Mình sẽ thử xác định một đường cong
với tung độ và hoành độ
được xác định bởi
một hàm số của tham số t
vậy mình có thể nói x là một hàm số của t
Mình cũng có thể nói y là một hàm số của t
Nếu khái niệm này hoàn toàn lạ lẫm với bạn
Bạn có thể xem lại các video trước về phương trình tham số
trên kênh của Khan Academy
Nhưng cái mà mình sẽ
nói và bàn luận trong video này nói chung
thì mình sẽ làm nhiều ví dụ cụ thể hơn
trong các video trong tương lai
Nhưng mình sẽ nghĩ về phần đường cong
được xác định ở đây
từ t=a
ở đây ta có t=a
vậy thì điểm này sẽ có tọa độ x a
phẩy y a
điểm này ngay đây
và khi mình tăng từ t=a
đến t=b
thì đường cong của mình sẽ trông như thế này
vậy cái này là khi t=b
t=b
vậy điểm này ở đây là x b
phẩy y b
Mình sẽ cùng nghĩ cách tìm
độ dài của đường cong thực tế
độ dài cung tròn từ t=a đến t=b
Để tìm nó thì
mình sẽ phóng to ra và phân tích nó
khi t thay đổi rất ít
vậy lượng thay đổi của t rất nhỏ
Mình bắt đầu từ điểm này ngay đây
và lượng thay đổi của t rất nhỏ
nên mình sẽ đi từ điểm này đến điểm này
là đoạn thay đổi của t
Nó thực tế còn nhỏ hơn khoảng này nữa
nhưng nếu mình vẽ nhỏ hơn
thì sẽ rất khó nhìn
Vậy cứ xem như đây là khoảng thay đổi rất nhỏ của mình
trong đoạn mà cung tròn của mình đi
vậy nếu mình muốn tìm độ dài
mình có thể chia nhỏ nó ra
thành độ dài mà mình dịch chuyển hướng x
và độ dài mình dịch chuyển theo hướng y
Vậy theo hướng x,
hướng x ngay đây
khoảng mà mình dịch chuyển là rất nhỏ
và nó bằng với cái gì?
Nó sẽ là tỉ lệ của lượng thay đổi
giữa cái mà mình đang thay đổi theo t
và cái mà x thay đổi theo t
nhân với lượng thay đổi rất nhỏ của t
Mình sẽ dùng kí hiệu vi phân
và mình đang sử dụng khái niệm
của vi phân như một thay đổi nhỏ vô cực
trong của ẩn đó
Đây không phải là cách chứng minh chính thống
nhưng nó giúp chúng mình hình dung
cách tìm độ dài cung tròn
khi mình gặp phương trình tham số
Mong nó sẽ giúp bạn hiểu về lý thuyết
là đây là dx của mình
Thực ra có thể viết nó thế này
dx/dt, nó giống với x phẩy của t nhân dt
và lượng thay đổi của y
sẽ cũng giống như vậy
Lượng thay đổi nhỏ vô cực của y
khi mình có một lượng thay đổi nhỏ vô cực của t
bạn có thể xem đó là tỉ lệ thay đổi
của y theo t
nhân với lượng thay đổi của t
lượng thay đổi rất nhỏ của t
bằng với
mình có thể viết là y phẩy của t, dt
Dựa vào cái này, độ dài
của cung tròn nhỏ đến vô cực ở đây?
Mình có thể dùng định lý Pytago
Cái này sẽ bằng với căn bậc hai của
nó là cạnh huyền của tam giác vuông này
ngay đây
Vậy cái này bằng với căn bậc hai
của cái này bình cộng cái này bình
Vậy bằng với căn bậc hai của
để mình làm rộng chỗ hơn một chút
mình nghĩ mình cần khá nhiều chỗ
Vậy những cái màu xanh này bình
dx bình phương, mình có thể viết lại là x phẩy
của t, dt bình
cộng với cái này bình, hay chính là y phẩy của t, dt bình
Giờ mình sẽ đơn giản nó một chút
Nhớ là đây là một độ dài cung tròn nhỏ vô cực
ngay đây
Mình có thể lấy dt bình ra làm thừa số chung
nó có mặt ở cả hai cái này
vậy mình có thể viết nó là
để mình viết nó lại
để mình viết ra, căn bậc hai
vậy mình sẽ rút dt bình ra làm thừa số chung
Và mình có thể viết cái này là dt bình
nhân với x phẩy t bình phương
cộng y phẩy t bình phương
và để cho nó rõ ràng
cái này nhân với toàn bộ cái này
ở đây
Bây gioừ nếu mình có dt bình nằm dưới căn
mình có thể đơn giản nó
vậy mình sẽ có dt
Vậy tất cả cái này sẽ bằng với căn bậc hai
của, những cái nằm dưới căn này
sẽ trở thành x phẩy của t bình
cộng y phẩy của t bình
bây giờ mình lấy ra một dt
lấy ra một dt
Mình có thể viết nó ở đây
nhưng mình cứ viết nó ở bên đây
mình sẽ nhân hai cái này với nhau
Vậy mình chỉ đang viết lại biểu thức
cho lượng thay đổi nhỏ vô cực của độ dài cung
Mình khá may mắn vì trong giải tích,
mình có các công cụ để cộng được
những lượng thay đổi nhỏ vô cực này
và đó là điều mà tích phân xác định giúp chúng mình
Vậy nếu mình muốn cộng cái này
với cái này với cái này với cái này
và nhớ là, đây là những lượng thay đổi nhỏ vô cực
Mình minh họa nó không phải là nhỏ vô cực
để bạn có thể dễ hình dung nó
Nhưng nếu bạn cộng tổng nó lại
mình thực sự đang lấy tích phân
và tích phân nó theo t
vậy nếu mình bắt đầu từ t=a
và kết thúc ở t=b
và cứ như vật mình ít nhất có thể hình dung
về nó trên lý thuyết
cho công thức của độ dài cung tròn
đối với các phương trình tham số
Trong các video tiếp theo,
Mình sẽ áp dụng nó để tìm độ dài cung tròn