1
00:00:00,170 --> 00:00:03,319
RKA1- Olá, pessoal, prontos para mais um vídeo?

2
00:00:03,319 --> 00:00:08,670
Para toda transformação que associa o Rⁿ

3
00:00:08,670 --> 00:00:11,969
no próprio Rⁿ .

4
00:00:11,969 --> 00:00:15,000
A gente tem feito de forma implícita.

5
00:00:15,000 --> 00:00:16,500
Mas tem sido bem importante para a gente encontrar

6
00:00:16,500 --> 00:00:19,590
vetores que quando eu aplicava transformação,

7
00:00:19,590 --> 00:00:21,960
o resultado era apenas um múltiplo desse vetor que foi aplicado.

8
00:00:24,269 --> 00:00:27,210
Ou seja, vetores que quando eu aplico a a transformação,

9
00:00:27,210 --> 00:00:29,779
o resultado é simplesmente um múltiplo desse meu vetor.

10
00:00:33,000 --> 00:00:36,180
Se para você está meio obscuro,

11
00:00:36,180 --> 00:00:37,950
você não lembra de a gente ter falado nada disso,

12
00:00:37,950 --> 00:00:39,899
vou tentar refrescar sua memória um pouco.

13
00:00:39,899 --> 00:00:41,550
Para isso, vou começar a desenhar

14
00:00:41,550 --> 00:00:43,770
aqui o nosso R2.

15
00:00:43,770 --> 00:00:46,800
Eu vou fazer aqui alguma

16
00:00:46,800 --> 00:00:50,579
transformação do R2 no R2 para nos ajudar.

17
00:00:50,579 --> 00:00:54,510
E agora para ajudar, vou fazer um vetorzinho,

18
00:00:55,500 --> 00:00:58,680
aqui está o nosso vetorzinho V.

19
00:00:58,680 --> 00:01:00,930
Digamos que esse vetorzinho V aqui é o vetor [1, 2].

20
00:01:04,909 --> 00:01:09,000
Além disso, nós temos a reta que esse vetorzinho gera,

21
00:01:09,000 --> 00:01:12,900
vamos chamar essa retinha aqui de reta R.

22
00:01:12,900 --> 00:01:16,799
A agora vamos criar aqui

23
00:01:16,799 --> 00:01:19,470
uma transformação linear que

24
00:01:19,470 --> 00:01:22,409
reflete vetores em torno dessa minha reta R.

25
00:01:22,409 --> 00:01:25,799
Então T, esse é uma transformação do R2 no R2

26
00:01:25,799 --> 00:01:35,070
que reflete vetores ao redor de R.

27
00:01:42,689 --> 00:01:44,790
Bom, já que a gente está aqui numa missão de refrescar a memória,

28
00:01:46,350 --> 00:01:49,110
o que seria uma reflexão ao redor da reta R?

29
00:01:49,110 --> 00:01:51,360
Digamos que eu tenho um vetorzinho "x" aqui,

30
00:01:51,360 --> 00:01:54,329
refletindo ao redor dessa reta, ela vai servir

31
00:01:54,329 --> 00:01:56,040
como se fosse um espelho.

32
00:01:56,040 --> 00:01:58,409
A imagem vai ficar aqui mais ou menos um reflexo desse meu vetor "x",

33
00:02:01,799 --> 00:02:04,680
aqui está o nosso t(x).

34
00:02:04,680 --> 00:02:06,119
Não sei se você se lembra quando a gente pegou

35
00:02:06,119 --> 00:02:08,160
essa transformaçãozinha aqui como exemplo,

36
00:02:08,160 --> 00:02:10,920
uma das coisas que a gente fez

37
00:02:10,920 --> 00:02:14,010
foi escolher uma base nessa transformação.

38
00:02:16,140 --> 00:02:17,970
Que não era muito alterada por ela.

39
00:02:17,970 --> 00:02:20,220
Quando a gente aplicava transformaçãozinha na base,

40
00:02:21,480 --> 00:02:23,790
o máximo que ela fazia era multiplicar 
os vetores da base por um escalar.

41
00:02:25,890 --> 00:02:27,900
Por exemplo, pessoal, este vetorzinho V, vou chamá-lo de V1.

42
00:02:29,819 --> 00:02:32,730
Quando eu pego a transformação desse vetor,

43
00:02:32,730 --> 00:02:35,579
transformação aplicada no meu vetorzinho V1,

44
00:02:35,579 --> 00:02:38,909
o que vai acontecer com ele?

45
00:02:38,909 --> 00:02:40,859
Se eu o refleti sendo que ele já está na reta,

46
00:02:40,859 --> 00:02:42,629
ele vai continuar igual.

47
00:02:42,629 --> 00:02:45,209
Então a transformação aplicada em V1

48
00:02:45,209 --> 00:02:48,239
é ser justamente o meu vetor V1.

49
00:02:48,239 --> 00:02:50,430
Ou dá para falar o seguinte:

50
00:02:50,430 --> 00:02:53,220
se eu aplicar transformação em V1,

51
00:02:53,220 --> 00:02:57,359
o que eu vou obter é simplesmente uma vez o meu V1.

52
00:02:57,359 --> 00:03:01,260
Se eu tentar colocar nesses parâmetros aqui,

53
00:03:03,090 --> 00:03:05,459
o que eu acabei de mostrar para você,

54
00:03:05,459 --> 00:03:08,459
a transformação no caso é a reflexão.

55
00:03:08,459 --> 00:03:11,190
E lambda (∞) aqui, o ∞ é igual a 1.

56
00:03:11,190 --> 00:03:13,769
Significa que o que aconteceu

57
00:03:13,769 --> 00:03:15,599
depois da transformação aqui,

58
00:03:15,599 --> 00:03:18,019
meu vetorzinho foi multiplicado por 1.

59
00:03:18,019 --> 00:03:19,019
Vamos pegar aqui um outro vetorzinho de exemplo.

60
00:03:21,060 --> 00:03:25,849
Digamos que eu pegue aqui o vetorzinho aqui, esse vetor V2,

61
00:03:25,849 --> 00:03:31,169
e esse meu V2 é o vetorzinho 2 menos 1.

62
00:03:34,699 --> 00:03:37,169
Quando eu aplico a transformação nesse meu V2,

63
00:03:37,169 --> 00:03:39,660
o que vai acontecer?

64
00:03:39,660 --> 00:03:42,139
Ele só vai mudar a direção. Por quê?

65
00:03:42,139 --> 00:03:46,290
Porque ele é ortogonal a essa minha reta R.

66
00:03:46,290 --> 00:03:52,410
Aqui está t(2), ou seja, se eu pegar e aplicar uma transformação em V2,

67
00:03:52,410 --> 00:03:55,590
o que vai acontecer?

68
00:03:55,590 --> 00:03:57,659
O que vai vir de restante para mim vai ser -V2.

69
00:04:01,290 --> 00:04:03,659
Também posso dizer aqui que a transformação

70
00:04:03,659 --> 00:04:07,590
aplicada em v2 vai ser simplesmente - 1 vezes o vetorzinho V2.

71
00:04:10,769 --> 00:04:13,019
O interessante desses vetorzinhos aqui é

72
00:04:13,019 --> 00:04:15,780
que se eu estiver trabalhando com essa transformação e

73
00:04:15,780 --> 00:04:18,570
usá-los como base do meu sistema de coordenadas,

74
00:04:21,030 --> 00:04:23,430
vai ficar muito, muito fácil a gente achar a matriz que vai representar a minha transformação.

75
00:04:24,599 --> 00:04:26,159
O que também vai facilitar as continhas

76
00:04:27,420 --> 00:04:28,740
que a gente vai operar daí para a frente.

77
00:04:28,740 --> 00:04:30,690
A gente vai se aprofundar

78
00:04:30,690 --> 00:04:33,510
nisso um pouco mais pra frente.

79
00:04:33,510 --> 00:04:36,000
Mas espero que você tenha percebido o tanto

80
00:04:36,000 --> 00:04:38,730
que esses vetores são especiais.

81
00:04:38,730 --> 00:04:40,620
Ou, então, pessoal a gente pode pegar o caso que eu tenho aqui,

82
00:04:43,800 --> 00:04:46,590
um planozinho qualquer.

83
00:04:46,590 --> 00:04:48,570
Digamos que esse plano é gerado por esses dois

84
00:04:48,570 --> 00:04:51,690
vetorzinhos em vermelho e aqui eu tenho um vetorzino verde

85
00:04:53,790 --> 00:04:56,670
que sai desse plano e que vem aqui para cima.

86
00:04:56,670 --> 00:04:58,350
Agora eu pego como exemplo a

87
00:04:58,350 --> 00:05:01,590
transformação que usa esse plano como um espelho,

88
00:05:01,590 --> 00:05:04,410
todo mundo é refletido ao redor desse plano.

89
00:05:04,410 --> 00:05:05,970
E quando eu faço a transformação dos vetores vermelhos,

90
00:05:07,950 --> 00:05:10,290
eles não mudam nada e fazendo a transformação

91
00:05:10,290 --> 00:05:11,970
nesse vetorzinho verde, ele simplesmente vira de cabeça para baixo.

92
00:05:13,920 --> 00:05:16,440
E você vai pensar:" Bom, parece que esses

93
00:05:16,440 --> 00:05:19,410
três vetores são uma boa base para essa transformação."

94
00:05:22,020 --> 00:05:24,000
De fato, eles são. Então, basicamente o que a gente está interessado?

95
00:05:24,000 --> 00:05:25,200
O que a gente está procurando?

96
00:05:25,200 --> 00:05:27,480
São vetores que quando a gente aplica transformação,

97
00:05:27,480 --> 00:05:29,250
a única coisa que acontece é

98
00:05:29,250 --> 00:05:31,440
eles serem multiplicadas por um número.

99
00:05:31,440 --> 00:05:32,850
Espero que você tenha percebido que não

100
00:05:32,850 --> 00:05:35,070
são com todos os vetores que esse tipo de comportamento acontece.

101
00:05:37,050 --> 00:05:39,930
Por exemplo, olha esse vetorzinho "x" que a gente desenhou.

102
00:05:39,930 --> 00:05:41,460
Quando a gente aplicou a transformação nele,

103
00:05:43,620 --> 00:05:45,810
digamos que a reta que ele gera muda completamente.

104
00:05:45,810 --> 00:05:49,350
Diferente desse aqui.

105
00:05:49,350 --> 00:05:51,690
quando eu apliquei a transformação,

106
00:05:51,690 --> 00:05:54,540
a reta que eu gerei foi a mesma.

107
00:05:54,540 --> 00:05:55,860
Então basicamente o que a gente está procurando?

108
00:05:55,860 --> 00:05:58,320
Os vetores que quando a gente aplica a transformação,

109
00:06:00,930 --> 00:06:05,520
o resultado é só uma versão multiplicada por um escalar.

110
00:06:05,520 --> 00:06:07,350
E que digamos que a transformação do meu "x", esse aqui é o vetor "x".

111
00:06:08,910 --> 00:06:11,550
Ou seja, a reta que o setor gera tem que

112
00:06:11,550 --> 00:06:13,740
ser a mesma reta que a imagem desse vetor vai gerar.

113
00:06:17,220 --> 00:06:18,930
E quando esse tipo de coisa acontece, pessoal,

114
00:06:18,930 --> 00:06:21,270
esses vetorzinhos até tem um nome.

115
00:06:21,270 --> 00:06:23,850
Espero que eu esteja enfatizando o suficiente

116
00:06:23,850 --> 00:06:25,770
a importância desses caras

117
00:06:25,770 --> 00:06:27,540
porque eles são de fato muito úteis.

118
00:06:27,540 --> 00:06:29,700
Não é só uma perfumaria matemática que a

119
00:06:29,700 --> 00:06:30,870
gente está fazendo aqui.

120
00:06:30,870 --> 00:06:32,810
Eles são úteis porque eles facilitam encontrar

121
00:06:32,810 --> 00:06:35,700
as matrizes que representam as transformações.

122
00:06:36,870 --> 00:06:38,910
Eles são um conjunto de bases mais

123
00:06:38,910 --> 00:06:41,249
natural para um sistema de coordenadas.

124
00:06:41,249 --> 00:06:43,579
E, na grande maioria das vezes, as matrizes usando

125
00:06:44,999 --> 00:06:46,589
esses carrinhos como sistema de coordenadas são muito mais

126
00:06:48,689 --> 00:06:50,789
fáceis de operar, de calcular.

127
00:06:50,789 --> 00:06:53,429
Então vamos ao nome especial que esses vetores têm.

128
00:06:53,429 --> 00:06:56,039
Qualquer vetorzinho que satisfaça essa propriedade aqui é

129
00:06:58,499 --> 00:07:04,309
chamado de auto vetor da transformação T.

130
00:07:10,109 --> 00:07:12,179
Já esse lambda aqui, o número pelo qual o setor foi multiplicado,

131
00:07:13,409 --> 00:07:24,299
ele é chamado de auto valor associado.

132
00:07:24,299 --> 00:07:26,279
Associado a quem?

133
00:07:26,279 --> 00:07:30,499
Associado ao auto vetor.

134
00:07:30,499 --> 00:07:32,819
Então, pessoal, voltando aqui,

135
00:07:32,819 --> 00:07:35,399
essa transformação aqui que é a reflexão.

136
00:07:35,399 --> 00:07:41,759
Nesse nosso caso, o vetor 1,2 é auto vetor,

137
00:07:41,759 --> 00:07:43,709
é um auto vetor da nossa transformação.

138
00:07:43,709 --> 00:07:47,189
E o 1 é o auto valor associado.

139
00:07:53,579 --> 00:07:57,689
Do mesmo modo, esse vetorzinho (2 -1)

140
00:07:57,689 --> 00:08:04,139
também é um auto vetor.

141
00:08:04,139 --> 00:08:07,979
E no caso desse V2, do -1 é o auto valor associado.

142
00:08:11,119 --> 00:08:14,849
Essa transformação representada como um produto

143
00:08:17,519 --> 00:08:20,249
de uma matriz por um vetor.

144
00:08:20,249 --> 00:08:22,499
Afinal, é uma transformação delinear, pode ser representada assim.

145
00:08:25,499 --> 00:08:28,079
Qualquer V que satisfaça a condição de que a

146
00:08:28,079 --> 00:08:30,779
transformação aplicado em V resulta em ∞V,

147
00:08:30,779 --> 00:08:33,300
que obviamente também pode ser representado por A vezes V.

148
00:08:37,259 --> 00:08:39,719
Esses setores também são chamados de

149
00:08:39,719 --> 00:08:43,319
auto vetores da matriz A.

150
00:08:43,319 --> 00:08:44,990
Afinal, A é a matriz que representa a transformação.

151
00:08:44,990 --> 00:08:51,709
Novamente, esse aqui é o auto vetor de A,

152
00:08:54,660 --> 00:09:03,629
e o ∞ é o auto valor associado ao auto vetor.

153
00:09:03,629 --> 00:09:05,790
Ou seja, se você me der uma matriz que representa uma transformação linear,

154
00:09:07,829 --> 00:09:10,319
eu posso descobrir quem são os autos valores e os autos verores associados.

155
00:09:13,170 --> 00:09:15,990
Inclusive, nos próximos vídeo, a gente vai calcular esses carinhas.

156
00:09:18,420 --> 00:09:21,089
Mas o quero que você perceba, quero que você dê

157
00:09:21,089 --> 00:09:22,980
importância no vídeo de agora, no vídeo de hoje,

158
00:09:22,980 --> 00:09:25,350
é nas propriedades desses tais autos vetores.

159
00:09:25,350 --> 00:09:27,420
Simplesmente, eles não são muito alterados pela transformação,

160
00:09:29,279 --> 00:09:31,769
o máximo que vai acontecer é ele ser multiplicado por 1 escalar.

161
00:09:31,769 --> 00:09:34,470
Ou seja, vai ficar ou maior ou um pouco menor,

162
00:09:34,470 --> 00:09:38,220
mas a linha, a reta que esse cara gera não vai mudar

163
00:09:41,459 --> 00:09:43,769
quando eu aplico a transformação nele.

164
00:09:43,769 --> 00:09:45,930
Por isso, uma das grande utilidade é que eles

165
00:09:45,930 --> 00:09:48,509
formam uma ótima base para nosso sistema.

166
00:09:48,509 --> 00:09:50,639
O que vai fazer com que a nossa matriz de transformação seja mais fácil

167
00:09:52,620 --> 00:09:57,089
de encontrar, inclusive mais fácil de operar.

168
00:09:57,089 --> 00:10:00,899
Espero que vocês tenham gostado

169
00:10:00,899 --> 00:10:04,250
e até o próximo vídeo. Tchau, tchau.