Állítsd meg a videót, és próbáld meg kiszámítani
ennek a háromszögnek a területét!
Két segítséget adok hozzá:
elsőként vegyük észre, hogy a háromszög egyenlő szárú,
másodszor pedig a Pitagorasz-tétel
esetleg használható valahogy.
Rendben, akkor vezessük le együtt az egészet!
Mindannyian emlékszünk, hogy egy háromszög területe
egyenlő 1/2-szer az egyik oldal szorozva a hozzátartozó magassággal.
Itt megadtak egy oldalt,
ennek az alapnak a hosszát,
ami 10 egység.
De vajon mekkora a magasság?
Íme a magasság
– amit más színnel jelölök –,
a magasság éppen ez a szakasz itt.
Ha ki tudnánk számolni a hosszát,
akkor a terület is meglenne abból,
hogy 1/2-szer az oldal és a hozzá tartozó magasság szorzata.
De hogy kaphatnánk meg ezt a magasságot?
Nos, most lesz hasznos az a felismerés,
hogy ez egy egyenlő szárú háromszög,
így van két egyenlő oldala,
és az alapon fekvő szögei is ugyanakkorák.
Ha berajzoljuk ezt a magasságot itt
– ami az egész dolog lényege –,
akkor tudjuk, hogy ezek a szögek itt derékszögek.
Márpedig ha két háromszögről tudjuk,
hogy két-két szögük ugyanakkora,
akkor a harmadik is megegyezik,
így ez ugyanakkora, mint ez.
Ha van két ilyen háromszög
– valószínűleg már ösztönösen látod is –,
szóval két-két szögük egyenlő,
és egy megfelelő oldaluk is ugyanakkora,
tehát ezek a háromszögek
egybevágóak egymással.
És amiért annyira hasznos,
hogy ezek a háromszögek egybevágóak,
az az, hogy mindegyiknek van egy 13 hosszúságú oldala,
és mindegyiknek van egy ilyen kék oldala, akármennyi is a hossza,
és mindkettőnek lesz egy oldala,
amelynek a hossza 10-nek a felével egyenlő.
Így ez itt 5 lesz, és ez is itt 5 lesz.
De hogy jött ez ki?
Mondhatjuk, hogy ránézésre igaznak tűnik,
de ha kicsit pontosabban akarunk fogalmazni,
akkor a két egybevágó háromszögre hivatkozhatunk,
és a 10-et megfelezzük, mert
ez itt ugyanakkora, mint ez itt,
és a kettő együtt 10 egység.
Rendben, akkor most alkalmazhatjuk a Pitagorasz-tételt
a kék szakasz, azaz a magasság hosszának meghatározására.
Legyen ez a hossz h, ekkor Pitagorasz tétele alapján
h a négyzeten plusz 5 a négyzeten egyenlő 13 a négyzetennel,
h² + 5² = 13²,
azaz a leghosszabb oldal négyzetével,
ami nem más, mint az átfogó négyzete.
Nézzük csak,
5 a négyzeten az 25,
13 a négyzeten az 169,
majd mindkét oldalból 25-öt kivonva
kifejezzük h a négyzetent.
Végezzük is el!
Mit kaptunk így?
Azt kaptuk, hogy h a négyzeten
egyenlő 169 mínusz 25-tel, ami 144.
Ha most ezt tisztán algebrailag oldod meg,
akkor h plusz vagy mínusz 12 is lehetne,
mivel azonban távolságról beszélünk,
csak a pozitív megoldást vesszük figyelembe,
ezért h egyenlő lesz négyzetgyök 144-gyel,
azaz h egyenlő 12-vel.
Még nem vagyunk készen,
hiszen ne felejtsük el,
nem a magasság volt a kérdés,
hanem a háromszög területe,
ami 1/2-szer az oldal és a hozzá tartozó magasság szorzata.
Azt már megbeszéltük, hogy
az oldal 10 egység, azaz ennek az alapnak a hossza
– be is rajzolom egy másik színnel –,
szóval az oldal ez a szakasz, ami 10 egység,
és az előbb meghatároztuk a magasságot,
a magasság 12 lett, most már csak annyi a dolgunk,
hogy kiszámoljuk az 1/2-szer 10-szer 12 szorzat értékét,
ami tehát annyi, mint
félszer 10, ami 5,
5-ször 12 egyenlő 60-nal,
60 területegység, az egység bármi lehet,
tehát megkaptuk a területet.