Mình sẽ thử xác định một đường cong

với tung độ và hoành độ

được xác định bởi

một hàm số của tham số t

vậy mình có thể nói x là một hàm số của t

Mình cũng có thể nói y là một hàm số của t

Nếu khái niệm này hoàn toàn lạ lẫm với bạn

Bạn có thể xem lại các video trước về phương trình tham số

trên kênh của Khan Academy

Nhưng cái mà mình sẽ

nói và bàn luận trong video này nói chung

thì mình sẽ làm nhiều ví dụ cụ thể hơn

trong các video trong tương lai

Nhưng mình sẽ nghĩ về phần đường cong

được xác định ở đây

từ t=a

ở đây ta có t=a

vậy thì điểm này sẽ có tọa độ x a

phẩy y a

điểm này ngay đây

và khi mình tăng từ t=a

đến t=b

thì đường cong của mình sẽ trông như thế này

vậy cái này là khi t=b

t=b

vậy điểm này ở đây là x b

phẩy y b

Mình sẽ cùng nghĩ cách tìm

độ dài của đường cong thực tế

độ dài cung tròn từ t=a đến t=b

Để tìm nó thì

mình sẽ phóng to ra và phân tích nó

khi t thay đổi rất ít

vậy lượng thay đổi của t rất nhỏ

Mình bắt đầu từ điểm này ngay đây

và lượng thay đổi của t rất nhỏ

nên mình sẽ đi từ điểm này đến điểm này

là đoạn thay đổi của t

Nó thực tế còn nhỏ hơn khoảng này nữa

nhưng nếu mình vẽ nhỏ hơn

thì sẽ rất khó nhìn

Vậy cứ xem như đây là khoảng thay đổi rất nhỏ của mình

trong đoạn mà cung tròn của mình đi

vậy nếu mình muốn tìm độ dài

mình có thể chia nhỏ nó ra

thành độ dài mà mình dịch chuyển hướng x

và độ dài mình dịch chuyển theo hướng y

Vậy theo hướng x,

hướng x ngay đây

khoảng mà mình dịch chuyển là rất nhỏ

và nó bằng với cái gì?

Nó sẽ là tỉ lệ của lượng thay đổi

giữa cái mà mình đang thay đổi theo t

và cái mà x thay đổi theo t

nhân với lượng thay đổi rất nhỏ của t

Mình sẽ dùng kí hiệu vi phân

và mình đang sử dụng khái niệm

của vi phân như một thay đổi nhỏ vô cực

trong của ẩn đó

Đây không phải là cách chứng minh chính thống

nhưng nó giúp chúng mình hình dung

cách tìm độ dài cung tròn

khi mình gặp phương trình tham số

Mong nó sẽ giúp bạn hiểu về lý thuyết

là đây là dx của mình

Thực ra có thể viết nó thế này

dx/dt, nó giống với x phẩy của t nhân dt

và lượng thay đổi của y

sẽ cũng giống như vậy

Lượng thay đổi nhỏ vô cực của y

khi mình có một lượng thay đổi nhỏ vô cực của t

bạn có thể xem đó là tỉ lệ thay đổi

của y theo t

nhân với lượng thay đổi của t

lượng thay đổi rất nhỏ của t

bằng với

mình có thể viết là y phẩy của t, dt

Dựa vào cái này, độ dài

của cung tròn nhỏ đến vô cực ở đây?

Mình có thể dùng định lý Pytago

Cái này sẽ bằng với căn bậc hai của

nó là cạnh huyền của tam giác vuông này

ngay đây

Vậy cái này bằng với căn bậc hai

của cái này bình cộng cái này bình

Vậy bằng với căn bậc hai của

để mình làm rộng chỗ hơn một chút

mình nghĩ mình cần khá nhiều chỗ

Vậy những cái màu xanh này bình

dx bình phương, mình có thể viết lại là x phẩy

của t, dt bình

cộng với cái này bình, hay chính là y phẩy của t, dt bình

Giờ mình sẽ đơn giản nó một chút

Nhớ là đây là một độ dài cung tròn nhỏ vô cực

ngay đây

Mình có thể lấy dt bình ra làm thừa số chung

nó có mặt ở cả hai cái này

vậy mình có thể viết nó là

để mình viết nó lại

để mình viết ra, căn bậc hai

vậy mình sẽ rút dt bình ra làm thừa số chung

Và mình có thể viết cái này là dt bình

nhân với x phẩy t bình phương

cộng y phẩy t bình phương

và để cho nó rõ ràng

cái này nhân với toàn bộ cái này

ở đây

Bây giờ nếu mình có dt bình nằm dưới căn

mình có thể đơn giản nó

vậy mình sẽ có dt

Vậy tất cả cái này sẽ bằng với căn bậc hai

của, những cái nằm dưới căn này

sẽ trở thành x phẩy của t bình

cộng y phẩy của t bình

bây giờ mình lấy ra một dt

lấy ra một dt

Mình có thể viết nó ở đây

nhưng mình cứ viết nó ở bên đây

mình sẽ nhân hai cái này với nhau

Vậy mình chỉ đang viết lại biểu thức

cho lượng thay đổi nhỏ vô cực của độ dài cung

Mình khá may mắn vì trong giải tích,

mình có các công cụ để cộng được

những lượng thay đổi nhỏ vô cực này

và đó là điều mà tích phân xác định giúp chúng mình

Vậy nếu mình muốn cộng cái này

với cái này với cái này với cái này

và nhớ là, đây là những lượng thay đổi nhỏ vô cực

Mình minh họa nó không phải là nhỏ vô cực

để bạn có thể dễ hình dung nó

Nhưng nếu bạn cộng tổng nó lại

mình thực sự đang lấy tích phân

và tích phân nó theo t

vậy nếu mình bắt đầu từ t=a

và kết thúc ở t=b

và cứ như vậy, mình ít nhất có thể hình dung

về nó trên lý thuyết

cho công thức của độ dài cung tròn

đối với các phương trình tham số

Trong các video tiếp theo,

Mình sẽ áp dụng nó để tìm độ dài cung tròn