WEBVTT

00:00:00.610 --> 00:00:03.519
RKA1JV - Olá, pessoal, prontos 
para mais um vídeo?

00:00:03.919 --> 00:00:09.050
Para toda transformação que associa o Rⁿ

00:00:09.050 --> 00:00:11.689
no próprio Rⁿ,

00:00:12.089 --> 00:00:14.680
a gente tem feito de forma implícita.

00:00:14.680 --> 00:00:16.637
Mas tem sido bem importante para a gente

00:00:16.637 --> 00:00:20.340
encontrar vetores que quando 
eu aplicava transformação,

00:00:20.340 --> 00:00:24.085
o resultado era apenas um múltiplo 
desse vetor que foi aplicado.

00:00:24.085 --> 00:00:28.350
Ou seja, vetores que, quando 
eu aplico a a transformação,

00:00:28.350 --> 00:00:33.000
o resultado é simplesmente 
um múltiplo desse meu vetor.

00:00:33.420 --> 00:00:35.520
Se para você está meio obscuro,

00:00:35.520 --> 00:00:38.110
você não lembra de a gente 
ter falado nada disso,

00:00:38.110 --> 00:00:40.239
vou tentar refrescar sua memória um pouco.

00:00:40.239 --> 00:00:43.650
Para isso, vou começar 
a desenhar aqui o nosso R².

00:00:44.470 --> 00:00:46.160
Eu vou fazer aqui

00:00:46.160 --> 00:00:51.219
alguma transformação do R² 
no R² para nos ajudar.

00:00:51.219 --> 00:00:54.984
E agora, para ajudar, 
vou fazer um vetorzinho,

00:00:55.500 --> 00:00:58.680
aqui está o nosso vetorzinho "v".

00:00:58.680 --> 00:01:03.670
Digamos que esse vetorzinho "v" aqui 
é o vetor [1, 2].

00:01:05.449 --> 00:01:10.640
Além disso, nós temos a reta 
que esse vetorzinho gera,

00:01:10.640 --> 00:01:15.671
vamos chamar essa retinha aqui de reta "r".

00:01:15.671 --> 00:01:19.270
A agora vamos criar aqui,
uma transformação linear

00:01:19.270 --> 00:01:23.168
que reflete vetores em torno 
dessa minha reta "r".

00:01:23.168 --> 00:01:28.599
Então "T" vai ser uma 
transformação do R² no R²

00:01:29.859 --> 00:01:42.530
que reflete vetores ao redor de "r".

00:01:43.249 --> 00:01:45.910
Bom, já que a gente está aqui numa 
missão de refrescar a memória,

00:01:45.910 --> 00:01:48.650
o que seria uma reflexão 
ao redor da reta "r"?

00:01:48.650 --> 00:01:51.794
Digamos que eu tenha 
um vetorzinho "x" aqui,

00:01:51.794 --> 00:01:53.849
refletindo ao redor dessa reta,

00:01:53.849 --> 00:01:55.811
ela vai servir como se fosse um espelho.

00:01:55.811 --> 00:02:00.940
A imagem vai ficar aqui mais ou menos, 
um reflexo desse meu vetor "x",

00:02:00.940 --> 00:02:04.106
aqui está o nosso T(x).

00:02:04.380 --> 00:02:06.727
Não sei se você se lembra 
de quando a gente pegou

00:02:06.727 --> 00:02:09.360
essa transformaçãozinha aqui como exemplo,

00:02:09.360 --> 00:02:11.260
uma das coisas que a gente fez

00:02:11.260 --> 00:02:15.160
foi escolher uma base 
para essa transformação.

00:02:15.160 --> 00:02:17.810
Que não era muito alterada por ela.

00:02:17.810 --> 00:02:21.340
Quando a gente aplicava 
a transformaçãozinha na base,

00:02:21.340 --> 00:02:25.708
o máximo que ela fazia era multiplicar 
os vetores da base por um escalar.

00:02:25.708 --> 00:02:29.600
Por exemplo, pessoal, este vetorzinho, 
vou chamá-lo de v₁.

00:02:29.959 --> 00:02:33.450
Quando eu pego a transformação 
desse vetor,

00:02:33.450 --> 00:02:37.652
transformação aplicada 
no meu vetorzinho v₁,

00:02:37.652 --> 00:02:39.056
o que vai acontecer com ele?

00:02:39.056 --> 00:02:41.799
Se eu o refleti sendo, 
que ele já está na reta,

00:02:41.799 --> 00:02:43.029
ele vai continuar igual.

00:02:43.029 --> 00:02:45.749
Então, a transformação aplicada em v₁

00:02:45.749 --> 00:02:48.038
é ser justamente o meu vetor v₁.

00:02:48.038 --> 00:02:49.751
Ou dá para falar o seguinte:

00:02:49.751 --> 00:02:52.920
se eu aplicar transformação em v₁,

00:02:52.920 --> 00:02:58.819
o que eu vou obter é simplesmente 
uma vez o meu v₁.

00:02:59.599 --> 00:03:03.090
Se eu tentar colocar nesses 
parâmetros aqui,

00:03:03.090 --> 00:03:05.279
o que eu acabei de mostrar para você,

00:03:05.279 --> 00:03:07.859
a transformação no caso é a reflexão.

00:03:07.859 --> 00:03:11.510
E lambda (λ) aqui, 
o λ é igual a 1.

00:03:11.510 --> 00:03:14.811
Significa que o que aconteceu 
depois da transformação,

00:03:14.811 --> 00:03:17.779
é que o meu vetorzinho 
foi multiplicado por 1.

00:03:17.779 --> 00:03:20.460
Vamos pegar aqui um outro 
vetorzinho de exemplo.

00:03:20.460 --> 00:03:24.924
Digamos que eu pegue aqui, 
o vetorzinho aqui,

00:03:24.924 --> 00:03:27.469
esse vetor v₂,

00:03:27.469 --> 00:03:32.189
e esse meu v₂ é o vetorzinho 2 menos 1.

00:03:35.179 --> 00:03:38.346
Quando eu aplico a transformação 
nesse meu v₂,

00:03:38.346 --> 00:03:39.440
o que vai acontecer?

00:03:39.440 --> 00:03:41.379
Ele só vai mudar a direção. 
Por quê?

00:03:41.379 --> 00:03:45.810
Porque ele é ortogonal 
a essa minha reta "r".

00:03:45.810 --> 00:03:49.290
Aqui está T(2),

00:03:49.290 --> 00:03:54.910
ou seja, se eu pegar e aplicar 
uma transformação em v₂,

00:03:54.910 --> 00:03:56.410
o que vai acontecer?

00:03:56.410 --> 00:04:00.479
O que vai vir de resultante para mim 
vai ser -v₂.

00:04:00.879 --> 00:04:05.479
Também posso dizer aqui que 
a transformação aplicada em v₂

00:04:05.479 --> 00:04:10.769
vai ser simplesmente 
-1 vezes o vetorzinho v₂.

00:04:10.769 --> 00:04:13.879
O interessante desses vetorzinhos aqui,

00:04:13.879 --> 00:04:17.040
é que, se eu estiver trabalhando 
com essa transformação

00:04:17.040 --> 00:04:20.550
e usá-los como base do meu 
sistema de coordenadas,

00:04:20.550 --> 00:04:23.396
vai ficar muito, muito fácil 
a gente achar a matriz

00:04:23.396 --> 00:04:25.419
que vai representar a minha transformação.

00:04:25.419 --> 00:04:27.420
O que também vai facilitar as continhas

00:04:27.420 --> 00:04:29.380
que a gente vai operar daí para a frente.

00:04:29.380 --> 00:04:31.363
A gente vai se aprofundar nisso

00:04:31.363 --> 00:04:33.510
um pouco mais para frente.

00:04:33.510 --> 00:04:36.000
Mas espero que você tenha percebido o tanto

00:04:36.000 --> 00:04:38.730
que esses vetores são especiais.

00:04:38.730 --> 00:04:40.620
Ou, então, pessoal a gente pode pegar o caso que eu tenho aqui,

00:04:43.800 --> 00:04:46.590
um planozinho qualquer.

00:04:46.590 --> 00:04:48.570
Digamos que esse plano é gerado por esses dois

00:04:48.570 --> 00:04:51.690
vetorzinhos em vermelho e aqui eu tenho um vetorzino verde

00:04:53.790 --> 00:04:56.670
que sai desse plano e que vem aqui para cima.

00:04:56.670 --> 00:04:58.350
Agora eu pego como exemplo a

00:04:58.350 --> 00:05:01.590
transformação que usa esse plano como um espelho,

00:05:01.590 --> 00:05:04.410
todo mundo é refletido ao redor desse plano.

00:05:04.410 --> 00:05:05.970
E quando eu faço a transformação dos vetores vermelhos,

00:05:07.950 --> 00:05:10.290
eles não mudam nada e fazendo a transformação

00:05:10.290 --> 00:05:11.970
nesse vetorzinho verde, ele simplesmente vira de cabeça para baixo.

00:05:13.920 --> 00:05:16.440
E você vai pensar:" Bom, parece que esses

00:05:16.440 --> 00:05:19.410
três vetores são uma boa base para essa transformação."

00:05:22.020 --> 00:05:24.000
De fato, eles são. Então, basicamente o que a gente está interessado?

00:05:24.000 --> 00:05:25.200
O que a gente está procurando?

00:05:25.200 --> 00:05:27.480
São vetores que quando a gente aplica transformação,

00:05:27.480 --> 00:05:29.250
a única coisa que acontece é

00:05:29.250 --> 00:05:31.440
eles serem multiplicadas por um número.

00:05:31.440 --> 00:05:32.850
Espero que você tenha percebido que não

00:05:32.850 --> 00:05:35.070
são com todos os vetores que esse tipo de comportamento acontece.

00:05:37.050 --> 00:05:39.930
Por exemplo, olha esse vetorzinho "x" que a gente desenhou.

00:05:39.930 --> 00:05:41.460
Quando a gente aplicou a transformação nele,

00:05:43.620 --> 00:05:45.810
digamos que a reta que ele gera muda completamente.

00:05:45.810 --> 00:05:49.350
Diferente desse aqui.

00:05:49.350 --> 00:05:51.690
quando eu apliquei a transformação,

00:05:51.690 --> 00:05:54.540
a reta que eu gerei foi a mesma.

00:05:54.540 --> 00:05:55.860
Então basicamente o que a gente está procurando?

00:05:55.860 --> 00:05:58.320
Os vetores que quando a gente aplica a transformação,

00:06:00.930 --> 00:06:05.520
o resultado é só uma versão multiplicada por um escalar.

00:06:05.520 --> 00:06:07.350
E que digamos que a transformação do meu "x", esse aqui é o vetor "x".

00:06:08.910 --> 00:06:11.550
Ou seja, a reta que o setor gera tem que

00:06:11.550 --> 00:06:13.740
ser a mesma reta que a imagem desse vetor vai gerar.

00:06:17.220 --> 00:06:18.930
E quando esse tipo de coisa acontece, pessoal,

00:06:18.930 --> 00:06:21.270
esses vetorzinhos até tem um nome.

00:06:21.270 --> 00:06:23.850
Espero que eu esteja enfatizando o suficiente

00:06:23.850 --> 00:06:25.770
a importância desses caras

00:06:25.770 --> 00:06:27.540
porque eles são de fato muito úteis.

00:06:27.540 --> 00:06:29.700
Não é só uma perfumaria matemática que a

00:06:29.700 --> 00:06:30.870
gente está fazendo aqui.

00:06:30.870 --> 00:06:32.810
Eles são úteis porque eles facilitam encontrar

00:06:32.810 --> 00:06:35.700
as matrizes que representam as transformações.

00:06:36.870 --> 00:06:38.910
Eles são um conjunto de bases mais

00:06:38.910 --> 00:06:41.249
natural para um sistema de coordenadas.

00:06:41.249 --> 00:06:43.579
E, na grande maioria das vezes, as matrizes usando

00:06:44.999 --> 00:06:46.589
esses carrinhos como sistema de coordenadas são muito mais

00:06:48.689 --> 00:06:50.789
fáceis de operar, de calcular.

00:06:50.789 --> 00:06:53.429
Então vamos ao nome especial que esses vetores têm.

00:06:53.429 --> 00:06:56.039
Qualquer vetorzinho que satisfaça essa propriedade aqui é

00:06:58.499 --> 00:07:04.309
chamado de auto vetor da transformação T.

00:07:10.109 --> 00:07:12.179
Já esse lambda aqui, o número pelo qual o setor foi multiplicado,

00:07:13.409 --> 00:07:24.299
ele é chamado de auto valor associado.

00:07:24.299 --> 00:07:26.279
Associado a quem?

00:07:26.279 --> 00:07:30.499
Associado ao auto vetor.

00:07:30.499 --> 00:07:32.819
Então, pessoal, voltando aqui,

00:07:32.819 --> 00:07:35.399
essa transformação aqui que é a reflexão.

00:07:35.399 --> 00:07:41.759
Nesse nosso caso, o vetor 1,2 é auto vetor,

00:07:41.759 --> 00:07:43.709
é um auto vetor da nossa transformação.

00:07:43.709 --> 00:07:47.189
E o 1 é o auto valor associado.

00:07:53.579 --> 00:07:57.689
Do mesmo modo, esse vetorzinho (2 -1)

00:07:57.689 --> 00:08:04.139
também é um auto vetor.

00:08:04.139 --> 00:08:07.979
E no caso desse v₂, do -1 é o auto valor associado.

00:08:11.119 --> 00:08:14.849
Essa transformação representada como um produto

00:08:17.519 --> 00:08:20.249
de uma matriz por um vetor.

00:08:20.249 --> 00:08:22.499
Afinal, é uma transformação delinear, pode ser representada assim.

00:08:25.499 --> 00:08:28.079
Qualquer V que satisfaça a condição de que a

00:08:28.079 --> 00:08:30.779
transformação aplicado em V resulta em ∞V,

00:08:30.779 --> 00:08:33.300
que obviamente também pode ser representado por A vezes V.

00:08:37.259 --> 00:08:39.719
Esses setores também são chamados de

00:08:39.719 --> 00:08:43.319
auto vetores da matriz A.

00:08:43.319 --> 00:08:44.990
Afinal, A é a matriz que representa a transformação.

00:08:44.990 --> 00:08:51.709
Novamente, esse aqui é o auto vetor de A,

00:08:54.660 --> 00:09:03.629
e o ∞ é o auto valor associado ao auto vetor.

00:09:03.629 --> 00:09:05.790
Ou seja, se você me der uma matriz que representa uma transformação linear,

00:09:07.829 --> 00:09:10.319
eu posso descobrir quem são os autos valores e os autos verores associados.

00:09:13.170 --> 00:09:15.990
Inclusive, nos próximos vídeo, a gente vai calcular esses carinhas.

00:09:18.420 --> 00:09:21.089
Mas o quero que você perceba, quero que você dê

00:09:21.089 --> 00:09:22.980
importância no vídeo de agora, no vídeo de hoje,

00:09:22.980 --> 00:09:25.350
é nas propriedades desses tais autos vetores.

00:09:25.350 --> 00:09:27.420
Simplesmente, eles não são muito alterados pela transformação,

00:09:29.279 --> 00:09:31.769
o máximo que vai acontecer é ele ser multiplicado por 1 escalar.

00:09:31.769 --> 00:09:34.470
Ou seja, vai ficar ou maior ou um pouco menor,

00:09:34.470 --> 00:09:38.220
mas a linha, a reta que esse cara gera não vai mudar

00:09:41.459 --> 00:09:43.769
quando eu aplico a transformação nele.

00:09:43.769 --> 00:09:45.930
Por isso, uma das grande utilidade é que eles

00:09:45.930 --> 00:09:48.509
formam uma ótima base para nosso sistema.

00:09:48.509 --> 00:09:50.639
O que vai fazer com que a nossa matriz de transformação seja mais fácil

00:09:52.620 --> 00:09:57.089
de encontrar, inclusive mais fácil de operar.

00:09:57.089 --> 00:10:00.899
Espero que vocês tenham gostado

00:10:00.899 --> 00:10:04.250
e até o próximo vídeo. Tchau, tchau.