0:00:00.610,0:00:03.519
RKA1JV - Olá, pessoal, prontos [br]para mais um vídeo?

0:00:03.919,0:00:09.050
Para toda transformação que associa o Rⁿ

0:00:09.050,0:00:11.689
no próprio Rⁿ,

0:00:12.089,0:00:14.680
a gente tem feito de forma implícita.

0:00:14.680,0:00:16.637
Mas tem sido bem importante para a gente

0:00:16.637,0:00:20.340
encontrar vetores que quando [br]eu aplicava transformação,

0:00:20.340,0:00:24.085
o resultado era apenas um múltiplo [br]desse vetor que foi aplicado.

0:00:24.085,0:00:28.350
Ou seja, vetores que, quando [br]eu aplico a a transformação,

0:00:28.350,0:00:33.000
o resultado é simplesmente [br]um múltiplo desse meu vetor.

0:00:33.420,0:00:35.520
Se para você está meio obscuro,

0:00:35.520,0:00:38.110
você não lembra de a gente [br]ter falado nada disso,

0:00:38.110,0:00:40.239
vou tentar refrescar sua memória um pouco.

0:00:40.239,0:00:43.650
Para isso, vou começar [br]a desenhar aqui o nosso R².

0:00:44.470,0:00:46.160
Eu vou fazer aqui

0:00:46.160,0:00:51.219
alguma transformação do R² [br]no R² para nos ajudar.

0:00:51.219,0:00:54.984
E agora, para ajudar, [br]vou fazer um vetorzinho,

0:00:55.500,0:00:58.680
aqui está o nosso vetorzinho "v".

0:00:58.680,0:01:03.670
Digamos que esse vetorzinho "v" aqui [br]é o vetor [1, 2].

0:01:05.449,0:01:10.640
Além disso, nós temos a reta [br]que esse vetorzinho gera,

0:01:10.640,0:01:15.671
vamos chamar essa retinha aqui de reta "r".

0:01:15.671,0:01:19.270
A agora vamos criar aqui,[br]uma transformação linear

0:01:19.270,0:01:23.168
que reflete vetores em torno [br]dessa minha reta "r".

0:01:23.168,0:01:28.599
Então "T" vai ser uma [br]transformação do R² no R²

0:01:29.859,0:01:42.530
que reflete vetores ao redor de "r".

0:01:43.249,0:01:45.910
Bom, já que a gente está aqui numa [br]missão de refrescar a memória,

0:01:45.910,0:01:48.650
o que seria uma reflexão [br]ao redor da reta "r"?

0:01:48.650,0:01:51.794
Digamos que eu tenha [br]um vetorzinho "x" aqui,

0:01:51.794,0:01:53.849
refletindo ao redor dessa reta,

0:01:53.849,0:01:55.811
ela vai servir como se fosse um espelho.

0:01:55.811,0:02:00.940
A imagem vai ficar aqui mais ou menos, [br]um reflexo desse meu vetor "x",

0:02:00.940,0:02:04.106
aqui está o nosso T(x).

0:02:04.380,0:02:06.727
Não sei se você se lembra [br]de quando a gente pegou

0:02:06.727,0:02:09.360
essa transformaçãozinha aqui como exemplo,

0:02:09.360,0:02:11.260
uma das coisas que a gente fez

0:02:11.260,0:02:15.160
foi escolher uma base [br]para essa transformação.

0:02:15.160,0:02:17.810
Que não era muito alterada por ela.

0:02:17.810,0:02:21.340
Quando a gente aplicava [br]a transformaçãozinha na base,

0:02:21.340,0:02:25.708
o máximo que ela fazia era multiplicar [br]os vetores da base por um escalar.

0:02:25.708,0:02:29.600
Por exemplo, pessoal, este vetorzinho, [br]vou chamá-lo de v₁.

0:02:29.959,0:02:33.450
Quando eu pego a transformação [br]desse vetor,

0:02:33.450,0:02:37.652
transformação aplicada [br]no meu vetorzinho v₁,

0:02:37.652,0:02:39.056
o que vai acontecer com ele?

0:02:39.056,0:02:41.799
Se eu o refleti sendo, [br]que ele já está na reta,

0:02:41.799,0:02:43.029
ele vai continuar igual.

0:02:43.029,0:02:45.749
Então, a transformação aplicada em v₁

0:02:45.749,0:02:48.038
é ser justamente o meu vetor v₁.

0:02:48.038,0:02:49.751
Ou dá para falar o seguinte:

0:02:49.751,0:02:52.920
se eu aplicar transformação em v₁,

0:02:52.920,0:02:58.819
o que eu vou obter é simplesmente [br]uma vez o meu v₁.

0:02:59.599,0:03:03.090
Se eu tentar colocar nesses [br]parâmetros aqui,

0:03:03.090,0:03:05.279
o que eu acabei de mostrar para você,

0:03:05.279,0:03:07.859
a transformação no caso é a reflexão.

0:03:07.859,0:03:11.510
E lambda (λ) aqui, [br]o λ é igual a 1.

0:03:11.510,0:03:14.811
Significa que o que aconteceu [br]depois da transformação,

0:03:14.811,0:03:17.779
é que o meu vetorzinho [br]foi multiplicado por 1.

0:03:17.779,0:03:20.460
Vamos pegar aqui um outro [br]vetorzinho de exemplo.

0:03:20.460,0:03:24.924
Digamos que eu pegue aqui, [br]o vetorzinho aqui,

0:03:24.924,0:03:27.469
esse vetor v₂,

0:03:27.469,0:03:32.189
e esse meu v₂ é o vetorzinho 2 menos 1.

0:03:35.179,0:03:38.346
Quando eu aplico a transformação [br]nesse meu v₂,

0:03:38.346,0:03:39.440
o que vai acontecer?

0:03:39.440,0:03:41.379
Ele só vai mudar a direção. [br]Por quê?

0:03:41.379,0:03:45.810
Porque ele é ortogonal [br]a essa minha reta "r".

0:03:45.810,0:03:49.290
Aqui está T(2),

0:03:49.290,0:03:54.910
ou seja, se eu pegar e aplicar [br]uma transformação em v₂,

0:03:54.910,0:03:56.410
o que vai acontecer?

0:03:56.410,0:04:00.479
O que vai vir de resultante para mim [br]vai ser -v₂.

0:04:00.879,0:04:05.479
Também posso dizer aqui que [br]a transformação aplicada em v₂

0:04:05.479,0:04:10.769
vai ser simplesmente [br]-1 vezes o vetorzinho v₂.

0:04:10.769,0:04:13.879
O interessante desses vetorzinhos aqui,

0:04:13.879,0:04:17.040
é que, se eu estiver trabalhando [br]com essa transformação

0:04:17.040,0:04:20.550
e usá-los como base do meu [br]sistema de coordenadas,

0:04:20.550,0:04:23.396
vai ficar muito, muito fácil [br]a gente achar a matriz

0:04:23.396,0:04:25.419
que vai representar a minha transformação.

0:04:25.419,0:04:27.420
O que também vai facilitar as continhas

0:04:27.420,0:04:29.380
que a gente vai operar daí para a frente.

0:04:29.380,0:04:31.363
A gente vai se aprofundar nisso

0:04:31.363,0:04:33.510
um pouco mais para frente.

0:04:33.510,0:04:36.000
Mas espero que você tenha percebido o tanto

0:04:36.000,0:04:38.730
que esses vetores são especiais.

0:04:38.730,0:04:40.620
Ou, então, pessoal a gente pode pegar o caso que eu tenho aqui,

0:04:43.800,0:04:46.590
um planozinho qualquer.

0:04:46.590,0:04:48.570
Digamos que esse plano é gerado por esses dois

0:04:48.570,0:04:51.690
vetorzinhos em vermelho e aqui eu tenho um vetorzino verde

0:04:53.790,0:04:56.670
que sai desse plano e que vem aqui para cima.

0:04:56.670,0:04:58.350
Agora eu pego como exemplo a

0:04:58.350,0:05:01.590
transformação que usa esse plano como um espelho,

0:05:01.590,0:05:04.410
todo mundo é refletido ao redor desse plano.

0:05:04.410,0:05:05.970
E quando eu faço a transformação dos vetores vermelhos,

0:05:07.950,0:05:10.290
eles não mudam nada e fazendo a transformação

0:05:10.290,0:05:11.970
nesse vetorzinho verde, ele simplesmente vira de cabeça para baixo.

0:05:13.920,0:05:16.440
E você vai pensar:" Bom, parece que esses

0:05:16.440,0:05:19.410
três vetores são uma boa base para essa transformação."

0:05:22.020,0:05:24.000
De fato, eles são. Então, basicamente o que a gente está interessado?

0:05:24.000,0:05:25.200
O que a gente está procurando?

0:05:25.200,0:05:27.480
São vetores que quando a gente aplica transformação,

0:05:27.480,0:05:29.250
a única coisa que acontece é

0:05:29.250,0:05:31.440
eles serem multiplicadas por um número.

0:05:31.440,0:05:32.850
Espero que você tenha percebido que não

0:05:32.850,0:05:35.070
são com todos os vetores que esse tipo de comportamento acontece.

0:05:37.050,0:05:39.930
Por exemplo, olha esse vetorzinho "x" que a gente desenhou.

0:05:39.930,0:05:41.460
Quando a gente aplicou a transformação nele,

0:05:43.620,0:05:45.810
digamos que a reta que ele gera muda completamente.

0:05:45.810,0:05:49.350
Diferente desse aqui.

0:05:49.350,0:05:51.690
quando eu apliquei a transformação,

0:05:51.690,0:05:54.540
a reta que eu gerei foi a mesma.

0:05:54.540,0:05:55.860
Então basicamente o que a gente está procurando?

0:05:55.860,0:05:58.320
Os vetores que quando a gente aplica a transformação,

0:06:00.930,0:06:05.520
o resultado é só uma versão multiplicada por um escalar.

0:06:05.520,0:06:07.350
E que digamos que a transformação do meu "x", esse aqui é o vetor "x".

0:06:08.910,0:06:11.550
Ou seja, a reta que o setor gera tem que

0:06:11.550,0:06:13.740
ser a mesma reta que a imagem desse vetor vai gerar.

0:06:17.220,0:06:18.930
E quando esse tipo de coisa acontece, pessoal,

0:06:18.930,0:06:21.270
esses vetorzinhos até tem um nome.

0:06:21.270,0:06:23.850
Espero que eu esteja enfatizando o suficiente

0:06:23.850,0:06:25.770
a importância desses caras

0:06:25.770,0:06:27.540
porque eles são de fato muito úteis.

0:06:27.540,0:06:29.700
Não é só uma perfumaria matemática que a

0:06:29.700,0:06:30.870
gente está fazendo aqui.

0:06:30.870,0:06:32.810
Eles são úteis porque eles facilitam encontrar

0:06:32.810,0:06:35.700
as matrizes que representam as transformações.

0:06:36.870,0:06:38.910
Eles são um conjunto de bases mais

0:06:38.910,0:06:41.249
natural para um sistema de coordenadas.

0:06:41.249,0:06:43.579
E, na grande maioria das vezes, as matrizes usando

0:06:44.999,0:06:46.589
esses carrinhos como sistema de coordenadas são muito mais

0:06:48.689,0:06:50.789
fáceis de operar, de calcular.

0:06:50.789,0:06:53.429
Então vamos ao nome especial que esses vetores têm.

0:06:53.429,0:06:56.039
Qualquer vetorzinho que satisfaça essa propriedade aqui é

0:06:58.499,0:07:04.309
chamado de auto vetor da transformação T.

0:07:10.109,0:07:12.179
Já esse lambda aqui, o número pelo qual o setor foi multiplicado,

0:07:13.409,0:07:24.299
ele é chamado de auto valor associado.

0:07:24.299,0:07:26.279
Associado a quem?

0:07:26.279,0:07:30.499
Associado ao auto vetor.

0:07:30.499,0:07:32.819
Então, pessoal, voltando aqui,

0:07:32.819,0:07:35.399
essa transformação aqui que é a reflexão.

0:07:35.399,0:07:41.759
Nesse nosso caso, o vetor 1,2 é auto vetor,

0:07:41.759,0:07:43.709
é um auto vetor da nossa transformação.

0:07:43.709,0:07:47.189
E o 1 é o auto valor associado.

0:07:53.579,0:07:57.689
Do mesmo modo, esse vetorzinho (2 -1)

0:07:57.689,0:08:04.139
também é um auto vetor.

0:08:04.139,0:08:07.979
E no caso desse v₂, do -1 é o auto valor associado.

0:08:11.119,0:08:14.849
Essa transformação representada como um produto

0:08:17.519,0:08:20.249
de uma matriz por um vetor.

0:08:20.249,0:08:22.499
Afinal, é uma transformação delinear, pode ser representada assim.

0:08:25.499,0:08:28.079
Qualquer V que satisfaça a condição de que a

0:08:28.079,0:08:30.779
transformação aplicado em V resulta em ∞V,

0:08:30.779,0:08:33.300
que obviamente também pode ser representado por A vezes V.

0:08:37.259,0:08:39.719
Esses setores também são chamados de

0:08:39.719,0:08:43.319
auto vetores da matriz A.

0:08:43.319,0:08:44.990
Afinal, A é a matriz que representa a transformação.

0:08:44.990,0:08:51.709
Novamente, esse aqui é o auto vetor de A,

0:08:54.660,0:09:03.629
e o ∞ é o auto valor associado ao auto vetor.

0:09:03.629,0:09:05.790
Ou seja, se você me der uma matriz que representa uma transformação linear,

0:09:07.829,0:09:10.319
eu posso descobrir quem são os autos valores e os autos verores associados.

0:09:13.170,0:09:15.990
Inclusive, nos próximos vídeo, a gente vai calcular esses carinhas.

0:09:18.420,0:09:21.089
Mas o quero que você perceba, quero que você dê

0:09:21.089,0:09:22.980
importância no vídeo de agora, no vídeo de hoje,

0:09:22.980,0:09:25.350
é nas propriedades desses tais autos vetores.

0:09:25.350,0:09:27.420
Simplesmente, eles não são muito alterados pela transformação,

0:09:29.279,0:09:31.769
o máximo que vai acontecer é ele ser multiplicado por 1 escalar.

0:09:31.769,0:09:34.470
Ou seja, vai ficar ou maior ou um pouco menor,

0:09:34.470,0:09:38.220
mas a linha, a reta que esse cara gera não vai mudar

0:09:41.459,0:09:43.769
quando eu aplico a transformação nele.

0:09:43.769,0:09:45.930
Por isso, uma das grande utilidade é que eles

0:09:45.930,0:09:48.509
formam uma ótima base para nosso sistema.

0:09:48.509,0:09:50.639
O que vai fazer com que a nossa matriz de transformação seja mais fácil

0:09:52.620,0:09:57.089
de encontrar, inclusive mais fácil de operar.

0:09:57.089,0:10:00.899
Espero que vocês tenham gostado

0:10:00.899,0:10:04.250
e até o próximo vídeo. Tchau, tchau.