1
00:00:00,571 --> 00:00:02,785
그래프를 한 번 봅시다

2
00:00:02,785 --> 00:00:05,159
x 좌표와
y 좌표가 각각

3
00:00:05,159 --> 00:00:07,328
x 좌표와
y 좌표가 각각

4
00:00:07,328 --> 00:00:10,467
세 번째 변수인 t의
함수입니다

5
00:00:10,467 --> 00:00:13,476
x는 t의 함수이며

6
00:00:13,476 --> 00:00:17,004
y도 t의 함수입니다

7
00:00:17,004 --> 00:00:19,561
이 내용이
이해가 안된다면

8
00:00:19,561 --> 00:00:22,523
칸아카데미에서
매개 방적식 동영상을

9
00:00:22,523 --> 00:00:24,202
복습하세요

10
00:00:24,202 --> 00:00:25,678
이 문제에 대해
생각을 해보면

11
00:00:25,678 --> 00:00:27,758
이번 영상에서는
대략적으로 설명하겠습니다

12
00:00:27,758 --> 00:00:29,786
다음 영상에서

13
00:00:29,786 --> 00:00:32,769
더 정확한 예제로
설명을 드리겠습니다

14
00:00:32,769 --> 00:00:34,726
이번 문제에서 볼 내용은

15
00:00:34,726 --> 00:00:35,858
t = a일 경우의

16
00:00:35,858 --> 00:00:39,148
값을 구하는 것입니다

17
00:00:39,148 --> 00:00:42,188
따라서 이게 t = a일
경우의 위치입니다

18
00:00:42,188 --> 00:00:45,917
이런 경우에는
점이 x(a)

19
00:00:45,917 --> 00:00:49,083
y(a)입니다

20
00:00:49,083 --> 00:00:50,055
이게 좌표입니다

21
00:00:50,055 --> 00:00:52,603
그리고 t = a에서

22
00:00:52,603 --> 00:00:55,716
t = b로 증가하면

23
00:00:55,716 --> 00:00:59,668
곡선이 다음과 같습니다

24
00:00:59,668 --> 00:01:02,355
따라서 이 경우가
t = b일 경우입니다

25
00:01:02,355 --> 00:01:03,224
t = b

26
00:01:03,224 --> 00:01:06,087
따라서 이 점의
좌표가 x(b)

27
00:01:06,087 --> 00:01:09,041
그리고 y(b)입니다

28
00:01:09,041 --> 00:01:10,611
실제 곡선의 길이를

29
00:01:10,611 --> 00:01:12,806
어떻게 구할지 봅시다

30
00:01:12,806 --> 00:01:17,311
t(a)부터 t(b)까지의
호의 길이이죠

31
00:01:17,311 --> 00:01:18,400
이를 생각해보면

32
00:01:18,400 --> 00:01:20,686
곡선을 확대해서
t의 값에 작은 변화가

33
00:01:20,686 --> 00:01:24,546
있을 경우
어떻게 될까요?

34
00:01:24,546 --> 00:01:26,045
아주 작은 값의 변화요

35
00:01:26,045 --> 00:01:28,616
여기 이 점에서 시작하여

36
00:01:28,616 --> 00:01:30,636
t의 값에 작은 변화가
있을 것입니다

37
00:01:30,636 --> 00:01:34,957
따라서 이 점부터
이 점까지 움직입니다

38
00:01:34,957 --> 00:01:36,803
t의 값에 아주 작은
값의 변화가 있죠

39
00:01:36,803 --> 00:01:38,091
이는 보이는 것보다 더
작을 것입니다

40
00:01:38,091 --> 00:01:39,102
이보다 더 작게 그리면

41
00:01:39,102 --> 00:01:40,487
잘 안보이겠죠

42
00:01:40,487 --> 00:01:43,085
이는
저희가 보는 호에서

43
00:01:43,085 --> 00:01:47,866
아주 작은 변화이고

44
00:01:47,866 --> 00:01:50,179
이 길이를
찾고 싶습니다

45
00:01:50,179 --> 00:01:52,246
이제 이를 x축 방향

46
00:01:52,246 --> 00:01:54,244
그리고 y축 방향으로

47
00:01:54,244 --> 00:01:56,603
움직인 것으로
문제를 분할해 봅시다

48
00:01:56,603 --> 00:01:58,792
여기 이
x축 방향으로는

49
00:01:58,792 --> 00:02:00,490
여기 이
x축 방향으로는

50
00:02:00,490 --> 00:02:03,002
아주 작은 x값의
변화가 있으며

51
00:02:03,002 --> 00:02:04,640
이는 어떤 값과 같나요?

52
00:02:04,640 --> 00:02:05,823
이는 t에 대하여

53
00:02:05,823 --> 00:02:08,794
x가 t에 대하여
변하는 변화율에

54
00:02:08,794 --> 00:02:11,963
x가 t에 대하여
변하는 변화율에

55
00:02:11,963 --> 00:02:14,368
t의 변화량을
곱한 것입니다

56
00:02:14,368 --> 00:02:15,860
이는 약간 복잡합니다

57
00:02:15,860 --> 00:02:17,673
미분 표기법을 사용했으며

58
00:02:17,673 --> 00:02:20,002
미분 표기법은

59
00:02:20,002 --> 00:02:23,813
변수에서 무한히 작은

60
00:02:23,813 --> 00:02:25,731
변화를 나타냅니다

61
00:02:25,731 --> 00:02:27,449
이는 정식적인 증명이 아니지만

62
00:02:27,449 --> 00:02:29,011
이는 매개 방정식을
구할 경우

63
00:02:29,011 --> 00:02:30,898
호의 길이를 구하는 법을

64
00:02:30,898 --> 00:02:33,163
알려줍니다

65
00:02:33,163 --> 00:02:35,736
따라서 이는

66
00:02:35,736 --> 00:02:36,868
dx입니다

67
00:02:36,868 --> 00:02:38,184
이렇게 적을 수도 있습니다

68
00:02:38,184 --> 00:02:43,349
dx/dt, 이는
x'(t) · dt와 같습니다

69
00:02:43,349 --> 00:02:44,752
그리고 y의 변화량은

70
00:02:44,752 --> 00:02:47,162
같은 방법으로 구합니다

71
00:02:47,162 --> 00:02:49,686
y의 변화량은
무한히 작은 y의 변화량은

72
00:02:49,686 --> 00:02:52,117
t의 변화량이
무한히 작을 경우

73
00:02:52,117 --> 00:02:53,482
이는 t에 대한

74
00:02:53,482 --> 00:02:55,392
y의 변화율에

75
00:02:55,392 --> 00:02:57,189
t의 변화량을 곱한 것으로

76
00:02:57,189 --> 00:02:59,275
아주 작은 t의 변화량입니다

77
00:02:59,275 --> 00:03:00,588
이는

78
00:03:00,588 --> 00:03:05,351
y'(t)dt입니다

79
00:03:05,351 --> 00:03:07,816
이에 따라서
여기에 있는

80
00:03:07,816 --> 00:03:12,498
무한히 작은 호의
길이는 얼마인가요?

81
00:03:12,498 --> 00:03:15,219
이는 피타고라스의
정의를 사용하면 됩니다

82
00:03:15,219 --> 00:03:18,392
이는 여기 직각 삼각형의

83
00:03:18,392 --> 00:03:20,094
빗변의 제곱근입니다

84
00:03:20,094 --> 00:03:21,002
빗변의 제곱근입니다

85
00:03:21,002 --> 00:03:22,006
따라서 이는
이 값의 제곱에

86
00:03:22,006 --> 00:03:24,357
이 값의 제곱을
더한 것의 제곱근입니다

87
00:03:24,357 --> 00:03:26,497
공간을 조금
더 만들겠습니다

88
00:03:26,497 --> 00:03:28,390
공간을 조금
더 만들겠습니다

89
00:03:28,390 --> 00:03:30,110
공간이 많이 필요하겠네요

90
00:03:30,110 --> 00:03:32,190
따라서 이 파란색 제곱

91
00:03:32,190 --> 00:03:36,216
dx 제곱
이를 x'(t)로

92
00:03:36,216 --> 00:03:39,369
다시 적겠습니다

93
00:03:39,369 --> 00:03:47,979
이 값 제곱을 더하는데
이는 y'(t)dt^2이죠

94
00:03:47,979 --> 00:03:50,524
이제 이를
간단히 해봅시다

95
00:03:50,524 --> 00:03:52,963
이는 여기 이
무한히 작은 호의

96
00:03:52,963 --> 00:03:54,444
길이라는 것을
잊지 맙시다

97
00:03:54,444 --> 00:03:58,798
dt^2으로 묶어내고

98
00:03:58,798 --> 00:04:00,654
이는 이 두 항
모두에 들어있죠

99
00:04:00,654 --> 00:04:02,985
따라서 이를

100
00:04:02,985 --> 00:04:05,540
다시 적어봅시다

101
00:04:05,540 --> 00:04:07,642
큰 제곱근을 적고

102
00:04:07,642 --> 00:04:10,828
dt^2 · x'(t)^2에

103
00:04:10,828 --> 00:04:14,224
dt^2 · x'(t)^2에

104
00:04:14,224 --> 00:04:19,830
dt^2 · x'(t)^2에

105
00:04:19,830 --> 00:04:26,449
y'(t)^2을 더합니다

106
00:04:26,449 --> 00:04:27,282
이는

107
00:04:27,282 --> 00:04:29,850
여기 이 값에

108
00:04:29,850 --> 00:04:31,069
여기 모든 값을
곱한 것입니다

109
00:04:31,069 --> 00:04:34,624
dt^2이 제곱근 안에 있다면

110
00:04:34,624 --> 00:04:35,595
밖으로 뺄 수 있습니다

111
00:04:35,595 --> 00:04:36,910
따라서 dt가 됩니다

112
00:04:36,910 --> 00:04:40,750
따라서 이는
제곱근 아래에

113
00:04:40,750 --> 00:04:44,127
남은 값 제곱근인

114
00:04:44,127 --> 00:04:50,381
x'(t)^2 + y'(t)^2이고

115
00:04:50,381 --> 00:04:55,224
x'(t)^2 + y'(t)^2이고

116
00:04:55,224 --> 00:04:57,522
그리고 dt를 밖으로 뺍니다

117
00:04:57,522 --> 00:04:59,863
그리고 dt를 밖으로 뺍니다

118
00:04:59,863 --> 00:05:03,029
여기에 적을 수 있죠

119
00:05:03,029 --> 00:05:04,260
하지만 다른 쪽에 적겠습니다

120
00:05:04,260 --> 00:05:06,268
2를 곱합니다

121
00:05:06,268 --> 00:05:08,655
따라서 다시 말하지만
무한히 작은

122
00:05:08,655 --> 00:05:12,830
호의 길이의 식을
다시 적는 것입니다

123
00:05:12,830 --> 00:05:15,512
운이 좋게도 미적분학에선

124
00:05:15,512 --> 00:05:17,856
무한히 작은 값을

125
00:05:17,856 --> 00:05:21,559
더하는 방법이 있고

126
00:05:21,559 --> 00:05:24,141
그게 바로 정적분입니다

127
00:05:24,141 --> 00:05:26,177
이를 더하고 싶다면

128
00:05:26,177 --> 00:05:27,933
이 값에 이 값과
이 값을 더해야 합니다

129
00:05:27,933 --> 00:05:30,016
그리고 이는 무한히 작은
변화량입니다

130
00:05:30,016 --> 00:05:32,321
무한히 작은 값으로
표현하진 않았지만

131
00:05:32,321 --> 00:05:34,284
이해를 돕기 위함입니다

132
00:05:34,284 --> 00:05:35,857
하지만 모든 값을 더한다면

133
00:05:35,857 --> 00:05:38,614
적분을 해야 합니다

134
00:05:38,614 --> 00:05:40,647
그리고 t에 대하여
적분을 합니다

135
00:05:40,647 --> 00:05:43,862
t = a에서 시작하여

136
00:05:43,862 --> 00:05:46,600
t = b까지 합니다

137
00:05:46,600 --> 00:05:51,466
이렇게 하면
호의 길이의 공식을

138
00:05:51,466 --> 00:05:52,932
구한 것입니다

139
00:05:52,932 --> 00:05:55,522
구한 것입니다

140
00:05:55,522 --> 00:05:59,456
매개 방정식을
구할 경우 말이죠

141
00:05:59,456 --> 00:06:00,840
다음 영상에서는

142
00:06:00,840 --> 00:06:04,224
이를 적용하여
호의 길이를 구해 봅시다