38,184
Даже можем да го запишем и така:

57
00:02:38,184 --> 00:02:43,240
dx/dt, което е същото
като х'(t)dt.

58
00:02:43,440 --> 00:02:47,000
После имаме промяната на у,
където използваме същата идея.

59
00:02:47,160 --> 00:02:49,680
Промяната на у, 
изключително малката промяна на у,

60
00:02:49,686 --> 00:02:52,117
когато имаме нищожно малка
промяна на t,

61
00:02:52,120 --> 00:02:55,240
можем да я разглеждаме като скорост 
на изменение на у спрямо t,

62
00:02:55,400 --> 00:02:59,080
по промяната на t,
нищожно малката промяна на t,

63
00:02:59,280 --> 00:03:04,740
което ще бъде равно на:
можем да го запишем като y'(t)dt.

64
00:03:05,360 --> 00:03:07,816
Сега, въз основа на това,
колко е дължината на

65
00:03:07,816 --> 00:03:12,498
тази изключително малка крива
ето тук?

66
00:03:12,498 --> 00:03:15,219
Можем да използваме
питагоровата теорема.

67
00:03:15,219 --> 00:03:18,392
Това ще бъде корен квадратен от –

68
00:03:18,400 --> 00:03:20,880
това е хипотенуза на правоъгълния 
триъгълник ето тук.

69
00:03:21,000 --> 00:03:24,160
Значи е равно на квадратен корен
от квадратите на двете страни.

70
00:03:24,360 --> 00:03:26,497
Значи корен квадратен от,

71
00:03:26,497 --> 00:03:28,390
ще си направя повече място,

72
00:03:28,390 --> 00:03:30,110
защото мисля, че 
ще ми трябва доста,

73
00:03:30,110 --> 00:03:32,190
значи израза в синьо на квадрат, dx,

74
00:03:32,190 --> 00:03:39,200
на квадрат, можем да
го преработим като x'(t)dt на квадрат,

75
00:03:39,360 --> 00:03:47,840
плюс това на квадрат, което е
y'(t)dt на квадрат.

76
00:03:47,980 --> 00:03:50,520
Сега да опитаме малко
да опростим.

77
00:03:50,520 --> 00:03:54,260
Спомни си, че това е изключително 
малка дължина ето тук.

78
00:03:54,440 --> 00:03:58,798
Можем да изнесем
пред скоби dt на квадрат,

79
00:03:58,798 --> 00:04:00,654
то участва и в двата израза.

80
00:04:00,654 --> 00:04:02,985
Можем да преработим това като,

81
00:04:02,985 --> 00:04:05,540
мога да го преработя,

82
00:04:05,540 --> 00:04:07,642
а после поставям
знак за корен квадратен.

83
00:04:07,642 --> 00:04:10,828
Значи изнасяме пред скоби
dt на квадрат,

84
00:04:10,828 --> 00:04:14,224
получаваме dt на квадрат

85
00:04:14,224 --> 00:04:19,600
по x'(t) на кадрат

86
00:04:19,820 --> 00:04:26,400
плюс у(t) на квадрат.

87
00:04:26,440 --> 00:04:27,280
И сега се вижда, че това

88
00:04:27,280 --> 00:04:31,020
е умножено по целия този израз
ето тук.

89
00:04:31,060 --> 00:04:34,620
Ако това dt^2 е под знака
за корен квадратен,

90
00:04:34,620 --> 00:04:36,880
можем да го изнесем 
и ще получим dt.

91
00:04:36,900 --> 00:04:40,740
Всичко това е равно
на корен квадратен от...

92
00:04:40,750 --> 00:04:44,127
този израз е още под
знака за корен,

93
00:04:44,127 --> 00:04:50,400
това ще бъде х'(t) на квадрат

94
00:04:50,400 --> 00:04:55,140
плюс у'(t) на квадрат.

95
00:04:55,420 --> 00:04:59,740
Сега изнесохме dt,

96
00:04:59,860 --> 00:05:03,020
Можех да го напиша ето тук,

97
00:05:03,029 --> 00:05:04,260
но просто го пиша от 
другата страна,

98
00:05:04,260 --> 00:05:06,268
просто умножаваме по 2.

99
00:05:06,268 --> 00:05:08,655
Още веднъж ще преработим
израза

100
00:05:08,655 --> 00:05:12,830
за тази нищожно малка
промяна на дължината.

101
00:05:12,830 --> 00:05:15,512
За щастие в анализа имаме

102
00:05:15,512 --> 00:05:17,856
инструменти, за да съберем

103
00:05:17,856 --> 00:05:21,559
всички тези нищожно
малки изменения,

104
00:05:21,559 --> 00:05:24,141
и това става с 
определен интеграл.

105
00:05:24,141 --> 00:05:27,820
Какво да направим,
за да съберем това и това, и това.

106
00:05:27,940 --> 00:05:30,016
Запомни, че това са
нищожно малки изменения.

107
00:05:30,020 --> 00:05:34,180
Аз ги показвам по-едри, само
за да можеш да ги виждаш,

108
00:05:34,280 --> 00:05:35,857
но ако съберем всички тези,

109
00:05:35,857 --> 00:05:38,614
това е равно на интеграл,

110
00:05:38,614 --> 00:05:40,647
като интегрираме спрямо t,

111
00:05:40,647 --> 00:05:46,140
започваме от t = а до t = b.

112
00:05:46,600 --> 00:05:52,100
Ето така поне теоретично
изведохме

113
00:05:52,940 --> 00:05:55,522
формулата за дължината
на кривата, когато

114
00:05:55,522 --> 00:05:59,456
имаме параметрични уравнения.

115
00:05:59,456 --> 00:06:00,840
В следващите уроци

116
00:06:00,840 --> 00:06:04,224
ще използваме тази формула,
за да намираме дължини на криви.