WEBVTT

00:00:00.610 --> 00:00:03.519
RKA1JV - Olá, pessoal! 
Prontos para mais um vídeo?

00:00:03.919 --> 00:00:09.050
Para toda transformação que associa o Rⁿ

00:00:09.050 --> 00:00:11.689
ao próprio Rⁿ,

00:00:12.089 --> 00:00:14.680
a gente tem feito de forma implícita.

00:00:14.680 --> 00:00:16.637
Mas tem sido bem importante para a gente

00:00:16.637 --> 00:00:20.340
encontrar vetores que quando 
eu aplicava transformação,

00:00:20.340 --> 00:00:24.085
o resultado era apenas um múltiplo 
desse vetor que foi aplicado.

00:00:24.085 --> 00:00:28.350
Ou seja, vetores que, quando 
eu aplico a transformação,

00:00:28.350 --> 00:00:33.000
o resultado é simplesmente 
um múltiplo desse meu vetor.

00:00:33.420 --> 00:00:35.520
Se para você está meio obscuro,

00:00:35.520 --> 00:00:38.110
você não lembra de a gente 
ter falado nada disso,

00:00:38.110 --> 00:00:40.239
vou tentar refrescar sua memória um pouco.

00:00:40.239 --> 00:00:43.650
Para isso, vou começar 
desenhando aqui o nosso R².

00:00:44.470 --> 00:00:46.160
Eu vou fazer aqui

00:00:46.160 --> 00:00:51.219
alguma transformação do R² 
no R² para nos ajudar.

00:00:51.219 --> 00:00:54.984
E agora, para ajudar, 
vou fazer um vetorzinho,

00:00:55.500 --> 00:00:58.680
aqui está o nosso vetorzinho "v".

00:00:58.680 --> 00:01:03.670
Digamos que esse vetorzinho "v" aqui 
é o vetor [1, 2].

00:01:05.449 --> 00:01:10.640
Além disso, nós temos a reta 
que esse vetorzinho gera,

00:01:10.640 --> 00:01:15.671
vamos chamar essa retinha aqui de reta "r".

00:01:15.671 --> 00:01:19.270
A agora vamos criar aqui,
uma transformação linear

00:01:19.270 --> 00:01:23.168
que reflete vetores em torno 
dessa minha reta "r".

00:01:23.168 --> 00:01:28.599
Então, "T" vai ser uma 
transformação do R² no R²

00:01:29.859 --> 00:01:42.530
que reflete vetores ao redor de "r".

00:01:43.249 --> 00:01:45.910
Bom, já que a gente está aqui em uma 
missão de refrescar a memória,

00:01:45.910 --> 00:01:48.650
o que seria uma reflexão 
ao redor da reta "r"?

00:01:48.650 --> 00:01:51.794
Digamos que eu tenha 
um vetorzinho "x" aqui,

00:01:51.794 --> 00:01:53.849
refletindo ao redor dessa reta,

00:01:53.849 --> 00:01:55.811
ela vai servir como se fosse um espelho.

00:01:55.811 --> 00:02:00.940
A imagem vai ficar aqui mais ou menos, 
um reflexo desse meu vetor "x",

00:02:00.940 --> 00:02:04.106
aqui está o nosso T(x).

00:02:04.380 --> 00:02:06.727
Não sei se você se lembra 
de quando a gente pegou

00:02:06.727 --> 00:02:09.360
essa transformaçãozinha aqui como exemplo,

00:02:09.360 --> 00:02:11.260
uma das coisas que a gente fez

00:02:11.260 --> 00:02:15.160
foi escolher uma base 
para essa transformação.

00:02:15.160 --> 00:02:17.810
Que não era muito alterada por ela.

00:02:17.810 --> 00:02:21.340
Quando a gente aplicava 
a transformaçãozinha na base,

00:02:21.340 --> 00:02:25.708
o máximo que ela fazia era multiplicar 
os vetores da base por um escalar.

00:02:25.708 --> 00:02:29.600
Por exemplo, pessoal, este vetorzinho, 
vou chamá-lo de v₁.

00:02:29.959 --> 00:02:33.450
Quando eu pego a transformação 
desse vetor,

00:02:33.450 --> 00:02:37.652
transformação aplicada 
no meu vetorzinho v₁,

00:02:37.652 --> 00:02:39.056
o que vai acontecer com ele?

00:02:39.056 --> 00:02:41.799
Se eu o refleti sendo, 
que ele já está na reta,

00:02:41.799 --> 00:02:43.029
ele vai continuar igual.

00:02:43.029 --> 00:02:45.749
Então, a transformação aplicada em v₁

00:02:45.749 --> 00:02:48.038
é ser justamente o meu vetor v₁.

00:02:48.038 --> 00:02:49.751
Ou dá para falar o seguinte:

00:02:49.751 --> 00:02:52.920
se eu aplicar transformação em v₁,

00:02:52.920 --> 00:02:58.819
o que eu vou obter é simplesmente 
uma vez o meu v₁.

00:02:59.599 --> 00:03:03.090
Se eu tentar colocar nesses 
parâmetros aqui,

00:03:03.090 --> 00:03:05.279
o que eu acabei de mostrar para você,

00:03:05.279 --> 00:03:07.859
a transformação no caso é a reflexão.

00:03:07.859 --> 00:03:11.510
E lambda (λ) aqui, 
o λ é igual a 1.

00:03:11.510 --> 00:03:14.811
Significa que o que aconteceu 
depois da transformação,

00:03:14.811 --> 00:03:17.779
é que o meu vetorzinho 
foi multiplicado por 1.

00:03:17.779 --> 00:03:20.460
Vamos pegar aqui um outro 
vetorzinho de exemplo.

00:03:20.460 --> 00:03:24.924
Digamos que eu pegue aqui, 
o vetorzinho aqui,

00:03:24.924 --> 00:03:27.469
esse vetor v₂,

00:03:27.469 --> 00:03:32.189
e esse meu v₂ é o vetorzinho 2 menos 1.

00:03:35.179 --> 00:03:38.346
Quando eu aplico a transformação 
nesse meu v₂,

00:03:38.346 --> 00:03:39.440
o que vai acontecer?

00:03:39.440 --> 00:03:41.379
Ele só vai mudar a direção. 
Por quê?

00:03:41.379 --> 00:03:45.810
Porque ele é ortogonal 
a essa minha reta "r".

00:03:45.810 --> 00:03:49.290
Aqui está T(2),

00:03:49.290 --> 00:03:54.910
ou seja, se eu pegar e aplicar 
uma transformação em v₂,

00:03:54.910 --> 00:03:56.410
o que vai acontecer?

00:03:56.410 --> 00:04:00.479
O que vai vir de resultante para mim 
vai ser -v₂.

00:04:00.879 --> 00:04:05.479
Também posso dizer aqui que 
a transformação aplicada em v₂

00:04:05.479 --> 00:04:10.769
vai ser simplesmente 
-1 vezes o vetorzinho v₂.

00:04:10.769 --> 00:04:13.879
O interessante desses vetorzinhos aqui,

00:04:13.879 --> 00:04:17.040
é que, se eu estiver trabalhando 
com essa transformação

00:04:17.040 --> 00:04:20.550
e usá-los como base do meu 
sistema de coordenadas,

00:04:20.550 --> 00:04:23.396
vai ficar muito, muito fácil 
a gente achar a matriz

00:04:23.396 --> 00:04:25.419
que vai representar a minha transformação.

00:04:25.419 --> 00:04:27.420
O que também vai facilitar as continhas

00:04:27.420 --> 00:04:29.380
que a gente vai operar daí para a frente.

00:04:29.380 --> 00:04:31.363
A gente vai se aprofundar nisso

00:04:31.363 --> 00:04:33.070
um pouco mais para frente.

00:04:33.070 --> 00:04:35.380
Mas espero que você tenha percebido

00:04:35.380 --> 00:04:38.630
o tanto que esses vetores são especiais.

00:04:38.890 --> 00:04:43.060
Ou, então, pessoal, a gente pode 
pegar o caso que eu tenho aqui,

00:04:43.560 --> 00:04:46.010
um plano qualquer,

00:04:46.010 --> 00:04:51.294
digamos que esse plano é gerado por esses 
dois vetorzinhos em vermelho

00:04:51.294 --> 00:04:53.010
e aqui eu tenho um vetorzino verde

00:04:53.010 --> 00:04:54.998
que sai desse plano

00:04:54.998 --> 00:04:56.670
e que vem aqui para cima.

00:04:56.670 --> 00:04:58.210
Agora, eu pego como exemplo,

00:04:58.210 --> 00:05:02.121
a transformação que usa 
esse plano como um espelho,

00:05:02.121 --> 00:05:05.070
todo mundo é refletido 
ao redor desse plano.

00:05:05.070 --> 00:05:07.691
E quando eu faço a transformação 
nos vetores vermelhos,

00:05:07.691 --> 00:05:09.510
eles não mudam nada

00:05:09.510 --> 00:05:11.515
e fazendo a transformação 
nesse vetorzinho verde,

00:05:11.515 --> 00:05:13.840
ele simplesmente vira 
de cabeça para baixo.

00:05:13.840 --> 00:05:15.140
E você vai pensar:

00:05:15.140 --> 00:05:21.120
"bom, parece que esses três vetores são 
uma boa base para essa transformação."

00:05:21.120 --> 00:05:22.381
De fato, eles são.

00:05:22.381 --> 00:05:24.870
Então, basicamente, em que 
a gente está interessado?

00:05:24.870 --> 00:05:28.228
O que a gente está procurando são vetores 
que quando a gente aplica transformação,

00:05:28.228 --> 00:05:31.480
a única coisa que acontece é eles serem 
multiplicados por um número.

00:05:31.480 --> 00:05:34.610
Espero que você tenha percebido que 
não são com todos os vetores

00:05:34.610 --> 00:05:36.695
que esse tipo de comportamento acontece.

00:05:36.695 --> 00:05:40.610
Por exemplo, olha esse vetorzinho "x" 
que a gente desenhou.

00:05:40.610 --> 00:05:43.394
Quando a gente aplicou 
a transformação nele,

00:05:43.394 --> 00:05:46.990
digamos que a reta que ele gera 
muda completamente.

00:05:47.390 --> 00:05:49.470
Diferentemente desse aqui.

00:05:49.470 --> 00:05:51.510
quando eu apliquei a transformação,

00:05:51.510 --> 00:05:54.380
a reta que eu gerei foi a mesma.

00:05:54.380 --> 00:05:56.218
Então, basicamente, o que 
a gente está procurando?

00:05:56.218 --> 00:05:59.830
Os vetores que, quando a gente 
aplica a transformação,

00:05:59.830 --> 00:06:04.309
o resultado é só uma versão 
multiplicada por um escalar.

00:06:04.309 --> 00:06:08.690
E que digamos que a transformação 
do meu "x", esse aqui é o vetor "x".

00:06:08.973 --> 00:06:11.305
Ou seja, a reta que o vetor gera

00:06:11.305 --> 00:06:15.500
tem que ser a mesma reta que 
a imagem desse vetor vai gerar.

00:06:16.800 --> 00:06:18.990
E quando esse tipo de coisa 
acontece, pessoal,

00:06:18.990 --> 00:06:21.270
esses vetorzinhos até têm um nome.

00:06:21.270 --> 00:06:23.670
Espero que eu esteja enfatizando

00:06:23.670 --> 00:06:25.750
o suficiente a importância desses caras

00:06:25.750 --> 00:06:27.560
porque eles são, de fato, muito úteis.

00:06:27.560 --> 00:06:30.770
Não é só uma perfumaria matemática 
que a gente está fazendo aqui.

00:06:30.770 --> 00:06:33.090
Eles são úteis, porque eles facilitam

00:06:33.090 --> 00:06:36.870
encontrar as matrizes que 
representam as transformações.

00:06:36.870 --> 00:06:39.766
Eles são um conjunto 
de bases mais natural

00:06:39.766 --> 00:06:41.489
para um sistema de coordenadas.

00:06:41.489 --> 00:06:43.700
E, na grande maioria das vezes,

00:06:43.700 --> 00:06:47.529
as matrizes usando esses "carinhas" como 
sistema de coordenadas

00:06:47.529 --> 00:06:49.889
são muito mais fáceis 
de operar, de calcular.

00:06:49.889 --> 00:06:53.769
Então vamos ao nome especial 
que esses vetores têm.

00:06:53.769 --> 00:06:58.279
Qualquer vetorzinho que satisfaça essa propriedade aqui

00:06:58.279 --> 00:07:08.349
é chamado de auto vetor 
da transformação T.

00:07:08.349 --> 00:07:10.264
Já esse lambda (λ) aqui,

00:07:10.264 --> 00:07:13.239
o número pelo qual este vetor 
foi multiplicado,

00:07:13.749 --> 00:07:24.119
é chamado de auto valor associado.

00:07:24.119 --> 00:07:26.199
Associado a quem?

00:07:26.199 --> 00:07:30.499
Associado ao auto vetor.

00:07:30.899 --> 00:07:32.819
Então, pessoal, voltando aqui,

00:07:32.819 --> 00:07:35.059
essa transformação aqui, que é a reflexão,

00:07:35.059 --> 00:07:42.539
nesse nosso caso, 
o vetor [1, 2] é um auto vetor,

00:07:42.539 --> 00:07:44.809
é um auto vetor da nossa transformação.

00:07:44.809 --> 00:07:53.099
E o 1 é o auto valor associado.

00:07:53.099 --> 00:07:56.929
Do mesmo modo, esse vetorzinho [2, -1],

00:07:56.929 --> 00:08:02.139
o v₂, também é um auto vetor.

00:08:02.839 --> 00:08:09.779
E no caso desse v₂,, 
-1 é o auto valor associado.

00:08:11.719 --> 00:08:20.249
Essa transformação representada como 
um produto de uma matriz por um vetor,

00:08:20.249 --> 00:08:24.692
afinal, é uma transformação linear, 
pode ser representada assim.

00:08:24.692 --> 00:08:27.835
Qualquer "v" que satisfaça a condição

00:08:27.835 --> 00:08:32.219
de que a transformação aplicada em "v" 
resulta em λv,

00:08:32.219 --> 00:08:37.464
que, obviamente, também pode ser 
representada por "A" vezes "v",

00:08:37.464 --> 00:08:39.719
esses vetores também são chamados

00:08:39.719 --> 00:08:41.999
de auto vetores da matriz "A".

00:08:41.999 --> 00:08:45.240
Afinal, "A" é a matriz que 
representa a transformação.

00:08:45.240 --> 00:08:53.349
Novamente, esse aqui 
é o auto vetor de "A",

00:08:53.640 --> 00:09:03.529
e o λ é o auto valor 
associado ao auto vetor.

00:09:03.529 --> 00:09:07.829
Ou seja, se você me der uma matriz que 
representa uma transformação linear,

00:09:07.829 --> 00:09:10.866
eu posso descobrir quem são 
os autos valores

00:09:10.866 --> 00:09:13.170
e os autos vetores associados.

00:09:13.170 --> 00:09:17.880
Inclusive, nos próximos vídeos, 
a gente vai calcular esses carinhas.

00:09:17.880 --> 00:09:20.270
Mas eu quero que você perceba,

00:09:20.270 --> 00:09:23.480
quero que você dê importância, 
no vídeo de agora, no vídeo de hoje,

00:09:23.480 --> 00:09:26.270
nas propriedades desses tais 
autos vetores.

00:09:26.270 --> 00:09:29.259
Simplesmente, eles não são muito 
alterados pela transformação,

00:09:29.259 --> 00:09:32.369
o máximo que vai acontecer é ele ser 
multiplicado por um escalar.

00:09:32.369 --> 00:09:35.450
Ou seja, vai ficar ou maior, 
ou um pouco menor,

00:09:35.450 --> 00:09:40.679
mas a linha, a reta que esse cara gera,

00:09:40.679 --> 00:09:43.489
não vai mudar quando eu aplico 
a transformação nele.

00:09:43.489 --> 00:09:45.450
Por isso, uma das grandes utilidades,

00:09:45.450 --> 00:09:48.989
é que eles formam uma ótima base 
para o nosso sistema.

00:09:48.989 --> 00:09:51.410
O que vai fazer com que 
a nossa matriz de transformação

00:09:51.410 --> 00:09:53.660
seja mais fácil de encontrar,

00:09:53.660 --> 00:09:57.089
inclusive, mais fácil de operar.

00:09:57.969 --> 00:10:00.079
Espero que vocês tenham gostado,

00:10:00.079 --> 00:10:01.864
e até o próximo vídeo!

00:10:01.864 --> 00:10:02.630
Tchau, tchau!