WEBVTT

00:00:00.571 --> 00:00:02.785
Днес ще изследваме
крива, за която

00:00:02.785 --> 00:00:07.180
х-координатите и
у-координатите са дефинирани

00:00:07.320 --> 00:00:10.460
или са функции от трети
параметър t.

00:00:10.467 --> 00:00:13.476
Можем да кажем, че
х е функция от t,

00:00:13.476 --> 00:00:17.004
и че у е функция от t.

00:00:17.004 --> 00:00:19.561
Ако това ти изглежда непознато,

00:00:19.561 --> 00:00:22.523
ти препоръчвам да видиш
уроците за параметрични уравнения

00:00:22.523 --> 00:00:24.202
в Кан Академия.

00:00:24.202 --> 00:00:27.700
Сега ще разгледаме общия
случай в това видео,

00:00:27.760 --> 00:00:32.720
а в следващи уроци
ще имаме конкретни примери.

00:00:32.760 --> 00:00:35.760
Сега ще изследваме графиката,
която съответства на това,

00:00:35.860 --> 00:00:42.040
от t = а, това ето тук
е t = а,

00:00:42.180 --> 00:00:48.960
когато тази точка е с 
координати (х(а); у(а)).

00:00:49.080 --> 00:00:50.055
Това е тази точка,

00:00:50.060 --> 00:00:56.240
и после отиваме от
t = а до t = b.

00:00:56.240 --> 00:00:59.668
Кривата изглежда
може би ето така,

00:00:59.668 --> 00:01:03.080
когато t = b.

00:01:03.220 --> 00:01:08.580
Тази точка тук има
координати (х(b); у(b)).

00:01:08.740 --> 00:01:10.611
Да помислим как ще
определим дължината

00:01:10.611 --> 00:01:12.806
на действителната крива,

00:01:12.806 --> 00:01:17.311
действителната дължина
между t = а до t = b.

00:01:17.311 --> 00:01:18.400
За да помислим върху това,

00:01:18.400 --> 00:01:20.686
ще увелича мащаба, 
за да видим какво ще стане,

00:01:20.686 --> 00:01:25.880
когато имаме малка
промяна в стойността на t.

00:01:26.040 --> 00:01:28.616
Да започнем от тази точка тук,

00:01:28.616 --> 00:01:30.636
и нека да има съвсем
малка промяна на t,

00:01:30.636 --> 00:01:34.957
така че, да кажем, че
отиваме от тази точка в тази точка

00:01:34.957 --> 00:01:36.803
с тази много малка
промяна на t.

00:01:36.803 --> 00:01:38.091
Би трябвало да е много
по-малко от това,

00:01:38.091 --> 00:01:39.102
но ако но начертая по-малко,

00:01:39.102 --> 00:01:40.487
няма да го виждаш.

00:01:40.487 --> 00:01:43.085
Да кажем, че това
е нашата много малка промяна

00:01:43.085 --> 00:01:47.820
по протежение на кривата,
по която се движим,

00:01:47.860 --> 00:01:50.179
и искаме да намерим тази дължина.

00:01:50.179 --> 00:01:52.246
Можем да го разделим

00:01:52.246 --> 00:01:54.244
на разстоянието, изминато
спрямо оста х,

00:01:54.244 --> 00:01:56.603
и разстоянието, изминато
спрямо оста у.

00:01:56.603 --> 00:01:58.792
Спрямо оста х,

00:01:58.792 --> 00:02:00.490
оста х ето тук,

00:02:00.490 --> 00:02:03.002
има съвсем малка промяна на х,

00:02:03.002 --> 00:02:04.640
и на какво е равна тя?

00:02:04.640 --> 00:02:05.823
Това е скоростта на
промяна,

00:02:05.823 --> 00:02:08.794
с която се променя
спрямо t,

00:02:08.794 --> 00:02:11.963
с която х се променя спрямо t,

00:02:11.963 --> 00:02:14.368
по съвсем малката промяна на t,

00:02:14.368 --> 00:02:17.620
като тук го записвам 
като диференциал,

00:02:17.680 --> 00:02:20.000
използвам идеята, че

00:02:20.002 --> 00:02:23.813
диференциалът е много
малка промяна

00:02:23.813 --> 00:02:25.731
на тази променлива.

00:02:25.731 --> 00:02:27.449
Това не е формално доказателство,

00:02:27.449 --> 00:02:29.011
но искам да разбереш логиката

00:02:29.011 --> 00:02:30.898
откъде получаваме
дължината на кривата,

00:02:30.898 --> 00:02:33.163
когато работим
с параметрични уравнения.

00:02:33.163 --> 00:02:35.736
Надявам се, че разбираш, че

00:02:35.736 --> 00:02:36.868
това е нашето dх.

00:02:36.868 --> 00:02:38.184
Даже можем да го запишем и така:

00:02:38.184 --> 00:02:43.240
dx/dt, което е същото
като х'(t)dt.

00:02:43.440 --> 00:02:47.000
После имаме промяната на у,
където използваме същата идея.

00:02:47.160 --> 00:02:49.680
Промяната на у, 
изключително малката промяна на у,

00:02:49.686 --> 00:02:52.117
когато имаме нищожно малка
промяна на t,

00:02:52.120 --> 00:02:55.240
можем да я разглеждаме като скорост 
на изменение на у спрямо t,

00:02:55.400 --> 00:02:59.080
по промяната на t,
нищожно малката промяна на t,

00:02:59.280 --> 00:03:04.740
което ще бъде равно на:
можем да го запишем като y'(t)dt.

00:03:05.360 --> 00:03:07.816
Сега, въз основа на това,
колко е дължината на

00:03:07.816 --> 00:03:12.498
тази изключително малка крива
ето тук?

00:03:12.498 --> 00:03:15.219
Можем да използваме
питагоровата теорема.

00:03:15.219 --> 00:03:18.392
Това ще бъде корен квадратен от –

00:03:18.400 --> 00:03:20.880
това е хипотенуза на правоъгълния 
триъгълник ето тук.

00:03:21.000 --> 00:03:24.160
Значи е равно на квадратен корен
от квадратите на двете страни.

00:03:24.360 --> 00:03:26.497
Значи корен квадратен от,

00:03:26.497 --> 00:03:28.390
ще си направя повече място,

00:03:28.390 --> 00:03:30.110
защото мисля, че 
ще ми трябва доста,

00:03:30.110 --> 00:03:32.190
значи израза в синьо на квадрат, dx,

00:03:32.190 --> 00:03:39.200
на квадрат, можем да
го преработим като x'(t)dt на квадрат,

00:03:39.360 --> 00:03:47.840
плюс това на квадрат, което е
y'(t)dt на квадрат.

00:03:47.980 --> 00:03:50.520
Сега да опитаме малко
да опростим.

00:03:50.520 --> 00:03:54.260
Спомни си, че това е изключително 
малка дължина ето тук.

00:03:54.440 --> 00:03:58.798
Можем да изнесем
пред скоби dt на квадрат,

00:03:58.798 --> 00:04:00.654
то участва и в двата израза.

00:04:00.654 --> 00:04:02.985
Можем да преработим това като,

00:04:02.985 --> 00:04:05.540
мога да го преработя,

00:04:05.540 --> 00:04:07.642
а после поставям
знак за корен квадратен.

00:04:07.642 --> 00:04:10.828
Значи изнасяме пред скоби
dt на квадрат,

00:04:10.828 --> 00:04:14.224
получаваме dt на квадрат

00:04:14.224 --> 00:04:19.600
по x'(t) на кадрат

00:04:19.820 --> 00:04:26.400
плюс у(t) на квадрат.

00:04:26.440 --> 00:04:27.280
И сега се вижда, че това

00:04:27.280 --> 00:04:31.020
е умножено по целия този израз
ето тук.

00:04:31.060 --> 00:04:34.620
Ако това dt^2 е под знака
за корен квадратен,

00:04:34.620 --> 00:04:36.880
можем да го изнесем 
и ще получим dt.

00:04:36.900 --> 00:04:40.740
Всичко това е равно
на корен квадратен от...

00:04:40.750 --> 00:04:44.127
този израз е още под
знака за корен,

00:04:44.127 --> 00:04:50.400
това ще бъде х'(t) на квадрат

00:04:50.400 --> 00:04:55.140
плюс у'(t) на квадрат.

00:04:55.420 --> 00:04:59.740
Сега изнесохме dt,

00:04:59.860 --> 00:05:03.020
Можех да го напиша ето тук,

00:05:03.029 --> 00:05:04.260
но просто го пиша от 
другата страна,

00:05:04.260 --> 00:05:06.268
просто умножаваме по 2.

00:05:06.268 --> 00:05:08.655
Още веднъж ще преработим
израза

00:05:08.655 --> 00:05:12.830
за тази нищожно малка
промяна на дължината.

00:05:12.830 --> 00:05:15.512
За щастие в анализа имаме

00:05:15.512 --> 00:05:17.856
инструменти, за да съберем

00:05:17.856 --> 00:05:21.559
всички тези нищожно
малки изменения,

00:05:21.559 --> 00:05:24.141
и това става с 
определен интеграл.

00:05:24.141 --> 00:05:27.820
Какво да направим,
за да съберем това и това, и това.

00:05:27.940 --> 00:05:30.016
Запомни, че това са
нищожно малки изменения.

00:05:30.020 --> 00:05:34.180
Аз ги показвам по-едри, само
за да можеш да ги виждаш,

00:05:34.280 --> 00:05:35.857
но ако съберем всички тези,

00:05:35.857 --> 00:05:38.614
това е равно на интеграл,

00:05:38.614 --> 00:05:40.647
като интегрираме спрямо t,

00:05:40.647 --> 00:05:46.140
започваме от t = а до t = b.

00:05:46.600 --> 00:05:52.100
Ето така поне теоретично
изведохме

00:05:52.940 --> 00:05:55.522
формулата за дължината
на кривата, когато

00:05:55.522 --> 00:05:59.456
имаме параметрични уравнения.

00:05:59.456 --> 00:06:00.840
В следващите уроци

00:06:00.840 --> 00:06:04.224
ще използваме тази формула,
за да намираме дължини на криви.