1
00:00:00,610 --> 00:00:03,519
RKA1JV - Olá, pessoal! 
Prontos para mais um vídeo?

2
00:00:03,919 --> 00:00:09,050
Para toda transformação que associa o Rⁿ

3
00:00:09,050 --> 00:00:11,689
ao próprio Rⁿ,

4
00:00:12,089 --> 00:00:14,680
a gente tem feito de forma implícita.

5
00:00:14,680 --> 00:00:16,637
Mas tem sido bem importante para a gente

6
00:00:16,637 --> 00:00:20,340
encontrar vetores que quando 
eu aplicava transformação,

7
00:00:20,340 --> 00:00:24,085
o resultado era apenas um múltiplo 
desse vetor que foi aplicado.

8
00:00:24,085 --> 00:00:28,350
Ou seja, vetores que, quando 
eu aplico a transformação,

9
00:00:28,350 --> 00:00:33,000
o resultado é simplesmente 
um múltiplo desse meu vetor.

10
00:00:33,420 --> 00:00:35,520
Se para você está meio obscuro,

11
00:00:35,520 --> 00:00:38,110
você não lembra de a gente 
ter falado nada disso,

12
00:00:38,110 --> 00:00:40,239
vou tentar refrescar sua memória um pouco.

13
00:00:40,239 --> 00:00:43,650
Para isso, vou começar 
desenhando aqui o nosso R².

14
00:00:44,470 --> 00:00:46,160
Eu vou fazer aqui

15
00:00:46,160 --> 00:00:51,219
alguma transformação do R² 
no R² para nos ajudar.

16
00:00:51,219 --> 00:00:54,984
E agora, para ajudar, 
vou fazer um vetorzinho,

17
00:00:55,500 --> 00:00:58,680
aqui está o nosso vetorzinho "v".

18
00:00:58,680 --> 00:01:03,670
Digamos que esse vetorzinho "v" aqui 
é o vetor [1, 2].

19
00:01:05,449 --> 00:01:10,640
Além disso, nós temos a reta 
que esse vetorzinho gera,

20
00:01:10,640 --> 00:01:15,671
vamos chamar essa retinha aqui de reta "r".

21
00:01:15,671 --> 00:01:19,270
A agora vamos criar aqui,
uma transformação linear

22
00:01:19,270 --> 00:01:23,168
que reflete vetores em torno 
dessa minha reta "r".

23
00:01:23,168 --> 00:01:28,599
Então, "T" vai ser uma 
transformação do R² no R²

24
00:01:29,859 --> 00:01:42,530
que reflete vetores ao redor de "r".

25
00:01:43,249 --> 00:01:45,910
Bom, já que a gente está aqui em uma 
missão de refrescar a memória,

26
00:01:45,910 --> 00:01:48,650
o que seria uma reflexão 
ao redor da reta "r"?

27
00:01:48,650 --> 00:01:51,794
Digamos que eu tenha 
um vetorzinho "x" aqui,

28
00:01:51,794 --> 00:01:53,849
refletindo ao redor dessa reta,

29
00:01:53,849 --> 00:01:55,811
ela vai servir como se fosse um espelho.

30
00:01:55,811 --> 00:02:00,940
A imagem vai ficar aqui mais ou menos, 
um reflexo desse meu vetor "x",

31
00:02:00,940 --> 00:02:04,106
aqui está o nosso T(x).

32
00:02:04,380 --> 00:02:06,727
Não sei se você se lembra 
de quando a gente pegou

33
00:02:06,727 --> 00:02:09,360
essa transformaçãozinha aqui como exemplo,

34
00:02:09,360 --> 00:02:11,260
uma das coisas que a gente fez

35
00:02:11,260 --> 00:02:15,160
foi escolher uma base 
para essa transformação.

36
00:02:15,160 --> 00:02:17,810
Que não era muito alterada por ela.

37
00:02:17,810 --> 00:02:21,340
Quando a gente aplicava 
a transformaçãozinha na base,

38
00:02:21,340 --> 00:02:25,708
o máximo que ela fazia era multiplicar 
os vetores da base por um escalar.

39
00:02:25,708 --> 00:02:29,600
Por exemplo, pessoal, este vetorzinho, 
vou chamá-lo de v₁.

40
00:02:29,959 --> 00:02:33,450
Quando eu pego a transformação 
desse vetor,

41
00:02:33,450 --> 00:02:37,652
transformação aplicada 
no meu vetorzinho v₁,

42
00:02:37,652 --> 00:02:39,056
o que vai acontecer com ele?

43
00:02:39,056 --> 00:02:41,799
Se eu o refleti sendo, 
que ele já está na reta,

44
00:02:41,799 --> 00:02:43,029
ele vai continuar igual.

45
00:02:43,029 --> 00:02:45,749
Então, a transformação aplicada em v₁

46
00:02:45,749 --> 00:02:48,038
é ser justamente o meu vetor v₁.

47
00:02:48,038 --> 00:02:49,751
Ou dá para falar o seguinte:

48
00:02:49,751 --> 00:02:52,920
se eu aplicar transformação em v₁,

49
00:02:52,920 --> 00:02:58,819
o que eu vou obter é simplesmente 
uma vez o meu v₁.

50
00:02:59,599 --> 00:03:03,090
Se eu tentar colocar nesses 
parâmetros aqui,

51
00:03:03,090 --> 00:03:05,279
o que eu acabei de mostrar para você,

52
00:03:05,279 --> 00:03:07,859
a transformação no caso é a reflexão.

53
00:03:07,859 --> 00:03:11,510
E lambda (λ) aqui, 
o λ é igual a 1.

54
00:03:11,510 --> 00:03:14,811
Significa que o que aconteceu 
depois da transformação,

55
00:03:14,811 --> 00:03:17,779
é que o meu vetorzinho 
foi multiplicado por 1.

56
00:03:17,779 --> 00:03:20,460
Vamos pegar aqui um outro 
vetorzinho de exemplo.

57
00:03:20,460 --> 00:03:24,924
Digamos que eu pegue aqui, 
o vetorzinho aqui,

58
00:03:24,924 --> 00:03:27,469
esse vetor v₂,

59
00:03:27,469 --> 00:03:32,189
e esse meu v₂ é o vetorzinho 2 menos 1.

60
00:03:35,179 --> 00:03:38,346
Quando eu aplico a transformação 
nesse meu v₂,

61
00:03:38,346 --> 00:03:39,440
o que vai acontecer?

62
00:03:39,440 --> 00:03:41,379
Ele só vai mudar a direção. 
Por quê?

63
00:03:41,379 --> 00:03:45,810
Porque ele é ortogonal 
a essa minha reta "r".

64
00:03:45,810 --> 00:03:49,290
Aqui está T(2),

65
00:03:49,290 --> 00:03:54,910
ou seja, se eu pegar e aplicar 
uma transformação em v₂,

66
00:03:54,910 --> 00:03:56,410
o que vai acontecer?

67
00:03:56,410 --> 00:04:00,479
O que vai vir de resultante para mim 
vai ser -v₂.

68
00:04:00,879 --> 00:04:05,479
Também posso dizer aqui que 
a transformação aplicada em v₂

69
00:04:05,479 --> 00:04:10,769
vai ser simplesmente 
-1 vezes o vetorzinho v₂.

70
00:04:10,769 --> 00:04:13,879
O interessante desses vetorzinhos aqui,

71
00:04:13,879 --> 00:04:17,040
é que, se eu estiver trabalhando 
com essa transformação

72
00:04:17,040 --> 00:04:20,550
e usá-los como base do meu 
sistema de coordenadas,

73
00:04:20,550 --> 00:04:23,396
vai ficar muito, muito fácil 
a gente achar a matriz

74
00:04:23,396 --> 00:04:25,419
que vai representar a minha transformação.

75
00:04:25,419 --> 00:04:27,420
O que também vai facilitar as continhas

76
00:04:27,420 --> 00:04:29,380
que a gente vai operar daí para a frente.

77
00:04:29,380 --> 00:04:31,363
A gente vai se aprofundar nisso

78
00:04:31,363 --> 00:04:33,070
um pouco mais para frente.

79
00:04:33,070 --> 00:04:35,380
Mas espero que você tenha percebido

80
00:04:35,380 --> 00:04:38,630
o tanto que esses vetores são especiais.

81
00:04:38,890 --> 00:04:43,060
Ou, então, pessoal, a gente pode 
pegar o caso que eu tenho aqui,

82
00:04:43,560 --> 00:04:46,010
um plano qualquer,

83
00:04:46,010 --> 00:04:51,294
digamos que esse plano é gerado por esses 
dois vetorzinhos em vermelho

84
00:04:51,294 --> 00:04:53,010
e aqui eu tenho um vetorzino verde

85
00:04:53,010 --> 00:04:54,998
que sai desse plano

86
00:04:54,998 --> 00:04:56,670
e que vem aqui para cima.

87
00:04:56,670 --> 00:04:58,210
Agora, eu pego como exemplo,

88
00:04:58,210 --> 00:05:02,121
a transformação que usa 
esse plano como um espelho,

89
00:05:02,121 --> 00:05:05,070
todo mundo é refletido 
ao redor desse plano.

90
00:05:05,070 --> 00:05:07,691
E quando eu faço a transformação 
nos vetores vermelhos,

91
00:05:07,691 --> 00:05:09,510
eles não mudam nada

92
00:05:09,510 --> 00:05:11,515
e fazendo a transformação 
nesse vetorzinho verde,

93
00:05:11,515 --> 00:05:13,840
ele simplesmente vira 
de cabeça para baixo.

94
00:05:13,840 --> 00:05:15,140
E você vai pensar:

95
00:05:15,140 --> 00:05:21,120
"bom, parece que esses três vetores são 
uma boa base para essa transformação."

96
00:05:21,120 --> 00:05:22,381
De fato, eles são.

97
00:05:22,381 --> 00:05:24,870
Então, basicamente, em que 
a gente está interessado?

98
00:05:24,870 --> 00:05:28,228
O que a gente está procurando são vetores 
que quando a gente aplica transformação,

99
00:05:28,228 --> 00:05:31,480
a única coisa que acontece é eles serem 
multiplicados por um número.

100
00:05:31,480 --> 00:05:34,610
Espero que você tenha percebido que 
não são com todos os vetores

101
00:05:34,610 --> 00:05:36,695
que esse tipo de comportamento acontece.

102
00:05:36,695 --> 00:05:40,610
Por exemplo, olha esse vetorzinho "x" 
que a gente desenhou.

103
00:05:40,610 --> 00:05:43,394
Quando a gente aplicou 
a transformação nele,

104
00:05:43,394 --> 00:05:46,990
digamos que a reta que ele gera 
muda completamente.

105
00:05:47,390 --> 00:05:49,470
Diferentemente desse aqui.

106
00:05:49,470 --> 00:05:51,510
quando eu apliquei a transformação,

107
00:05:51,510 --> 00:05:54,380
a reta que eu gerei foi a mesma.

108
00:05:54,380 --> 00:05:56,218
Então, basicamente, o que 
a gente está procurando?

109
00:05:56,218 --> 00:05:59,830
Os vetores que, quando a gente 
aplica a transformação,

110
00:05:59,830 --> 00:06:04,309
o resultado é só uma versão 
multiplicada por um escalar.

111
00:06:04,309 --> 00:06:08,690
E que digamos que a transformação 
do meu "x", esse aqui é o vetor "x".

112
00:06:08,973 --> 00:06:11,305
Ou seja, a reta que o vetor gera

113
00:06:11,305 --> 00:06:15,500
tem que ser a mesma reta que 
a imagem desse vetor vai gerar.

114
00:06:16,800 --> 00:06:18,990
E quando esse tipo de coisa 
acontece, pessoal,

115
00:06:18,990 --> 00:06:21,270
esses vetorzinhos até têm um nome.

116
00:06:21,270 --> 00:06:23,670
Espero que eu esteja enfatizando

117
00:06:23,670 --> 00:06:25,750
o suficiente a importância desses caras

118
00:06:25,750 --> 00:06:27,560
porque eles são, de fato, muito úteis.

119
00:06:27,560 --> 00:06:30,770
Não é só uma perfumaria matemática 
que a gente está fazendo aqui.

120
00:06:30,770 --> 00:06:33,090
Eles são úteis, porque eles facilitam

121
00:06:33,090 --> 00:06:36,870
encontrar as matrizes que 
representam as transformações.

122
00:06:36,870 --> 00:06:39,766
Eles são um conjunto 
de bases mais natural

123
00:06:39,766 --> 00:06:41,489
para um sistema de coordenadas.

124
00:06:41,489 --> 00:06:43,700
E, na grande maioria das vezes,

125
00:06:43,700 --> 00:06:47,529
as matrizes usando esses "carinhas" como 
sistema de coordenadas

126
00:06:47,529 --> 00:06:49,889
são muito mais fáceis 
de operar, de calcular.

127
00:06:49,889 --> 00:06:53,769
Então vamos ao nome especial 
que esses vetores têm.

128
00:06:53,769 --> 00:06:58,279
Qualquer vetorzinho que satisfaça essa propriedade aqui

129
00:06:58,279 --> 00:07:08,349
é chamado de auto vetor 
da transformação T.

130
00:07:08,349 --> 00:07:10,264
Já esse lambda (λ) aqui,

131
00:07:10,264 --> 00:07:13,239
o número pelo qual este vetor 
foi multiplicado,

132
00:07:13,749 --> 00:07:24,119
é chamado de auto valor associado.

133
00:07:24,119 --> 00:07:26,199
Associado a quem?

134
00:07:26,199 --> 00:07:30,499
Associado ao auto vetor.

135
00:07:30,899 --> 00:07:32,819
Então, pessoal, voltando aqui,

136
00:07:32,819 --> 00:07:35,059
essa transformação aqui, que é a reflexão,

137
00:07:35,059 --> 00:07:42,539
nesse nosso caso, 
o vetor [1, 2] é um auto vetor,

138
00:07:42,539 --> 00:07:44,809
é um auto vetor da nossa transformação.

139
00:07:44,809 --> 00:07:53,099
E o 1 é o auto valor associado.

140
00:07:53,099 --> 00:07:56,929
Do mesmo modo, esse vetorzinho [2, -1],

141
00:07:56,929 --> 00:08:02,139
o v₂, também é um auto vetor.

142
00:08:02,839 --> 00:08:09,779
E no caso desse v₂,, 
-1 é o auto valor associado.

143
00:08:11,719 --> 00:08:20,249
Essa transformação representada como 
um produto de uma matriz por um vetor,

144
00:08:20,249 --> 00:08:24,692
afinal, é uma transformação linear, 
pode ser representada assim.

145
00:08:24,692 --> 00:08:27,835
Qualquer "v" que satisfaça a condição

146
00:08:27,835 --> 00:08:32,219
de que a transformação aplicada em "v" 
resulta em λv,

147
00:08:32,219 --> 00:08:37,464
que, obviamente, também pode ser 
representada por "A" vezes "v",

148
00:08:37,464 --> 00:08:39,719
esses vetores também são chamados

149
00:08:39,719 --> 00:08:41,999
de auto vetores da matriz "A".

150
00:08:41,999 --> 00:08:45,240
Afinal, "A" é a matriz que 
representa a transformação.

151
00:08:45,240 --> 00:08:53,349
Novamente, esse aqui 
é o auto vetor de "A",

152
00:08:53,640 --> 00:09:03,529
e o λ é o auto valor 
associado ao auto vetor.

153
00:09:03,529 --> 00:09:07,829
Ou seja, se você me der uma matriz que 
representa uma transformação linear,

154
00:09:07,829 --> 00:09:10,866
eu posso descobrir quem são 
os autos valores

155
00:09:10,866 --> 00:09:13,170
e os autos vetores associados.

156
00:09:13,170 --> 00:09:17,880
Inclusive, nos próximos vídeos, 
a gente vai calcular esses carinhas.

157
00:09:17,880 --> 00:09:20,270
Mas eu quero que você perceba,

158
00:09:20,270 --> 00:09:23,480
quero que você dê importância, 
no vídeo de agora, no vídeo de hoje,

159
00:09:23,480 --> 00:09:26,270
nas propriedades desses tais 
autos vetores.

160
00:09:26,270 --> 00:09:29,259
Simplesmente, eles não são muito 
alterados pela transformação,

161
00:09:29,259 --> 00:09:32,369
o máximo que vai acontecer é ele ser 
multiplicado por um escalar.

162
00:09:32,369 --> 00:09:35,450
Ou seja, vai ficar ou maior, 
ou um pouco menor,

163
00:09:35,450 --> 00:09:40,679
mas a linha, a reta que esse cara gera,

164
00:09:40,679 --> 00:09:43,489
não vai mudar quando eu aplico 
a transformação nele.

165
00:09:43,489 --> 00:09:45,450
Por isso, uma das grandes utilidades,

166
00:09:45,450 --> 00:09:48,989
é que eles formam uma ótima base 
para o nosso sistema.

167
00:09:48,989 --> 00:09:51,410
O que vai fazer com que 
a nossa matriz de transformação

168
00:09:51,410 --> 00:09:53,660
seja mais fácil de encontrar,

169
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inclusive, mais fácil de operar.

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Espero que vocês tenham gostado,

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e até o próximo vídeo!

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Tchau, tchau!