WEBVTT

00:00:00.571 --> 00:00:02.785
그래프를 한번 봅시다

00:00:02.785 --> 00:00:05.159
x 좌표와 y 좌표가

00:00:05.159 --> 00:00:07.328
각각

00:00:07.328 --> 00:00:10.467
세 번째 변수인 t의
함수입니다

00:00:10.467 --> 00:00:13.476
x는 t의 함수이며

00:00:13.476 --> 00:00:17.004
y도 t의 함수입니다

00:00:17.004 --> 00:00:19.561
이 내용이
이해가 안된다면

00:00:19.561 --> 00:00:22.523
칸아카데미에서
매개 방적식의 영상을

00:00:22.523 --> 00:00:24.202
복습하세요

00:00:24.202 --> 00:00:25.678
이 문제에 대해
생각을 해보면

00:00:25.678 --> 00:00:27.758
이번 영상에서는
대략적으로 설명하겠습니다

00:00:27.758 --> 00:00:29.786
다음 영상에서

00:00:29.786 --> 00:00:32.769
더 정확한 예제로
설명을 드리겠습니다

00:00:32.769 --> 00:00:34.726
이번 문제에서 볼 내용은

00:00:34.726 --> 00:00:35.858
t = a일 경우의

00:00:35.858 --> 00:00:38.025
값을 구하는 것입니다

00:00:39.148 --> 00:00:42.188
따라서 이게 t = a일
경우의 위치입니다

00:00:42.188 --> 00:00:45.917
이런 경우에는
점이 x(a)

00:00:45.917 --> 00:00:47.000
y(a)입니다

00:00:49.083 --> 00:00:50.055
이게 좌표입니다

00:00:50.055 --> 00:00:52.603
그리고 t = a에서

00:00:52.603 --> 00:00:54.186
t = b로 증가하면

00:00:55.818 --> 00:00:59.668
곡선이 다음과 같습니다

00:00:59.668 --> 00:01:02.355
따라서 이 경우가
t = b일 경우입니다

00:01:02.355 --> 00:01:03.224
t = b

00:01:03.224 --> 00:01:06.087
따라서 이 점의
좌표가 x(b)

00:01:06.087 --> 00:01:07.170
그리고 y(b)입니다

00:01:08.731 --> 00:01:10.611
실제 곡선의 길이를

00:01:10.611 --> 00:01:12.806
어떻게 구할지 봅시다

00:01:12.806 --> 00:01:17.311
t(a) 부터 t(b)까지의
아크의 길이이죠

00:01:17.311 --> 00:01:18.400
이를 생각해보면

00:01:18.400 --> 00:01:20.686
곡선을 확대해서
t의 값에 작은 변화가

00:01:20.686 --> 00:01:24.546
있을 경우
어떻게 될까요?

00:01:24.546 --> 00:01:26.045
아주 작은 값의 변화요

00:01:26.045 --> 00:01:28.616
여기 이 점에서 시작하여

00:01:28.616 --> 00:01:30.636
t의 값에 작은 변화가
있을 것입니다

00:01:30.636 --> 00:01:34.957
따라서 이 점부터
이 점까지 움직입니다

00:01:34.957 --> 00:01:36.803
t의 값에 아주 작은
값의 변화가 있죠

00:01:36.803 --> 00:01:38.091
이는 보이는 것보다 더
작을 것입니다

00:01:38.091 --> 00:01:39.102
이보다 더 작게 그리면

00:01:39.102 --> 00:01:40.487
잘 안보이겠죠

00:01:40.487 --> 00:01:43.085
이는 저희가 보는
아크에서

00:01:43.085 --> 00:01:46.752
아주 작은 변화이고

00:01:47.866 --> 00:01:50.179
이 길이를
찾고 싶습니다

00:01:50.179 --> 00:01:52.246
이제 이를 x축 방향

00:01:52.246 --> 00:01:54.244
그리고 y축 방향으로

00:01:54.244 --> 00:01:56.603
움직인 것으로
문제를 분할해봅시다

00:01:56.603 --> 00:01:58.792
x축 방향으로는

00:01:58.792 --> 00:02:00.490
여기 이
x축 방향으로는

00:02:00.490 --> 00:02:03.002
아주 작은 x 값의
변화가 있으며

00:02:03.002 --> 00:02:04.640
이는 어떤 값과 같나요?

00:02:04.640 --> 00:02:05.823
이는 t에 대하여

00:02:05.823 --> 00:02:08.794
x가 t에 대하여 변하는

00:02:08.794 --> 00:02:11.963
변화율 곱하기

00:02:11.963 --> 00:02:14.368
곱하기 t의 변화량입니다

00:02:14.368 --> 00:02:15.860
이는 약간 복잡합니다

00:02:15.860 --> 00:02:17.673
미분 표기법을 사용했으며

00:02:17.673 --> 00:02:20.002
미분 표기법을

00:02:20.002 --> 00:02:23.813
변수에서 무한히 작은

00:02:23.813 --> 00:02:25.731
변화입니다

00:02:25.731 --> 00:02:27.449
이는 정식적인 증명이 아니지만

00:02:27.449 --> 00:02:29.011
이는 매개
방정식을 구할 경우

00:02:29.011 --> 00:02:30.898
아크의 길이를 구하는 법을

00:02:30.898 --> 00:02:33.163
알려줍니다

00:02:33.163 --> 00:02:35.736
따라서 이는

00:02:35.736 --> 00:02:36.868
dx입니다

00:02:36.868 --> 00:02:38.184
이렇게 적을 수도 있습니다

00:02:38.184 --> 00:02:42.351
dx/dt, 이는
x'(t) 곱하기 dt와 같습니다

00:02:43.431 --> 00:02:44.752
그리고 y의 변화량은

00:02:44.752 --> 00:02:47.162
같은 방법으로 구합니다

00:02:47.162 --> 00:02:49.686
y의 변화량은
무한히 작은 y의 변화량은

00:02:49.686 --> 00:02:52.117
t의 변화량이
무한히 작을 경우

00:02:52.117 --> 00:02:53.482
이는 t에 대한

00:02:53.482 --> 00:02:55.392
y의 변화율 곱하기

00:02:55.392 --> 00:02:57.189
곱하기 t의 변화량

00:02:57.189 --> 00:02:59.275
아주 작은 t의 변화량입니다

00:02:59.275 --> 00:03:00.588
이는

00:03:00.588 --> 00:03:03.838
y'(t)dt입니다

00:03:05.351 --> 00:03:07.816
이에 따라서
여기에 있는

00:03:07.816 --> 00:03:12.498
무한히 작은 아크의
길이는 얼마인가요?

00:03:12.498 --> 00:03:15.219
이는 피타고라스의
정의를 사용하면 됩니다

00:03:15.219 --> 00:03:18.392
이는 여기 직각 삼각형의

00:03:18.392 --> 00:03:20.094
빗변의 제곱근입니다

00:03:20.094 --> 00:03:21.002
빗변의 제곱근입니다

00:03:21.002 --> 00:03:22.006
따라서 이는 이 값의 제곱

00:03:22.006 --> 00:03:24.357
더하기 이 값의
제곱입니다

00:03:24.357 --> 00:03:26.497
따라서 이는

00:03:26.497 --> 00:03:28.390
공간을 조금
더 만들겠습니다

00:03:28.390 --> 00:03:30.110
공간이 많이 필요하겠네요

00:03:30.110 --> 00:03:32.190
따라서 이 파란색 제곱

00:03:32.190 --> 00:03:36.216
dx 제곱
이를 x'(t)로

00:03:36.216 --> 00:03:37.466
다시 적겠습니다

00:03:39.369 --> 00:03:43.536
더하기 이 값 제곱
이는 y'(t)dt^2이죠

00:03:47.979 --> 00:03:50.524
이제 이를
간단히 해봅시다

00:03:50.524 --> 00:03:52.963
이는 여기 이
무한히 작은 아크의

00:03:52.963 --> 00:03:54.444
길이라는 것을
잊지 맙시다

00:03:54.444 --> 00:03:58.798
dt^2로 묶어내고

00:03:58.798 --> 00:04:00.654
이는 이 두 항
모두에 들어있죠

00:04:00.654 --> 00:04:02.985
따라서 이를

00:04:02.985 --> 00:04:05.540
다시 적어봅시다

00:04:05.540 --> 00:04:07.642
큰 제곱근을 적고

00:04:07.642 --> 00:04:10.828
dt^2를 적습니다

00:04:10.828 --> 00:04:14.224
그리고 dt^2 곱하기

00:04:14.224 --> 00:04:16.391
x'(t)^2

00:04:19.830 --> 00:04:21.913
더하기 y'(t)^2입니다

00:04:26.449 --> 00:04:27.282
이는

00:04:27.282 --> 00:04:29.850
여기 이 값 곱하기

00:04:29.850 --> 00:04:31.069
여기 모든 값입니다

00:04:31.069 --> 00:04:34.624
df^2이 제곱근 안에 있다면

00:04:34.624 --> 00:04:35.595
밖으로 뺍니다

00:04:35.595 --> 00:04:36.910
따라서 dt가 됩니다

00:04:36.910 --> 00:04:40.750
따라서 이는
제곱근 아래에

00:04:40.750 --> 00:04:44.127
남은 값 제곱근인

00:04:44.127 --> 00:04:47.044
x'(t)^2

00:04:50.381 --> 00:04:52.464
더하기 y'(t)^2

00:04:55.414 --> 00:04:57.522
그리고 dt를 밖으로 뺍니다

00:04:57.522 --> 00:04:59.863
그리고 dt를 밖으로 뺍니다

00:04:59.863 --> 00:05:03.029
여기에 적을 수 있죠

00:05:03.029 --> 00:05:04.260
하지만 다른 쪽에 적습니다

00:05:04.260 --> 00:05:06.268
2를 곱하는 것이기 때문이죠

00:05:06.268 --> 00:05:08.655
따라서 다시 말하지만
무한히 작은

00:05:08.655 --> 00:05:12.830
아크의 길이의 식을
다시 적는 것입니다

00:05:12.830 --> 00:05:15.512
운이 좋게도 미적분학에선

00:05:15.512 --> 00:05:17.856
무한히 작은 값을

00:05:17.856 --> 00:05:21.559
더하는 방법이 있고

00:05:21.559 --> 00:05:24.141
이게 정적분입니다

00:05:24.141 --> 00:05:26.177
이를 더하고 싶다면

00:05:26.177 --> 00:05:27.933
이 값 더하기 이 값 더하기
이 값입니다

00:05:27.933 --> 00:05:30.016
그리고 이는 무한히 작은
변화량입니다

00:05:30.016 --> 00:05:32.321
무한히 작은 값으로
표현하진 않았지만

00:05:32.321 --> 00:05:34.284
이해를 돕기 위함입니다

00:05:34.284 --> 00:05:35.857
하지만 모든 값을 더한다면

00:05:35.857 --> 00:05:38.614
적분을 해야 합니다

00:05:38.614 --> 00:05:40.647
그리고 t에 대하여
적분을 합니다

00:05:40.647 --> 00:05:43.862
t = a에서 시작하여

00:05:43.862 --> 00:05:46.600
t = b까지 합니다

00:05:46.600 --> 00:05:50.600
이렇게 하면
아크 길이의 공식을

00:05:51.466 --> 00:05:52.932
구한 것입니다

00:05:52.932 --> 00:05:55.522
구한 것입니다

00:05:55.522 --> 00:05:59.456
매개 방정식을
구할 경우 말이죠

00:05:59.456 --> 00:06:00.840
다음 영상에서는

00:06:00.840 --> 00:06:04.224
이를 적용하여
아크 길이를 구해봅시다