Určování vektorových funkcí pro parametrizaci dvou parametrů

Určování vektorových funkcí pro parametrizaci dvou parametrů.

Minule jsme začali mluvit o parametrizaci
toru, který připomíná tvarem koblihu.

Používali jsme dva parametry

a já jsem strávil hodně času vizualizací,
protože tohle celé je o vizualizaci.

Myslím, že to je
opravdu těžké.

Ale způsob, jakým můžeme
parametricky popsat torus,

který je povrchem koblihy, je říct si:

"Hej, tak vezměme si bod a nechme
jej rotovat dokola po kružnici."

Může to být jakákoli kružnice.
Já vybral kružnici v rovině zy.

A v jakém bodě kružnice se právě bod
nachází můžeme popsat parametrem ‚s‘,

a ‚s‘ se může pohybovat
kdekoli mezi hodnotou 0 a 2pí,

a pak necháme tuto
kružnici rotovat okolo sebe samé.

A nebo je asi lepší říct, že necháme
rotovat tuto kružnici okolo osy z,

která je v centru této rotace,

takže nám vždycky
zůstane zachovaná vzdálenost ‚b‘.

Takže takto to vypadá shora.

A pak definujeme náš druhý
parametr ‚t‘, který nám říká,

jak daleko už zvládl celý okruh
dorotovat okolo osy z.

To byly tedy definice dvou parametrů.

A tady se pokusíme vizualizovat to,
co se vlastně stalo.

Toto je oblast, která bude
definovat naši parametrizaci.

‚s‘ se drží mezi 0 a 2pí,
takže když ‚t‘ je 0,

tak se vůbec nedostaneme ze zy roviny.

‚s‘ je v 0 a dostane se až do 2pí sem.

Když se ‚t‘ dostane až ke 2pí,
tak už jsme pohnuli naší kružnicí.

Pohnuli jsme ji trochu
a otočili jsme ji okolo osy z.

Pak tato linie v s-t oblasti koresponduje
s pohybem kružnice ve 3 dimenzích,

tedy v našem xyz prostoru.

Tak snad jsme to zakreslili
pro představu docela dobře.

Pojďme se zamyslet, jak vlastně definovat
pozici vektorově-orientované funkce,

která je v podstatě touto parametrizací.

Tak pojďme nejdřív na osu z,
protože to je docela přímočaré.

Takže podívejme se na tohle.

Jakou funkcí bude naše z?

Takže naše x, naše y a naše z
by všechny měly být funkcí ‚s‘ a ‚t‘.

To je oč běží.

Jakákoli poloha v prostoru by měla
být funkcí konkrétního ‚t‘ a ‚s‘.

Viděli jsme to tady.

Tenhle bod přímo tady,
ukážu to radši na pár bodech.

Tenhle bod přímo tady,
který odpovídá tomuto bodu, přímo tady.

Pak vybereme další.

Tenhle bod přímo tady,
odpovídá tomuto bodu přímo tady.

Můžu jich ukázat ještě několik.
Nějaké vyberu.

Tenhle bod přímo tady,
kde ‚s‘ je pořád rovno 0.

To bude tenhle vnější okraj,
přímo tam.

Vyberu ještě jeden,
jen abych ukázal celý tento čtverec.

Tenhle bod,
ve kterém jsme vůbec nehnuli s ‚t‘,

ale pohnuli jsme se o čtvrtinu kolečka,
je bodem přímo tam.

Takže jakékoliv ‚s‘ a ‚t‘ jsme schopni
spojit s konkrétním bodem v xyz prostoru.

Takže všechna ‚z‘, ‚x‘ a ‚y‘ by měly
do jednoho být určitelné funkcí ‚s‘ a ‚t‘.

Takže nejdřív se podíváme na osu z.
Myslím, že tohle bude docela jasné.

Takže ‚z‘ jako funkce ‚s‘
a ‚t‘ bude rovna čemu?

Když si vezmete kteroukoli kružnici,

tak ‚s‘ je v podstatě úhel mezi
poloměrem a rovinou xy.

Můžu to sem dokonce nakreslit.
Raději v jiné barvě.

Už mi dochází barvy.

Takže řekněme,
že nás zajímá poloměr,

A tento úhel, jak jsme řekli, je ‚s‘.

Takže když pro znázornění tu
kružnici zakreslím tady vedle,

tak si můžeme procvičit
trochu trigonometrie.

Úhel je ‚s‘.

Víme, že poloměr je ‚a‘, tedy poloměr
naší kružnice, určili jsme si ho tak.

Takže ‚z‘ určíme
jako vzdálenost od roviny xy.

Bude to tedy přesně tahle vzdálenost.
A to je úplně jasná trigonometrie.

Můžeme to zkusit s pomocí funkce sinus.

Můžete se kouknout
na videa o trigonometrii.

Ale sinus…
Můžete se na to podívat takhle.

Takže když ‚z‘ je tady, tak můžete říct,
že sin(s) se rovná z lomeno a.

Vynásobme obě strany ‚a‘, a máme:
a krát sin(s) se rovná se z.

Tak se dozvíme,
jak vysoko nad xy rovinou jsem.

Jen jednoduchá trigonometrie.

Takže máme ‚z‘ určené za pomoci ‚s‘
a ‚t‘, nakonec to ale bude jen funkce ‚s‘.

Bude to tedy a krát sin(s).
To není špatné.

Teď se podíváme na to,
jak určíme ‚x‘ a ‚y‘.

Pamatujte: na ‚z‘ nezáleží.

Nezáleží na tom,
jak moc jsme rotovali okolo osy z.

Záleží na tom,
jak moc jsme rotovali okolo kružnice.

Pokud ‚s‘ je rovno 0, tak budeme
pořád v xy rovině a ‚z‘ bude rovno nule.

Pokud ‚s‘ je pí/2, pak se budeme
pohybovat na vrcholu koblihu.

A naše vzdálenost od xy roviny
bude rovna přesně ‚a‘,

tedy z se bude rovnat přímo a.

Doufám, že to chápete.

A teď se podíváme, co se stane,
když začneme rotovat kolem dokola.

Pamatujte si, že takto to celé
vypadá shora.

Díváme se dolů na tento torus.

Takže střed těchto kružnic je
od počátku vzdálen o vzdálenost ‚b‘,

nebo také od osy z,
okolo které celá kružnice rotuje.

Je vždy vzdálena o vzdálenost ‚b‘.

Takže naše souřadnice x,
nebo naše xy souřadnice,

nebo pokud jdeme do středu kružnice,
tak vždy budeme vzdáleni o ‚b‘,

bude to tedy vždy o vzdálenost ‚b‘.

Takže začněme myslet na to,
kde jsme v rovině xy,

nebo jak daleko jsme.
Myslím, že si můžete představit,

kdybyste měli zobrazit
náš bod do roviny xy,

tak jak daleko tento bod je od začátku?

Dobře, takže vždycky to bude…

Vzpomeňte si na tento obrázek.
Tohle by mohlo být nejvíc poučné.

Tohle je jen jedna
určitá kružnice v rovině zy,

ale mohla by to být jakákoli.

Pokud tady teď kreslím osu z,
pak tato vzdálenost bude vždy ‚b‘.

To víme jistě.
Takže jaká pak bude tato vzdálenost?

Máme vzdálenost ‚b‘,
a pak máme nějaký úhel ‚s‘

a na úhlu ‚s‘ bude
záviset tato vzdálenost v rovině xy,

když si to celé promítneme do xy roviny,

tak tato vzdálenost od osy z při
promítnutí celé situaci jen do roviny xy.

Je mnoho možností, jak si to představit,
důležité je, si to dokázat představit.

Pokud je osa z sinem daného úhlu,
pak tato vzdálenost,

tato trochu kratší vzdálenost,
bude rovna a krát cos(s).

‚s‘ je tento úhel.

A tahle vzdálenost bude rovna
a krát cos(s).

Takže pokud mluvíme pouze o
vzdálenosti od počátku v xy rovině,

pak naše vzdálenost
vždy bude rovna b plus (a krát cos(s)).

Pokud ‚s‘ bude tady, pak bude
mít zápornou hodnotu,

což dává smysl, jelikož tato
vzdálenost bude kratší než ‚b‘.

Bude přesně v tomhle bodě.

Takže když se podíváte
na tyhle horní obrázky,

tak nezáleží na tom,
kde jsme, tohle je ‚b‘.

Řekněme, že jsme s tím trochu rotovali.

Ta vzdálenost, pokud se na ni
díváme z pohledu xy roviny,

tak ta vzdálenost bude vždy
b plus (a krát cos(s)).

Taková ta vzdálenost bude,
nic se na tom nezmění.

Jsme závislí na ‚s‘ a na ‚t‘.

Jak se pohybuje
po rotaci naší kružnice, řekněme,

že nás zajímá tento bod,
a jak už jsme řekli,

tak tento bod je v rovině xy od počátku
ve vzdálenosti: b plus (a krát cos(s)) .

Jakého jsou jeho souřadnice x a y?

No, vzpomeňte si.
Díváme se na to ze shora.

Jsme na ose z a díváme se
přímo dolů na xy rovinu.

Díváme se dolů na koblihu.

Takže jaké budou naše x a y?

Namalujeme si tady
další pravoúhlý trojúhelník.

Tady je pravoúhlý trojúhelník.
Tento úhel je ‚t‘.

Tato vzdálenost bude přesně
tolikrát sinus našeho úhlu.

Takže tohle tady,
což je přesně v podstatě naše x,

bude naše x-ová souřadnice,
x je funkce závislá na ‚s‘ a ‚t‘.

bude to rovno sin(t), ‚t‘ je náš úhel,
a celé to vynásobíme tímto poloměrem,

takže krát b plus (a krát cos(s)).

Jak daleko jsme, záleží na tom,

jak moc jsme se
posunuli po kružnice.

Pokud jsme tady, tak jsme mnohem dále.

Tady jsme daleko přesně o vzdálenost ‚b‘,
pokud se díváme pouze na rovinu xy.

A zase tady jsme ve vzdálenosti b minus a,
pokud jsme na rovině xy.

Takže to je x jako funkce ‚s‘ a ‚t‘.

Ve skutečnosti to,
jak jsem to tady namaloval,

tak kladná část naší osy x
je ve skutečnosti tímto směrem.

Takže tohle je x v kladném
a tohle x v záporném směru.

Mohl jsem ty znaky prohodit,
ale snad je lehce pochopitelné,

že tohle je kladná část osy x
a toto záporná část osy x.

Záleží, zda používáme souřad. systém
orientovaný podle pravé či levé ruky,

Řekněme si, co je tahle
vzdálenost? To je b plus (a krát cos(s))?

To máme přímo odsud,
když se na to podíváme,

tak je to výřez z toho toru.

To je vzdálenost toho,
jak daleko jsme ve směru xy,

aniž bychom
přemýšleli o nějaké výšce.

A pak, když chcete získat x-ovou
souřadnici, tak to vynásobíte sin(t),

jak to mám tady, a y-ová souřadnice
bude vyplývat z tohoto trojúhelníku.

Takže y je funkcí ‚s‘ a ‚t‘ a bude rovna:

cos(t) krát tento poloměr
b plus (a krát cos(s)).

Takže jsme určili parametry,
pohráli si s tímhle trojúhelníkem,

a snad to celé dává smysl.

Pokud řeknete,
že tohle tady je naše souřadnice y,

tak si jen zopakujete, co je kosinus t,

y lomeno (b plus (a krát cos(s))).

Vynásobte obě strany rovnice tímto,

a dostanete y se rovná
cos(t) krát tato závorka.

A už jen zkopírovat a vložit
to podstatné, co si musíte odnést.

A máme hotovou parametrizaci.

Můžeme to nechat takhle, jak to je,

a nebo pokud to chceme prezentovat jako
vektorově orientovanou funkci polohy,

tak to můžeme definovat takto.

Vyberu si nějakou pěknou barvu,
třeba růžovou.

Řekněme, že naše vektorově orientovaná
funkce polohy se jmenuje ‚r‘.

Bude to tedy funkce
dvou parametrů, ‚s‘ a ‚t‘,

a bude se to rovnat hodnotě ‚x‘.

Napíšu to ve stejné barvě.

Takže to bude:

(b plus (a krát cos(s))) krát sin(t),
a celé to bude ve směru osy x.

Takže řekněme, že to
vynásobíme ‚i‘.

V tomto případě, pamatujte si to,
způsob, jakým jsem to definoval,

bude kladná část osy x tady.

Takže vektor ‚i‘ bude vypadat takhle.

Podle toho, jak jsem to vyjádřil,
bude mít tento směr.

A pak přičteme hodnotu y,

která bude (b plus (a krát cos(s)))
krát cos(t) ve směru vektoru ‚j‘.

Tento vektor jménem ‚j‘ vypadá takhle.
To je on.

A nakonec přihodíme ‚z‘,
které bylo úplně nejjednodušší:

Plus a krát sin(s) krát vektor k,
který je vektorem ve směru z.

Takže krát ‚k‘ vektor.

Takže teď mi dejte jakékoliv ‚s‘
nebo ‚t‘ v tomto prostoru

a dosadíme je do této
vektorově orientované funkce polohy,

a vyjde nám přesná poloha vektoru
která přesně určuje bod toru.

Takže cokoliv vyberete…

Ujistěme se, že rozumíme tomu, co děláme.

Pokud vybereme třeba bod právě tady,
kde ‚s‘ a ‚t‘ jsou oba rovné pí/2…

Klidně se do toho příkladu pusťte sami.

Takže vezměte si pro tyhle všechny pí/2.
Pojďme to udělat spolu.

Takže v tom případě, pokud ‚r‘ jako funkce
má argument pí/2, tak co dostaneme?

Bude to b plus (a krát cos(pí/2)).

cos(pí/2) je roven 0, ano?
Cos(90°).

Takže to bude ‚b‘. Celý
tento výraz je roven 0, krát sin(pí/2).

Sin(pí/2) je 1.

Takže to bude ‚b‘ krát ‚i‘
plus…

Ještě jednou: cos(pí/2) je roven 0,

takže celý tento výraz se rovná b,
cos(pí/2) je roven 0, takže to bude 0j.

Takže to bude plus 0 krát j.

A konečně tady není žádné ‚t‘,
sin(pí/2) je roven 1.

Takže plus a krát k.

Takže tady vlastně není žádný ‚j‘ směr.

Takže tohle bude rovno
(b krát i) plus (a krát k).

Takže bod, který je určen těmito
parametry, je (b krát i) plus (a krát k).

Takže ‚b‘ krát ‚i‘ nás dostane rovnou sem,
pak ‚a‘ krát ‚k‘ nás dostane sem.

Takže poloha vektoru,
který jsme si zadali, je přímo tady.

Přesně jak jsme předpověděli.

Přesně tenhle bod,
odpovídá tomuto bodu.

Vybral jsem body,
které bylo lehké spočítat,

ale pokud vezmeme
každé ‚s‘ a ‚t‘ v tomto prostoru,

tak všechno můžete
přenést na tento povrch.

A toto je ta transformace, přesně tohle.

A samozřejmě
musíme si stanovit, že ‚s‘ je mezi…

-- Můžeme to napsat různými způsoby. --

‚s‘ je mezi 2pí a nulou,
a můžeme také říct,

že ‚t‘ je mezi 2pí a nulou.

Mohli byste ještě…
Tímhle už se překrýváme v tom bodě 2pí,

takže bychom se možná mohli zbavit
jednoho toho rovnítka tady,

není to úplně nutné,
nezmění to povrch,

pokud celý tento výraz
vztahujeme povrchu.

Snad vám tohle celé dá
aspoň základní představu,

jak parametrizovat
takové objekty,

a o tom, co tu děláme,
jelikož to bude hodně důležité,

až se začneme bavit
o integrálech povrchů.

A nejtěžší věc na tom všem bude
si to celé představit.