0:00:00.170,0:00:03.319
RKA1- Olá, pessoal, prontos para mais um vídeo?

0:00:03.319,0:00:08.670
Para toda transformação que associa o Rⁿ

0:00:08.670,0:00:11.969
no próprio Rⁿ .

0:00:11.969,0:00:15.000
A gente tem feito de forma implícita.

0:00:15.000,0:00:16.500
Mas tem sido bem importante para a gente encontrar

0:00:16.500,0:00:19.590
vetores que quando eu aplicava transformação,

0:00:19.590,0:00:21.960
o resultado era apenas um múltiplo desse vetor que foi aplicado.

0:00:24.269,0:00:27.210
Ou seja, vetores que quando eu aplico a a transformação,

0:00:27.210,0:00:29.779
o resultado é simplesmente um múltiplo desse meu vetor.

0:00:33.000,0:00:36.180
Se para você está meio obscuro,

0:00:36.180,0:00:37.950
você não lembra de a gente ter falado nada disso,

0:00:37.950,0:00:39.899
vou tentar refrescar sua memória um pouco.

0:00:39.899,0:00:41.550
Para isso, vou começar a desenhar

0:00:41.550,0:00:43.770
aqui o nosso R2.

0:00:43.770,0:00:46.800
Eu vou fazer aqui alguma

0:00:46.800,0:00:50.579
transformação do R2 no R2 para nos ajudar.

0:00:50.579,0:00:54.510
E agora para ajudar, vou fazer um vetorzinho,

0:00:55.500,0:00:58.680
aqui está o nosso vetorzinho V.

0:00:58.680,0:01:00.930
Digamos que esse vetorzinho V aqui é o vetor [1, 2].

0:01:04.909,0:01:09.000
Além disso, nós temos a reta que esse vetorzinho gera,

0:01:09.000,0:01:12.900
vamos chamar essa retinha aqui de reta R.

0:01:12.900,0:01:16.799
A agora vamos criar aqui

0:01:16.799,0:01:19.470
uma transformação linear que

0:01:19.470,0:01:22.409
reflete vetores em torno dessa minha reta R.

0:01:22.409,0:01:25.799
Então T, esse é uma transformação do R2 no R2

0:01:25.799,0:01:35.070
que reflete vetores ao redor de R.

0:01:42.689,0:01:44.790
Bom, já que a gente está aqui numa missão de refrescar a memória,

0:01:46.350,0:01:49.110
o que seria uma reflexão ao redor da reta R?

0:01:49.110,0:01:51.360
Digamos que eu tenho um vetorzinho "x" aqui,

0:01:51.360,0:01:54.329
refletindo ao redor dessa reta, ela vai servir

0:01:54.329,0:01:56.040
como se fosse um espelho.

0:01:56.040,0:01:58.409
A imagem vai ficar aqui mais ou menos um reflexo desse meu vetor "x",

0:02:01.799,0:02:04.680
aqui está o nosso t(x).

0:02:04.680,0:02:06.119
Não sei se você se lembra quando a gente pegou

0:02:06.119,0:02:08.160
essa transformaçãozinha aqui como exemplo,

0:02:08.160,0:02:10.920
uma das coisas que a gente fez

0:02:10.920,0:02:14.010
foi escolher uma base nessa transformação.

0:02:16.140,0:02:17.970
Que não era muito alterada por ela.

0:02:17.970,0:02:20.220
Quando a gente aplicava transformaçãozinha na base,

0:02:21.480,0:02:23.790
o máximo que ela fazia era multiplicar [br]os vetores da base por um escalar.

0:02:25.890,0:02:27.900
Por exemplo, pessoal, este vetorzinho V, vou chamá-lo de V1.

0:02:29.819,0:02:32.730
Quando eu pego a transformação desse vetor,

0:02:32.730,0:02:35.579
transformação aplicada no meu vetorzinho V1,

0:02:35.579,0:02:38.909
o que vai acontecer com ele?

0:02:38.909,0:02:40.859
Se eu o refleti sendo que ele já está na reta,

0:02:40.859,0:02:42.629
ele vai continuar igual.

0:02:42.629,0:02:45.209
Então a transformação aplicada em V1

0:02:45.209,0:02:48.239
é ser justamente o meu vetor V1.

0:02:48.239,0:02:50.430
Ou dá para falar o seguinte:

0:02:50.430,0:02:53.220
se eu aplicar transformação em V1,

0:02:53.220,0:02:57.359
o que eu vou obter é simplesmente uma vez o meu V1.

0:02:57.359,0:03:01.260
Se eu tentar colocar nesses parâmetros aqui,

0:03:03.090,0:03:05.459
o que eu acabei de mostrar para você,

0:03:05.459,0:03:08.459
a transformação no caso é a reflexão.

0:03:08.459,0:03:11.190
E lambda (∞) aqui, o ∞ é igual a 1.

0:03:11.190,0:03:13.769
Significa que o que aconteceu

0:03:13.769,0:03:15.599
depois da transformação aqui,

0:03:15.599,0:03:18.019
meu vetorzinho foi multiplicado por 1.

0:03:18.019,0:03:19.019
Vamos pegar aqui um outro vetorzinho de exemplo.

0:03:21.060,0:03:25.849
Digamos que eu pegue aqui o vetorzinho aqui, esse vetor V2,

0:03:25.849,0:03:31.169
e esse meu V2 é o vetorzinho 2 menos 1.

0:03:34.699,0:03:37.169
Quando eu aplico a transformação nesse meu V2,

0:03:37.169,0:03:39.660
o que vai acontecer?

0:03:39.660,0:03:42.139
Ele só vai mudar a direção. Por quê?

0:03:42.139,0:03:46.290
Porque ele é ortogonal a essa minha reta R.

0:03:46.290,0:03:52.410
Aqui está t(2), ou seja, se eu pegar e aplicar uma transformação em V2,

0:03:52.410,0:03:55.590
o que vai acontecer?

0:03:55.590,0:03:57.659
O que vai vir de restante para mim vai ser -V2.

0:04:01.290,0:04:03.659
Também posso dizer aqui que a transformação

0:04:03.659,0:04:07.590
aplicada em v2 vai ser simplesmente - 1 vezes o vetorzinho V2.

0:04:10.769,0:04:13.019
O interessante desses vetorzinhos aqui é

0:04:13.019,0:04:15.780
que se eu estiver trabalhando com essa transformação e

0:04:15.780,0:04:18.570
usá-los como base do meu sistema de coordenadas,

0:04:21.030,0:04:23.430
vai ficar muito, muito fácil a gente achar a matriz que vai representar a minha transformação.

0:04:24.599,0:04:26.159
O que também vai facilitar as continhas

0:04:27.420,0:04:28.740
que a gente vai operar daí para a frente.

0:04:28.740,0:04:30.690
A gente vai se aprofundar

0:04:30.690,0:04:33.510
nisso um pouco mais pra frente.

0:04:33.510,0:04:36.000
Mas espero que você tenha percebido o tanto

0:04:36.000,0:04:38.730
que esses vetores são especiais.

0:04:38.730,0:04:40.620
Ou, então, pessoal a gente pode pegar o caso que eu tenho aqui,

0:04:43.800,0:04:46.590
um planozinho qualquer.

0:04:46.590,0:04:48.570
Digamos que esse plano é gerado por esses dois

0:04:48.570,0:04:51.690
vetorzinhos em vermelho e aqui eu tenho um vetorzino verde

0:04:53.790,0:04:56.670
que sai desse plano e que vem aqui para cima.

0:04:56.670,0:04:58.350
Agora eu pego como exemplo a

0:04:58.350,0:05:01.590
transformação que usa esse plano como um espelho,

0:05:01.590,0:05:04.410
todo mundo é refletido ao redor desse plano.

0:05:04.410,0:05:05.970
E quando eu faço a transformação dos vetores vermelhos,

0:05:07.950,0:05:10.290
eles não mudam nada e fazendo a transformação

0:05:10.290,0:05:11.970
nesse vetorzinho verde, ele simplesmente vira de cabeça para baixo.

0:05:13.920,0:05:16.440
E você vai pensar:" Bom, parece que esses

0:05:16.440,0:05:19.410
três vetores são uma boa base para essa transformação."

0:05:22.020,0:05:24.000
De fato, eles são. Então, basicamente o que a gente está interessado?

0:05:24.000,0:05:25.200
O que a gente está procurando?

0:05:25.200,0:05:27.480
São vetores que quando a gente aplica transformação,

0:05:27.480,0:05:29.250
a única coisa que acontece é

0:05:29.250,0:05:31.440
eles serem multiplicadas por um número.

0:05:31.440,0:05:32.850
Espero que você tenha percebido que não

0:05:32.850,0:05:35.070
são com todos os vetores que esse tipo de comportamento acontece.

0:05:37.050,0:05:39.930
Por exemplo, olha esse vetorzinho "x" que a gente desenhou.

0:05:39.930,0:05:41.460
Quando a gente aplicou a transformação nele,

0:05:43.620,0:05:45.810
digamos que a reta que ele gera muda completamente.

0:05:45.810,0:05:49.350
Diferente desse aqui.

0:05:49.350,0:05:51.690
quando eu apliquei a transformação,

0:05:51.690,0:05:54.540
a reta que eu gerei foi a mesma.

0:05:54.540,0:05:55.860
Então basicamente o que a gente está procurando?

0:05:55.860,0:05:58.320
Os vetores que quando a gente aplica a transformação,

0:06:00.930,0:06:05.520
o resultado é só uma versão multiplicada por um escalar.

0:06:05.520,0:06:07.350
E que digamos que a transformação do meu "x", esse aqui é o vetor "x".

0:06:08.910,0:06:11.550
Ou seja, a reta que o setor gera tem que

0:06:11.550,0:06:13.740
ser a mesma reta que a imagem desse vetor vai gerar.

0:06:17.220,0:06:18.930
E quando esse tipo de coisa acontece, pessoal,

0:06:18.930,0:06:21.270
esses vetorzinhos até tem um nome.

0:06:21.270,0:06:23.850
Espero que eu esteja enfatizando o suficiente

0:06:23.850,0:06:25.770
a importância desses caras

0:06:25.770,0:06:27.540
porque eles são de fato muito úteis.

0:06:27.540,0:06:29.700
Não é só uma perfumaria matemática que a

0:06:29.700,0:06:30.870
gente está fazendo aqui.

0:06:30.870,0:06:32.810
Eles são úteis porque eles facilitam encontrar

0:06:32.810,0:06:35.700
as matrizes que representam as transformações.

0:06:36.870,0:06:38.910
Eles são um conjunto de bases mais

0:06:38.910,0:06:41.249
natural para um sistema de coordenadas.

0:06:41.249,0:06:43.579
E, na grande maioria das vezes, as matrizes usando

0:06:44.999,0:06:46.589
esses carrinhos como sistema de coordenadas são muito mais

0:06:48.689,0:06:50.789
fáceis de operar, de calcular.

0:06:50.789,0:06:53.429
Então vamos ao nome especial que esses vetores têm.

0:06:53.429,0:06:56.039
Qualquer vetorzinho que satisfaça essa propriedade aqui é

0:06:58.499,0:07:04.309
chamado de auto vetor da transformação T.

0:07:10.109,0:07:12.179
Já esse lambda aqui, o número pelo qual o setor foi multiplicado,

0:07:13.409,0:07:24.299
ele é chamado de auto valor associado.

0:07:24.299,0:07:26.279
Associado a quem?

0:07:26.279,0:07:30.499
Associado ao auto vetor.

0:07:30.499,0:07:32.819
Então, pessoal, voltando aqui,

0:07:32.819,0:07:35.399
essa transformação aqui que é a reflexão.

0:07:35.399,0:07:41.759
Nesse nosso caso, o vetor 1,2 é auto vetor,

0:07:41.759,0:07:43.709
é um auto vetor da nossa transformação.

0:07:43.709,0:07:47.189
E o 1 é o auto valor associado.

0:07:53.579,0:07:57.689
Do mesmo modo, esse vetorzinho (2 -1)

0:07:57.689,0:08:04.139
também é um auto vetor.

0:08:04.139,0:08:07.979
E no caso desse V2, do -1 é o auto valor associado.

0:08:11.119,0:08:14.849
Essa transformação representada como um produto

0:08:17.519,0:08:20.249
de uma matriz por um vetor.

0:08:20.249,0:08:22.499
Afinal, é uma transformação delinear, pode ser representada assim.

0:08:25.499,0:08:28.079
Qualquer V que satisfaça a condição de que a

0:08:28.079,0:08:30.779
transformação aplicado em V resulta em ∞V,

0:08:30.779,0:08:33.300
que obviamente também pode ser representado por A vezes V.

0:08:37.259,0:08:39.719
Esses setores também são chamados de

0:08:39.719,0:08:43.319
auto vetores da matriz A.

0:08:43.319,0:08:44.990
Afinal, A é a matriz que representa a transformação.

0:08:44.990,0:08:51.709
Novamente, esse aqui é o auto vetor de A,

0:08:54.660,0:09:03.629
e o ∞ é o auto valor associado ao auto vetor.

0:09:03.629,0:09:05.790
Ou seja, se você me der uma matriz que representa uma transformação linear,

0:09:07.829,0:09:10.319
eu posso descobrir quem são os autos valores e os autos verores associados.

0:09:13.170,0:09:15.990
Inclusive, nos próximos vídeo, a gente vai calcular esses carinhas.

0:09:18.420,0:09:21.089
Mas o quero que você perceba, quero que você dê

0:09:21.089,0:09:22.980
importância no vídeo de agora, no vídeo de hoje,

0:09:22.980,0:09:25.350
é nas propriedades desses tais autos vetores.

0:09:25.350,0:09:27.420
Simplesmente, eles não são muito alterados pela transformação,

0:09:29.279,0:09:31.769
o máximo que vai acontecer é ele ser multiplicado por 1 escalar.

0:09:31.769,0:09:34.470
Ou seja, vai ficar ou maior ou um pouco menor,

0:09:34.470,0:09:38.220
mas a linha, a reta que esse cara gera não vai mudar

0:09:41.459,0:09:43.769
quando eu aplico a transformação nele.

0:09:43.769,0:09:45.930
Por isso, uma das grande utilidade é que eles

0:09:45.930,0:09:48.509
formam uma ótima base para nosso sistema.

0:09:48.509,0:09:50.639
O que vai fazer com que a nossa matriz de transformação seja mais fácil

0:09:52.620,0:09:57.089
de encontrar, inclusive mais fácil de operar.

0:09:57.089,0:10:00.899
Espero que vocês tenham gostado

0:10:00.899,0:10:04.250
e até o próximo vídeo. Tchau, tchau.