Állítsd meg a videót és próbáld meg kiszámítani
ennek a háromszögnek a területét,
két segítséget adok hozzá:
elsőként vegyük észre, hogy a háromszög egyenlő szárú,
másodszor pedig a Pitagorasz-tétel
esetleg használható valahogy.
Rendben, akkor vezessük le együtt az egészet.
Mindannyian emlékszünk, hogy egy háromszög területe
egyenlő 1/2-szer az egyik oldalhossz szorozva a hozzátartozó magassággal.
Itt megadtak egy oldalhosszt,
ennek az alapnak a hosszát,
ami 10 egység hosszúságú,
de vajon mekkora a magasság?
Íme a magasság,
amelyet más színnel jelölök,
a magasság éppen ez a szakasz itt,
és ha ki tudnánk számolni a hosszát,
akkor a terület is meglenne abból, hogy 1/2-szer
az oldalhossz és a hozzátartozó magasság szorzata.
De hogyan kaphatnánk meg ezt a magasságot?
Nos, most lesz hasznos az a felismerés,
hogy ez egy egyenlő szárú háromszög,
így van két egyenlő hosszú oldala,
és az alapon fekvő szögei is ugyanakkorák.
Ha berajzoljuk ezt a magasságot itt,
ami az egész dolog lényege, akkor
tudjuk, hogy ezek a szögek itt derékszögek.
Márpedig ha két háromszögről tudjuk,
hogy két-két szögük ugyanakkora,
akkor a harmadik is megegyezik,
így ez ugyanakkora, mint ez.
Két ilyen háromszög esetén,
valószínűleg már ösztönösen látod is,
szóval egy-egy oldalhossz és a
megfelelő oldalon fekvő 2-2 szög
ugyanakkora,
tehát ezek a háromszögek
egybevágóak egymással.
És amiért annyira hasznos,
hogy ezek a háromszögek egybevágóak,
az az, hogy mindegyiknek van egy 13 hosszú oldala,
és mindegyiknek van egy ilyen kék oldala, akármennyi is a hossza.
És mindkettőnek lesz egy oldala,
amelynek hossza 10-nek a felével egyenlő.
Így ez itt 5 lesz és ez is itt 5 lesz,
de hogy jött ez ki?
Mondhatjuk, hogy ránézésre igaznak tűnik,
de ha kicsit pontosabban akarunk fogalmazni,
akkor a két egybevágó háromszögre hivatkozhatunk,
és a 10-et megfelezzük, mert
ez itt ugyanakkora, mint ez itt,
és összesen 10 egység hosszúságúak.
Rendben, akkor most alkalmazhatjuk a Pitagorasz-tételt e kék szakasz,
azaz a magasság hosszának meghatározására.
Legyen ez a hossz h, ekkor Pitagorasz tétele alapján
h a négyzeten plusz 5 a négyzeten
egyenlő 13 a négyzetennel,
azaz a leghosszabb oldalhossz
négyzetével egyenlő,
ami nem más, mint az átfogó négyzete.
Nézzük csak,
5 a négyzeten az 25,
13 a négyzeten az 169,
majd mindkét oldalból 25-öt kivonva
kifejezzük h a négyzetent
Végezzük is el,
mit kaptunk így?
Azt kaptuk, hogy h a négyzeten
egyenlő 169 mínusz 25-tel, ami 144.
Ha most ezt tisztán algebrailag oldod meg,
akkor h plusz vagy mínusz 12 is lehetne,
mivel azonban távolságról beszélünk,
csak a pozitív megoldást vesszük figyelembe,
ezért h egyenlő lesz négyzetgyök 144-gyel,
azaz h egyenlő 12-vel.
Még nem vagyunk kész,
hiszen ne felejtsük el,
nem a magasság volt a kérdés,
hanem a háromszög területe,
ami 1/2-szer az oldalhossz és a hozzátartozó magasság szorzata.
Azt már megbeszéltük, hogy az
oldalhossz 10 egység, azaz ennek az alapnak a hossza,
be is rajzolom egy másik színnel,
szóval az oldalhossz 10 egység,
és az előbb kihoztuk a magasság hosszát,
a magasság 12 lett, most már csak
annyi a dolgunk, hogy kiszámoljuk az 1/2-szer 10-szer 12 szorzat értékét,
ami tehát annyi, mint
félszer 10, ami 5,
5-ször 12 egyenlő 60-nal,
60 területegység, az egység bármi lehet,
tehát megkaptuk a területet.