Trigonometrik Fonksiyonlarda Birim Çember Kullanımı

Birim çemberi kullanarak SOH CAH TOA tanımını daha geniş bir yelpaze de ele alıyoruz.

Şimdi biraz birim çember çalışacağız.

ve konuyu biraz daha açacağız,

klasik SOH-KAH-ÖY fonksiyonlarını anlayacağız.

SOH-KAH-ÖY tanımlarının trigonometrik fonksiyonlarının bize yardımcı olmadığı

problemlerin nasıl çözüldüğünü göreceğiz.

.

Peki ne hatırlıyoruz, inceleyelim, hatırlayalım

SOH-KAH-ÖY ne demekti.

Bilmem SOH CAH TOA.

Ben burada bu köşede yazacağım.

Kafanızın karışmasını istemiyorum,

bu yüzden çok fazla yazmayacağım.

SOH, KAH, TOD.

Üzgünüm.

Burada karışıklık var.

Burada bir dik açı olduğu söylenmiş,

bir dik üçgende bir açının sinüsü

karşı taraf bölü hipotenüse eşittir.

Bir açının kosinüsü ise komşu kenar bölü

hipotenüse eşittir.

Ve tanjantı da karşı taraf bölü

komşu kenara eşittir.

Şimdiye kadar bunları kullandık.

Eğer biraz daha kapsamlı düşünecek olursak,

bu açı doksan dereceye yaklaşınca ne olur?

Çünkü bir üçgen de iki tane doksan derecelik açı aynı anda var olamaz.

Veya bu açı 90 dereceden büyük olursa ne olur?

Ya da negatif olursa?

Neden birim çemberi kullanmamız gerektiğini

önceki videodan da hatırlarsak.

Birim çemberin tanımını gözden geçirelim.

Bunu sileyim.

Dum dum di-di-dum.

Siliyorum.

Elimde bu birim çember var.

Bunu Vikipedi'den aldım.

Bu birim çemberi aldığım da

Kaynakçayı belirtmem gerekiyor.

Birim çemberin SOH-KAH-ÖY tanımlarına

daha geniş bir çerçeveden bakalım.

Burada deniyor ki eğer bir birim çemberimiz varsa.

Buradaki de bir birim çember resmi.

Birim çember

merkezi 0,0 noktası olan

ve yarıçapı bir birim olan çembere verilen isimdir.

Bu yüzden, 1, 0 ve 1, 0 negatif, x-ekseni ile kesişmektedir.

y eksenini 0,1 ve 0,-1 noktalarından keser.

Eğer elimizde bir birim çember varsa şöyle tanımlarız--

Şöyle başlayalım. Tetanın kosinüsüyle başlayalım.

Tetanın kosinüsünün tanımını şöyle yaparız:

İki yarıçapın arasındaki açıyı alalım.

Bu yarıçaplardan bir tanesi

0 ve 1 arasında pozitif x ekseni olacak.

Yani bir tanesi bu doğru parçası olacak.

Bu açıyı kullanacağız

-- İki yarıçap arasındaki açı--

Bu durumu ele alalım.

Bu bizim açımız.

Birim çemberin tanımına göre

bu açının kosinüsü bu yarıçapın birim çemberi kestiği yere eşit olacak

bu fonksiyonun sinüsü de

y koordinatını kestiği noktaya eşit olacak.

.

Yani örneğin bu durumda çizginin altını okuyabilirseniz

30 derecenin eşittir pi / 6 söylenmiş.

Bu açı 30 derece ya da pi / 6 radyan.

Bu tanım bize,

30 derecenin sinüsünün 1/2,

30 derecenin kosinüsünün kökü üç bölü iki olduğunu söylüyor.

Göstermek istediğim, birim çemberin tanımı

SOH-CAH-TOA tanımlarımızla ortak bir noktaya parmak basmaktadır.

Fakat sonra konumuz daha da genişliyor.

SOH-KAH-ÖY ve birim çember arasında bağlantı kurmaya çalışalım.

Ve nasıl birbirlerini

kapsadıklarını görelim.

Buraya yazdıklarımın bir kısmını siliyorum.

Silme aletini seçtim.

Yazdıklarımı siliyorum.

Tekrar yazma aletini seçtim, biraz küçülteyim.

Tamam.

Artık hazırım.

Tetaya geri dönelim.

Buna teta diyelim.

Bu açının 30 ya da pi bölü altı olduğunu söyledik.

Bu noktadan x eksenine bir çizgi çekelim.

Bu çizginin dik olduğunu görüyoruz,

o zaman bu doksan derecelik bir açıdır.

Bu 30 derecelik bir açı, 30 derece.

Değil mi?

Theta otuza eşittir.

Bu 30, bu 90 olur.

Bu açı nedir?

Peki bu 60 derecelik bir açı,

180 tamamlıyoruz.

Yani bu 30-60-90 üçgeni.

İlginç.

30-60-90 üçgenleri hakkında ne hatırlıyorsunuz?

Eh, 30 derecenin karşısı

hipotenüsün yarısına eşittir.

Bunu hatırladığınızı umuyorum.

Kafanızı karıştırmak istemiyorum.

Bu 30 derecenin karşısındaki kenar.

Değil mi?

Hipotenüs nedir?

Bu hipotenüs.

Ve bu hipotenüsün uzunluğu nedir?

Peki bir, çünkü bu birim çember ve bu da

çemberin yarıçapı.

Yani hipotenüsün uzunluğu bir birim ve kenarın uzunluğu

hipotenüsün yarısı kadar olacağına

göre 1/2 birim olacak.

Değil mi?

Burada sadece daha önce öğrendiğimiz

30-60-90 üçgenini kullanıyoruz.

60 derecenin karşısındaki kenarın uzunluğu nedir?

Peki, hatırlayalım kök üç bölü iki

çarpı hipotenüs.

Yani, kök üç bölü iki .

Değil mi?

Bu tarafın kök üç bölü iki bu tarafında bir bölü iki

olduğunu bulduk.

Buradan bir kaç şeye daha ulaşabiliriz.

Yalnızca bakarak,

bu noktanın koordinatlarını söyleyebiliriz.

Peki burası x koordinatı.

Değil mi?

x-koordinatı kök üç bölü iki olacaktır.

Burada.

Bu mesafe.

y-koordinatı dik üçgenin bu kenarının uzunluğu

ya da bir bölü iki birim olacak.

Burada yazmışız.

Bu zaten yazılmış.

x-koordinatı kök üç bölü iki

ve y- koordinatı bir bölü iki.

şimdi neden x koordinatının tetanın kosinüsü

ve neden y koordinatının tetanın sinüsü

olarak kabul edilebilieceğini göstereceğim.

Peki SOH-KAH-ÖY bize ne anlatıyor?

Kosinüs ile başlayalım.

Yani SOH, KAH, TOD.

Yani CAH.

Kosinüs komşu bölü hipotenüse eşitti, değil mi?

Çizilmiş bu üçgende,

bu açıya komşu kenar hangisi?

Değil mi?

Bu açının kosinüsüne ulaşmaya çalışıyoruz,

bu da 30 derece.

Bu açının komşu kenarı, bu kenardır.

Değil mi?

Yani komşu kenar üç bölü iki birim.

Şimdi buna ulaştık.

Hipotenüs nedir?

Hipotenüs bu kenar ve uzunluğu bir birimdir.

Çünkü bu bir birim çemberdir ve bu dan onun yarıçapıdır.

SOH-KAH-ÖY tanımlarını kullanarak bu açının

kosinüsünün kök üç bölü hipotenüs

yani bir olduğu sonucuna ulaştık.

Kare kök üç bölü iki bölü bir, yani kök üç bölü iki,

x koordinatıyla aynı şeye denk geliyor.

Benzer şekilde, SOH bakabiliriz.

Sinüs, karşı bölü hipotenüse eşittir.

Karşı taraf nedirr?

1/2.

Ve hipotenüs bire eşit olur.

Yani sinüs sadece 1 / 2.

O da burada.

Birim çember tanımı, SOH-CAH-TOA tanımının yerine geçen bir tanım değil,

bu tanım konuya daha geniş bir çerçevede yaklaşmamızda yardım olacak.

Kastettiğim, 30, 45 ve 60 derece için

SOH-CAH-TOA kullanılabilir.

.

Fakat açı 90 derece olduğunda işler biraz daha zorlaşır.

Eğer klasik SOH-CAH-TOA tanımını kullanarak

bir dik üçgen çizmeye kalkarsak başaramayız

çünkü bir üçgen de iki 90 derece birden olamaz.

Doksan dereceden büyük açılar için ve negatif açılar

için de hesaplamalar yapamazdık.

Burada gösterilmemiş ama

330 derece 30 derece ile aynı şeydir.

Çünkü birim çemberde iki taraftan da gidebilirsiniz.

Çemberin çevresini dolanabilirsiniz.

Kosinüsü veya sinüsü bulabiliriz,

eğer çemberin çevresini dolanacak olursak bir milyon açıya ulaşabiliriz.

Umarım birim çember ne olduğu hakkında

fikir sahibi olmanız konusunda yardımcı olabilmişimdir.

Ve, tanjant fonksiyonu her zaman sinüs bölü kosinüsü

ya da y bölü x e eşittir.

Birim çember yöntemini de kullanabiliriz,

gösterdiğim gibi.

Diğer bütün değerlere ulaşarak egzersiz yapmanızı sizden rica ediyorum.

Bu değerlere ulaşırken 30 - 60 - 90 üçgenini kullanacaksınız.

Ya da 45 - 45 - 90 üçgeni,

ya da pisagor teoremi hakkında neler biliyorsanız

onları kullanacaksınız.

Bu değerleri çemberin çevresinde dolanarak

bulabilmeniz gerekiyor.

Umarım bu videoyla size yardımcı olabildim.

Görüşmek üzere.