1
00:00:00,607 --> 00:00:02,229
Állítsd meg a videót,
és próbáld meg kiszámítani

2
00:00:02,229 --> 00:00:04,633
ennek a háromszögnek a területét!

3
00:00:04,633 --> 00:00:06,583
Két segítséget adok hozzá:

4
00:00:06,583 --> 00:00:09,375
elsőként vegyük észre, 
hogy a háromszög egyenlő szárú,

5
00:00:09,375 --> 00:00:12,033
másodszor pedig a Pitagorasz-tétel

6
00:00:12,033 --> 00:00:13,366
esetleg használható valahogy.

7
00:00:14,254 --> 00:00:16,762
Rendben, akkor vezessük le 
együtt az egészet!

8
00:00:16,762 --> 00:00:20,042
Mindannyian emlékszünk, 
hogy egy háromszög területe

9
00:00:20,042 --> 00:00:24,701
egyenlő 1/2-szer az egyik oldal 
szorozva a hozzátartozó magassággal.

10
00:00:24,701 --> 00:00:25,945
Itt megadtak egy oldalt,

11
00:00:25,945 --> 00:00:28,430
ennek az alapnak a hosszát,

12
00:00:28,430 --> 00:00:31,190
ami 10 egység.

13
00:00:31,207 --> 00:00:32,859
De vajon mekkora a magasság?

14
00:00:32,859 --> 00:00:34,200
Íme a magasság

15
00:00:34,200 --> 00:00:35,901
– amit más színnel jelölök –,

16
00:00:35,901 --> 00:00:40,011
a magasság éppen ez a szakasz itt.

17
00:00:40,011 --> 00:00:41,715
Ha ki tudnánk számolni a hosszát,

18
00:00:41,715 --> 00:00:43,538
akkor a terület is meglenne abból,

19
00:00:43,538 --> 00:00:46,498
hogy 1/2-szer az oldal 
és a hozzá tartozó magasság szorzata.

20
00:00:46,498 --> 00:00:49,154
De hogy kaphatnánk meg ezt a magasságot?

21
00:00:49,154 --> 00:00:51,484
Nos, most lesz hasznos az a felismerés,

22
00:00:51,484 --> 00:00:53,995
hogy ez egy egyenlő szárú háromszög,

23
00:00:53,995 --> 00:00:57,521
így van két egyenlő oldala,

24
00:00:57,521 --> 00:01:01,688
és az alapon fekvő szögei is ugyanakkorák.

25
00:01:02,529 --> 00:01:06,174
Ha berajzoljuk ezt a magasságot itt

26
00:01:06,174 --> 00:01:08,197
– ami az egész dolog lényege –,

27
00:01:08,197 --> 00:01:12,090
akkor tudjuk, hogy 
ezek a szögek itt derékszögek.

28
00:01:12,090 --> 00:01:14,134
Márpedig ha két háromszögről tudjuk,

29
00:01:14,134 --> 00:01:15,808
hogy két-két szögük ugyanakkora,

30
00:01:15,808 --> 00:01:18,173
akkor a harmadik is megegyezik,

31
00:01:18,173 --> 00:01:21,196
így ez ugyanakkora, mint ez.

32
00:01:21,196 --> 00:01:23,660
Ha van két ilyen háromszög

33
00:01:23,660 --> 00:01:26,620
– valószínűleg már ösztönösen látod is –,

34
00:01:26,620 --> 00:01:29,006
szóval két-két szögük egyenlő,

35
00:01:29,006 --> 00:01:33,697
és egy megfelelő oldaluk is ugyanakkora,

36
00:01:33,697 --> 00:01:35,730
tehát ezek a háromszögek

37
00:01:35,730 --> 00:01:37,829
egybevágóak egymással.

38
00:01:37,829 --> 00:01:39,672
És amiért annyira hasznos,

39
00:01:39,672 --> 00:01:41,543
hogy ezek a háromszögek egybevágóak,

40
00:01:41,543 --> 00:01:43,635
az az, hogy mindegyiknek van 
egy 13 hosszúságú oldala,

41
00:01:43,635 --> 00:01:46,397
és mindegyiknek van egy ilyen kék oldala, 
akármennyi is a hossza,

42
00:01:46,397 --> 00:01:49,234
és mindkettőnek lesz egy oldala,

43
00:01:49,234 --> 00:01:52,571
amelynek a hossza 
10-nek a felével egyenlő.

44
00:01:52,571 --> 00:01:55,383
Így ez itt 5 lesz, és ez is itt 5 lesz.

45
00:01:55,383 --> 00:01:57,112
De hogy jött ez ki?

46
00:01:57,112 --> 00:01:59,293
Mondhatjuk, hogy ránézésre igaznak tűnik,

47
00:01:59,293 --> 00:02:00,650
de ha kicsit pontosabban akarunk fogalmazni,

48
00:02:00,650 --> 00:02:03,420
akkor a két egybevágó háromszögre 
hivatkozhatunk,

49
00:02:03,420 --> 00:02:06,143
és a 10-et megfelezzük, mert

50
00:02:06,143 --> 00:02:07,736
ez itt ugyanakkora, mint ez itt,

51
00:02:07,736 --> 00:02:09,515
és a kettő együtt 10 egység.

52
00:02:09,515 --> 00:02:12,283
Rendben, akkor most alkalmazhatjuk 
a Pitagorasz-tételt

53
00:02:12,283 --> 00:02:16,072
a kék szakasz, azaz a magasság 
hosszának meghatározására.

54
00:02:16,072 --> 00:02:19,658
Legyen ez a hossz h, ekkor Pitagorasz tétele alapján

55
00:02:19,658 --> 00:02:23,221
h a négyzeten plusz 5 a négyzeten
egyenlő 13 a négyzetennel,

56
00:02:23,221 --> 00:02:31,589
h² + 5² = 13²,

57
00:02:31,589 --> 00:02:33,191
azaz a leghosszabb oldal négyzetével,

58
00:02:33,191 --> 00:02:35,472
ami nem más, mint az átfogó négyzete.

59
00:02:35,472 --> 00:02:36,387
Nézzük csak,

60
00:02:36,387 --> 00:02:40,444
5 a négyzeten az 25,

61
00:02:40,444 --> 00:02:44,491
13 a négyzeten az 169,

62
00:02:44,491 --> 00:02:47,808
majd mindkét oldalból 25-öt kivonva

63
00:02:47,808 --> 00:02:49,949
kifejezzük h a négyzetent.

64
00:02:49,949 --> 00:02:51,599
Végezzük is el!

65
00:02:51,599 --> 00:02:53,728
Mit kaptunk így?

66
00:02:53,728 --> 00:02:57,420
Azt kaptuk, hogy h a négyzeten

67
00:02:57,420 --> 00:03:03,483
egyenlő 169 mínusz 25-tel, ami 144.

68
00:03:03,483 --> 00:03:04,843
Ha most ezt tisztán algebrailag oldod meg,

69
00:03:04,843 --> 00:03:07,017
akkor h plusz vagy mínusz 12 is lehetne,

70
00:03:07,017 --> 00:03:08,322
mivel azonban távolságról beszélünk,

71
00:03:08,322 --> 00:03:10,598
csak a pozitív megoldást vesszük figyelembe,

72
00:03:10,598 --> 00:03:15,298
ezért h egyenlő lesz négyzetgyök 144-gyel,

73
00:03:15,298 --> 00:03:17,084
azaz h egyenlő 12-vel.

74
00:03:17,084 --> 00:03:18,043
Még nem vagyunk készen,

75
00:03:18,043 --> 00:03:19,149
hiszen ne felejtsük el,

76
00:03:19,149 --> 00:03:20,307
nem a magasság volt a kérdés,

77
00:03:20,307 --> 00:03:22,472
hanem a háromszög területe,

78
00:03:22,472 --> 00:03:26,269
ami 1/2-szer az oldal és a 
hozzá tartozó magasság szorzata.

79
00:03:26,289 --> 00:03:27,430
Azt már megbeszéltük, hogy

80
00:03:27,430 --> 00:03:31,052
az oldal 10 egység, 
azaz ennek az alapnak a hossza

81
00:03:31,052 --> 00:03:32,809
– be is rajzolom egy másik színnel –,

82
00:03:32,809 --> 00:03:37,443
szóval az oldal ez a szakasz, ami 10 egység,

83
00:03:37,443 --> 00:03:39,533
és az előbb meghatároztuk a magasságot,

84
00:03:39,533 --> 00:03:43,308
a magasság 12 lett, most már csak
annyi a dolgunk,

85
00:03:43,308 --> 00:03:45,925
hogy kiszámoljuk
az 1/2-szer 10-szer 12 szorzat értékét,

86
00:03:45,925 --> 00:03:47,875
ami tehát annyi, mint

87
00:03:47,875 --> 00:03:50,096
félszer 10, ami 5,

88
00:03:50,096 --> 00:03:52,072
5-ször 12 egyenlő 60-nal,

89
00:03:52,072 --> 00:03:55,947
60 területegység, az egység bármi lehet,

90
00:03:55,947 --> 00:03:58,358
tehát megkaptuk a területet.