WEBVTT

00:00:00.607 --> 00:00:02.229
Állítsd meg a videót,
és próbáld meg kiszámítani

00:00:02.229 --> 00:00:04.633
ennek a háromszögnek a területét!

00:00:04.633 --> 00:00:06.583
Két segítséget adok hozzá:

00:00:06.583 --> 00:00:09.375
elsőként figyeld meg, 
hogy a háromszög egyenlő szárú,

00:00:09.375 --> 00:00:12.033
másodszor pedig a Pitagorasz-tétel

00:00:12.033 --> 00:00:13.366
esetleg használható valahogy.

00:00:14.254 --> 00:00:16.762
Rendben, akkor vezessük le 
együtt az egészet!

00:00:16.762 --> 00:00:20.042
Mindannyian emlékszünk, 
hogy egy háromszög területe

00:00:20.042 --> 00:00:24.701
egyenlő 1/2-szer az egyik oldal 
szorozva a hozzátartozó magassággal.

00:00:24.701 --> 00:00:25.945
Itt megadtak egy oldalt,

00:00:25.945 --> 00:00:28.430
ennek az alapnak a hosszát,

00:00:28.430 --> 00:00:31.190
ami 10 egység.

00:00:31.207 --> 00:00:32.859
De vajon mekkora a magasság?

00:00:32.859 --> 00:00:34.200
Íme a magasság

00:00:34.200 --> 00:00:35.901
– amit más színnel jelölök –,

00:00:35.901 --> 00:00:40.011
a magasság éppen ez a szakasz itt.

00:00:40.011 --> 00:00:41.715
Ha ki tudnánk számolni a hosszát,

00:00:41.715 --> 00:00:43.538
akkor a terület is meglenne abból,

00:00:43.538 --> 00:00:46.498
hogy 1/2-szer az oldal 
és a hozzá tartozó magasság szorzata.

00:00:46.498 --> 00:00:49.154
De hogy kaphatnánk meg ezt a magasságot?

00:00:49.154 --> 00:00:51.484
Nos, most lesz hasznos az a felismerés,

00:00:51.484 --> 00:00:53.995
hogy ez egy egyenlő szárú háromszög,

00:00:53.995 --> 00:00:57.521
így van két egyenlő oldala,

00:00:57.521 --> 00:01:01.688
és az alapon fekvő szögei is ugyanakkorák.

00:01:02.529 --> 00:01:06.174
Ha berajzoljuk ezt a magasságot itt

00:01:06.174 --> 00:01:08.197
– ami az egész dolog lényege –,

00:01:08.197 --> 00:01:12.090
akkor tudjuk, hogy 
ezek a szögek itt derékszögek.

00:01:12.090 --> 00:01:14.134
Márpedig ha két háromszögről tudjuk,

00:01:14.134 --> 00:01:15.808
hogy két-két szögük ugyanakkora,

00:01:15.808 --> 00:01:18.173
akkor a harmadik is megegyezik,

00:01:18.173 --> 00:01:21.196
így ez ugyanakkora, mint ez.

00:01:21.196 --> 00:01:23.660
Ha van két ilyen háromszög

00:01:23.660 --> 00:01:26.620
– valószínűleg már ránézésre is nyilvánvalónak látod –,

00:01:26.620 --> 00:01:29.006
ezeknek két-két szögük egyenlő,

00:01:29.006 --> 00:01:33.697
és egy megfelelő oldaluk is ugyanakkora,

00:01:33.697 --> 00:01:35.730
tehát ezek a háromszögek

00:01:35.730 --> 00:01:37.829
egybevágóak egymással.

00:01:37.829 --> 00:01:39.672
És amiért annyira hasznos,

00:01:39.672 --> 00:01:41.543
hogy ezek a háromszögek egybevágóak,

00:01:41.543 --> 00:01:43.635
az az, hogy mindegyiknek van 
egy 13 hosszúságú oldala,

00:01:43.635 --> 00:01:46.397
és mindegyiknek van egy ilyen kék oldala, 
akármennyi is a hossza,

00:01:46.397 --> 00:01:49.234
és mindkettőnek lesz egy oldala,

00:01:49.234 --> 00:01:52.571
amelynek a hossza 
10-nek a felével egyenlő.

00:01:52.571 --> 00:01:55.383
Így ez itt 5 lesz, és ez is itt 5 lesz.

00:01:55.383 --> 00:01:57.112
De hogy jött ez ki?

00:01:57.112 --> 00:01:59.293
Mondhatjuk, hogy ránézésre igaznak tűnik,

00:01:59.293 --> 00:02:00.650
de ha kicsit pontosabban akarunk fogalmazni,

00:02:00.650 --> 00:02:03.420
akkor a két egybevágó háromszögre 
hivatkozhatunk,

00:02:03.420 --> 00:02:06.143
és a 10-et megfelezzük, mert

00:02:06.143 --> 00:02:07.736
ez itt ugyanakkora, mint ez itt,

00:02:07.736 --> 00:02:09.515
és a kettő együtt 10 egység.

00:02:09.515 --> 00:02:12.283
Rendben, akkor most alkalmazhatjuk 
a Pitagorasz-tételt

00:02:12.283 --> 00:02:16.072
a kék szakasz, azaz a magasság 
hosszának meghatározására.

00:02:16.072 --> 00:02:19.658
Legyen ez a hossz h, ekkor Pitagorasz tétele alapján

00:02:19.658 --> 00:02:23.221
h a négyzeten plusz 5 a négyzeten
egyenlő 13 a négyzetennel,

00:02:23.221 --> 00:02:31.589
h² + 5² = 13²,

00:02:31.589 --> 00:02:33.191
azaz a leghosszabb oldal négyzetével,

00:02:33.191 --> 00:02:35.472
ami nem más, mint az átfogó négyzete.

00:02:35.472 --> 00:02:36.387
Nézzük csak,

00:02:36.387 --> 00:02:40.444
5 a négyzeten az 25,

00:02:40.444 --> 00:02:44.491
13 a négyzeten az 169,

00:02:44.491 --> 00:02:47.808
majd mindkét oldalból 25-öt kivonva

00:02:47.808 --> 00:02:49.949
kifejezzük h a négyzetent.

00:02:49.949 --> 00:02:51.599
Végezzük is el!

00:02:51.599 --> 00:02:53.728
Mit kaptunk így?

00:02:53.728 --> 00:02:57.420
Azt kaptuk, hogy h a négyzeten

00:02:57.420 --> 00:03:03.483
egyenlő 169 mínusz 25-tel, ami 144.

00:03:03.483 --> 00:03:04.843
Ha most ezt tisztán algebrailag oldod meg,

00:03:04.843 --> 00:03:07.017
akkor h plusz vagy mínusz 12 is lehetne,

00:03:07.017 --> 00:03:08.322
mivel azonban távolságról beszélünk,

00:03:08.322 --> 00:03:10.598
csak a pozitív megoldást vesszük figyelembe,

00:03:10.598 --> 00:03:15.298
ezért h egyenlő lesz négyzetgyök 144-gyel,

00:03:15.298 --> 00:03:17.084
azaz h egyenlő 12-vel.

00:03:17.084 --> 00:03:18.043
Még nem vagyunk készen,

00:03:18.043 --> 00:03:19.149
hiszen ne felejtsd el,

00:03:19.149 --> 00:03:20.307
nem a magasság volt a kérdés,

00:03:20.307 --> 00:03:22.472
hanem a háromszög területe,

00:03:22.472 --> 00:03:26.269
ami 1/2-szer az oldal és a 
hozzá tartozó magasság szorzata.

00:03:26.289 --> 00:03:27.430
Azt már megbeszéltük, hogy

00:03:27.430 --> 00:03:31.052
az oldal 10 egység, 
azaz ennek az alapnak a hossza

00:03:31.052 --> 00:03:32.809
– be is rajzolom egy másik színnel –,

00:03:32.809 --> 00:03:37.443
szóval az oldal ez a szakasz, ami 10 egység,

00:03:37.443 --> 00:03:39.533
és az előbb meghatároztuk a magasságot,

00:03:39.533 --> 00:03:43.308
a magasság 12 lett, most már csak
annyi a dolgunk,

00:03:43.308 --> 00:03:45.925
hogy kiszámoljuk
az 1/2-szer 10-szer 12 szorzat értékét,

00:03:45.925 --> 00:03:47.875
ami tehát annyi, mint

00:03:47.875 --> 00:03:50.096
félszer 10, ami 5,

00:03:50.096 --> 00:03:52.072
5-ször 12 egyenlő 60-nal,

00:03:52.072 --> 00:03:55.947
60 területegység, az egység bármi lehet,

00:03:55.947 --> 00:03:58.358
tehát megkaptuk a területet.