WEBVTT 00:00:00.170 --> 00:00:03.319 RKA1- Olá, pessoal, prontos para mais um vídeo? 00:00:03.319 --> 00:00:08.670 Para toda transformação que associa o Rⁿ 00:00:08.670 --> 00:00:11.969 no próprio Rⁿ . 00:00:11.969 --> 00:00:15.000 A gente tem feito de forma implícita. 00:00:15.000 --> 00:00:16.500 Mas tem sido bem importante para a gente encontrar 00:00:16.500 --> 00:00:19.590 vetores que quando eu aplicava transformação, 00:00:19.590 --> 00:00:21.960 o resultado era apenas um múltiplo desse vetor que foi aplicado. 00:00:24.269 --> 00:00:27.210 Ou seja, vetores que quando eu aplico a a transformação, 00:00:27.210 --> 00:00:29.779 o resultado é simplesmente um múltiplo desse meu vetor. 00:00:33.000 --> 00:00:36.180 Se para você está meio obscuro, 00:00:36.180 --> 00:00:37.950 você não lembra de a gente ter falado nada disso, 00:00:37.950 --> 00:00:39.899 vou tentar refrescar sua memória um pouco. 00:00:39.899 --> 00:00:41.550 Para isso, vou começar a desenhar 00:00:41.550 --> 00:00:43.770 aqui o nosso R2. 00:00:43.770 --> 00:00:46.800 Eu vou fazer aqui alguma 00:00:46.800 --> 00:00:50.579 transformação do R2 no R2 para nos ajudar. 00:00:50.579 --> 00:00:54.510 E agora para ajudar, vou fazer um vetorzinho, 00:00:55.500 --> 00:00:58.680 aqui está o nosso vetorzinho V. 00:00:58.680 --> 00:01:00.930 Digamos que esse vetorzinho V aqui é o vetor [1, 2]. 00:01:04.909 --> 00:01:09.000 Além disso, nós temos a reta que esse vetorzinho gera, 00:01:09.000 --> 00:01:12.900 vamos chamar essa retinha aqui de reta R. 00:01:12.900 --> 00:01:16.799 A agora vamos criar aqui 00:01:16.799 --> 00:01:19.470 uma transformação linear que 00:01:19.470 --> 00:01:22.409 reflete vetores em torno dessa minha reta R. 00:01:22.409 --> 00:01:25.799 Então T, esse é uma transformação do R2 no R2 00:01:25.799 --> 00:01:35.070 que reflete vetores ao redor de R. 00:01:42.689 --> 00:01:44.790 Bom, já que a gente está aqui numa missão de refrescar a memória, 00:01:46.350 --> 00:01:49.110 o que seria uma reflexão ao redor da reta R? 00:01:49.110 --> 00:01:51.360 Digamos que eu tenho um vetorzinho "x" aqui, 00:01:51.360 --> 00:01:54.329 refletindo ao redor dessa reta, ela vai servir 00:01:54.329 --> 00:01:56.040 como se fosse um espelho. 00:01:56.040 --> 00:01:58.409 A imagem vai ficar aqui mais ou menos um reflexo desse meu vetor "x", 00:02:01.799 --> 00:02:04.680 aqui está o nosso t(x). 00:02:04.680 --> 00:02:06.119 Não sei se você se lembra quando a gente pegou 00:02:06.119 --> 00:02:08.160 essa transformaçãozinha aqui como exemplo, 00:02:08.160 --> 00:02:10.920 uma das coisas que a gente fez 00:02:10.920 --> 00:02:14.010 foi escolher uma base nessa transformação. 00:02:16.140 --> 00:02:17.970 Que não era muito alterada por ela. 00:02:17.970 --> 00:02:20.220 Quando a gente aplicava transformaçãozinha na base, 00:02:21.480 --> 00:02:23.790 o máximo que ela fazia era multiplicar os vetores da base por um escalar. 00:02:25.890 --> 00:02:27.900 Por exemplo, pessoal, este vetorzinho V, vou chamá-lo de V1. 00:02:29.819 --> 00:02:32.730 Quando eu pego a transformação desse vetor, 00:02:32.730 --> 00:02:35.579 transformação aplicada no meu vetorzinho V1, 00:02:35.579 --> 00:02:38.909 o que vai acontecer com ele? 00:02:38.909 --> 00:02:40.859 Se eu o refleti sendo que ele já está na reta, 00:02:40.859 --> 00:02:42.629 ele vai continuar igual. 00:02:42.629 --> 00:02:45.209 Então a transformação aplicada em V1 00:02:45.209 --> 00:02:48.239 é ser justamente o meu vetor V1. 00:02:48.239 --> 00:02:50.430 Ou dá para falar o seguinte: 00:02:50.430 --> 00:02:53.220 se eu aplicar transformação em V1, 00:02:53.220 --> 00:02:57.359 o que eu vou obter é simplesmente uma vez o meu V1. 00:02:57.359 --> 00:03:01.260 Se eu tentar colocar nesses parâmetros aqui, 00:03:03.090 --> 00:03:05.459 o que eu acabei de mostrar para você, 00:03:05.459 --> 00:03:08.459 a transformação no caso é a reflexão. 00:03:08.459 --> 00:03:11.190 E lambda (∞) aqui, o ∞ é igual a 1. 00:03:11.190 --> 00:03:13.769 Significa que o que aconteceu 00:03:13.769 --> 00:03:15.599 depois da transformação aqui, 00:03:15.599 --> 00:03:18.019 meu vetorzinho foi multiplicado por 1. 00:03:18.019 --> 00:03:19.019 Vamos pegar aqui um outro vetorzinho de exemplo. 00:03:21.060 --> 00:03:25.849 Digamos que eu pegue aqui o vetorzinho aqui, esse vetor V2, 00:03:25.849 --> 00:03:31.169 e esse meu V2 é o vetorzinho 2 menos 1. 00:03:34.699 --> 00:03:37.169 Quando eu aplico a transformação nesse meu V2, 00:03:37.169 --> 00:03:39.660 o que vai acontecer? 00:03:39.660 --> 00:03:42.139 Ele só vai mudar a direção. Por quê? 00:03:42.139 --> 00:03:46.290 Porque ele é ortogonal a essa minha reta R. 00:03:46.290 --> 00:03:52.410 Aqui está t(2), ou seja, se eu pegar e aplicar uma transformação em V2, 00:03:52.410 --> 00:03:55.590 o que vai acontecer? 00:03:55.590 --> 00:03:57.659 O que vai vir de restante para mim vai ser -V2. 00:04:01.290 --> 00:04:03.659 Também posso dizer aqui que a transformação 00:04:03.659 --> 00:04:07.590 aplicada em v2 vai ser simplesmente - 1 vezes o vetorzinho V2. 00:04:10.769 --> 00:04:13.019 O interessante desses vetorzinhos aqui é 00:04:13.019 --> 00:04:15.780 que se eu estiver trabalhando com essa transformação e 00:04:15.780 --> 00:04:18.570 usá-los como base do meu sistema de coordenadas, 00:04:21.030 --> 00:04:23.430 vai ficar muito, muito fácil a gente achar a matriz que vai representar a minha transformação. 00:04:24.599 --> 00:04:26.159 O que também vai facilitar as continhas 00:04:27.420 --> 00:04:28.740 que a gente vai operar daí para a frente. 00:04:28.740 --> 00:04:30.690 A gente vai se aprofundar 00:04:30.690 --> 00:04:33.510 nisso um pouco mais pra frente. 00:04:33.510 --> 00:04:36.000 Mas espero que você tenha percebido o tanto 00:04:36.000 --> 00:04:38.730 que esses vetores são especiais. 00:04:38.730 --> 00:04:40.620 Ou, então, pessoal a gente pode pegar o caso que eu tenho aqui, 00:04:43.800 --> 00:04:46.590 um planozinho qualquer. 00:04:46.590 --> 00:04:48.570 Digamos que esse plano é gerado por esses dois 00:04:48.570 --> 00:04:51.690 vetorzinhos em vermelho e aqui eu tenho um vetorzino verde 00:04:53.790 --> 00:04:56.670 que sai desse plano e que vem aqui para cima. 00:04:56.670 --> 00:04:58.350 Agora eu pego como exemplo a 00:04:58.350 --> 00:05:01.590 transformação que usa esse plano como um espelho, 00:05:01.590 --> 00:05:04.410 todo mundo é refletido ao redor desse plano. 00:05:04.410 --> 00:05:05.970 E quando eu faço a transformação dos vetores vermelhos, 00:05:07.950 --> 00:05:10.290 eles não mudam nada e fazendo a transformação 00:05:10.290 --> 00:05:11.970 nesse vetorzinho verde, ele simplesmente vira de cabeça para baixo. 00:05:13.920 --> 00:05:16.440 E você vai pensar:" Bom, parece que esses 00:05:16.440 --> 00:05:19.410 três vetores são uma boa base para essa transformação." 00:05:22.020 --> 00:05:24.000 De fato, eles são. Então, basicamente o que a gente está interessado? 00:05:24.000 --> 00:05:25.200 O que a gente está procurando? 00:05:25.200 --> 00:05:27.480 São vetores que quando a gente aplica transformação, 00:05:27.480 --> 00:05:29.250 a única coisa que acontece é 00:05:29.250 --> 00:05:31.440 eles serem multiplicadas por um número. 00:05:31.440 --> 00:05:32.850 Espero que você tenha percebido que não 00:05:32.850 --> 00:05:35.070 são com todos os vetores que esse tipo de comportamento acontece. 00:05:37.050 --> 00:05:39.930 Por exemplo, olha esse vetorzinho "x" que a gente desenhou. 00:05:39.930 --> 00:05:41.460 Quando a gente aplicou a transformação nele, 00:05:43.620 --> 00:05:45.810 digamos que a reta que ele gera muda completamente. 00:05:45.810 --> 00:05:49.350 Diferente desse aqui. 00:05:49.350 --> 00:05:51.690 quando eu apliquei a transformação, 00:05:51.690 --> 00:05:54.540 a reta que eu gerei foi a mesma. 00:05:54.540 --> 00:05:55.860 Então basicamente o que a gente está procurando? 00:05:55.860 --> 00:05:58.320 Os vetores que quando a gente aplica a transformação, 00:06:00.930 --> 00:06:05.520 o resultado é só uma versão multiplicada por um escalar. 00:06:05.520 --> 00:06:07.350 E que digamos que a transformação do meu "x", esse aqui é o vetor "x". 00:06:08.910 --> 00:06:11.550 Ou seja, a reta que o setor gera tem que 00:06:11.550 --> 00:06:13.740 ser a mesma reta que a imagem desse vetor vai gerar. 00:06:17.220 --> 00:06:18.930 E quando esse tipo de coisa acontece, pessoal, 00:06:18.930 --> 00:06:21.270 esses vetorzinhos até tem um nome. 00:06:21.270 --> 00:06:23.850 Espero que eu esteja enfatizando o suficiente 00:06:23.850 --> 00:06:25.770 a importância desses caras 00:06:25.770 --> 00:06:27.540 porque eles são de fato muito úteis. 00:06:27.540 --> 00:06:29.700 Não é só uma perfumaria matemática que a 00:06:29.700 --> 00:06:30.870 gente está fazendo aqui. 00:06:30.870 --> 00:06:32.810 Eles são úteis porque eles facilitam encontrar 00:06:32.810 --> 00:06:35.700 as matrizes que representam as transformações. 00:06:36.870 --> 00:06:38.910 Eles são um conjunto de bases mais 00:06:38.910 --> 00:06:41.249 natural para um sistema de coordenadas. 00:06:41.249 --> 00:06:43.579 E, na grande maioria das vezes, as matrizes usando 00:06:44.999 --> 00:06:46.589 esses carrinhos como sistema de coordenadas são muito mais 00:06:48.689 --> 00:06:50.789 fáceis de operar, de calcular. 00:06:50.789 --> 00:06:53.429 Então vamos ao nome especial que esses vetores têm. 00:06:53.429 --> 00:06:56.039 Qualquer vetorzinho que satisfaça essa propriedade aqui é 00:06:58.499 --> 00:07:04.309 chamado de auto vetor da transformação T. 00:07:10.109 --> 00:07:12.179 Já esse lambda aqui, o número pelo qual o setor foi multiplicado, 00:07:13.409 --> 00:07:24.299 ele é chamado de auto valor associado. 00:07:24.299 --> 00:07:26.279 Associado a quem? 00:07:26.279 --> 00:07:30.499 Associado ao auto vetor. 00:07:30.499 --> 00:07:32.819 Então, pessoal, voltando aqui, 00:07:32.819 --> 00:07:35.399 essa transformação aqui que é a reflexão. 00:07:35.399 --> 00:07:41.759 Nesse nosso caso, o vetor 1,2 é auto vetor, 00:07:41.759 --> 00:07:43.709 é um auto vetor da nossa transformação. 00:07:43.709 --> 00:07:47.189 E o 1 é o auto valor associado. 00:07:53.579 --> 00:07:57.689 Do mesmo modo, esse vetorzinho (2 -1) 00:07:57.689 --> 00:08:04.139 também é um auto vetor. 00:08:04.139 --> 00:08:07.979 E no caso desse V2, do -1 é o auto valor associado. 00:08:11.119 --> 00:08:14.849 Essa transformação representada como um produto 00:08:17.519 --> 00:08:20.249 de uma matriz por um vetor. 00:08:20.249 --> 00:08:22.499 Afinal, é uma transformação delinear, pode ser representada assim. 00:08:25.499 --> 00:08:28.079 Qualquer V que satisfaça a condição de que a 00:08:28.079 --> 00:08:30.779 transformação aplicado em V resulta em ∞V, 00:08:30.779 --> 00:08:33.300 que obviamente também pode ser representado por A vezes V. 00:08:37.259 --> 00:08:39.719 Esses setores também são chamados de 00:08:39.719 --> 00:08:43.319 auto vetores da matriz A. 00:08:43.319 --> 00:08:44.990 Afinal, A é a matriz que representa a transformação. 00:08:44.990 --> 00:08:51.709 Novamente, esse aqui é o auto vetor de A, 00:08:54.660 --> 00:09:03.629 e o ∞ é o auto valor associado ao auto vetor. 00:09:03.629 --> 00:09:05.790 Ou seja, se você me der uma matriz que representa uma transformação linear, 00:09:07.829 --> 00:09:10.319 eu posso descobrir quem são os autos valores e os autos verores associados. 00:09:13.170 --> 00:09:15.990 Inclusive, nos próximos vídeo, a gente vai calcular esses carinhas. 00:09:18.420 --> 00:09:21.089 Mas o quero que você perceba, quero que você dê 00:09:21.089 --> 00:09:22.980 importância no vídeo de agora, no vídeo de hoje, 00:09:22.980 --> 00:09:25.350 é nas propriedades desses tais autos vetores. 00:09:25.350 --> 00:09:27.420 Simplesmente, eles não são muito alterados pela transformação, 00:09:29.279 --> 00:09:31.769 o máximo que vai acontecer é ele ser multiplicado por 1 escalar. 00:09:31.769 --> 00:09:34.470 Ou seja, vai ficar ou maior ou um pouco menor, 00:09:34.470 --> 00:09:38.220 mas a linha, a reta que esse cara gera não vai mudar 00:09:41.459 --> 00:09:43.769 quando eu aplico a transformação nele. 00:09:43.769 --> 00:09:45.930 Por isso, uma das grande utilidade é que eles 00:09:45.930 --> 00:09:48.509 formam uma ótima base para nosso sistema. 00:09:48.509 --> 00:09:50.639 O que vai fazer com que a nossa matriz de transformação seja mais fácil 00:09:52.620 --> 00:09:57.089 de encontrar, inclusive mais fácil de operar. 00:09:57.089 --> 00:10:00.899 Espero que vocês tenham gostado 00:10:00.899 --> 00:10:04.250 e até o próximo vídeo. Tchau, tchau.