Integral Definida com Subscrição

Resolvendo uma integral definida com subscrição (ou a Regra da Cadeia Inversa)

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Me mandaram esse problema de integral definida, e ele me pareceu

tão bom quanto qualquer outro, e eu acho que a chave para isso é só

ver vários exemplos.

Então façamos isso.

Essa integral definida é de π/2 a π de menos cosseno

ao quadrado de x vezes seno de x dx.

Então antes de passarmos para a matemática e resolvermos

a antiderivada e usar o Teorema Fundamental do Cálculo

para resolver essa integral definida, vamos pensar sobre

o que estamos fazendo.

Então, eu fiz o gráfico dessa função aqui, menos cosseno

ao quadrado de x vezes seno de x.

E a parte que nos interessa, nós estamos definindo a integral definida

entre π/2, que é mais ou menos aqui...

Deixe-me ver se consigo fazer isso um pouco maior.

Então, entre π/2, que é aqui, e entre π...

Então a integral definida dessa função entre aqui

e aqui é, essencialmente, a área entre a curva e

o eixo x.

E como a curva ocorre embaixo do eixo x aqui, a área

será um número negativo.

Então isso nos dá uma intuição.

Nós devemos achar um número negativo quando resolvermos isso.

E só pra provar que eu realmente digitei a função aqui em cima;

Então vamos resolver essa integral definida.

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Agora eu vou rearranjar alguns dos termos aqui para tornar isso

um pouco melhor de ler.

Mas a maneira que eu sempre penso sobre isso, bom

eu tenho um seno e um cosseno.

O cosseno está ao quadrado, então várias coisas estranhas estão

acontecendo com ele, então parece que podemos usar substituição,

ou a Regra da Cadeia inversa aqui.

E o que é a Regra da Cadeia?

A Regra da Cadeia afirma que se eu tirar a derivada de f de g de x

isso é igual a f´de g de x vezes g´de x.

Isso pode ter confundido você, mas eu só escrevi isso aqui

porque nós podemos dizer que se g de f for cosseno de x,

f´de g de x é o cosseno de x ao quadrado e então a

derivada de g de x ou a derivada do cosseno

de x é seno de x.

Bem, agora isso é menos seno de x de x e nós temos um menos seno

aqui, e então isso tudo funciona bem também!

Se eu o confundi, ignore isso.

Bem, em essência nós estivemos fazendo apenas a mesma coisa,

mas nós iremos fazer isso com substituição

Então deixe-me resolver isso com substituição.

Deixe-me apagar isso, se isso confunde as pessoas...

.

Eu quero fazer isso do modo menos confuso para você.

OK, deixe-me apagar isso...

Agora, vamos fazer isso com substituição, apenas porquê a

maneira que eu estava fazendo é tipo meu atalho de volta ao

tempo em que eu fui um atleta da matemática...

Mas é bom ser capaz de resolver isso com substituição, o ajuda a

não cometer descuidos.

Então deixe-me reescrever isso antes de tudo...

Isso é a mesma coisa que a integral de Pi sobre 2 a

Pi do cosseno ao quadrado de x.

E agora deixe-me escrever isso como o cosseno de x ao quadrado.

Mesma coisa, certo...

Vezes menos seno de x dx.

E agora isso deve ficar mais claro para você.

Qual é a derivada de cosseno de x?

Ela é menos seno de x.

E então eu tenho a função e ela será elevada ao quadrado, e eu tenho sua

derivada, então eu posso calcular sua antiderivada usando

substituição ou a Regra da Cadeira reversa.

E então vamos fazer por substituição.

u é igual a cosseno de x.

Como eu sei que substituir u é igual ao cosseno de x?

Bem, porquê eu sei... bem, a derivada desta

função está aqui...

E quando eu encontro du, toda esta coisa irá acabar

sendo du, e deixe-me mostrar isso para você.

Então o que é du/dx?

du/dx é igual a menos seno de x.

Na esperança que você já tenha aprendido isso...

E então o que é du?

Se nós multiplicarmos ambos os lados pela diferencial d de x em du

é igual a menos seno de x dx.

E se nós olharmos a equação original, isso bem aqui, nós

apenas mostramos que é igual a du, e isso bem aqui será o quê?

Cosseno de x é u.

Isso foi a nossa substituição original...

E então nós temos u ao quadrado.

.

E agora vamos fazer a integral.

E eu irei trocar arbitrariamente de cor...

.

E agora isso é uma coisa muito importante.

Se nós formos fazer a substituição, se nós formos dizer

"u é igual ao cosseno de x, nós iremos agora ter que

fazer esta substituição nas fronteiras!

Ou nós podemos substituir e fazer a substituição ao inverso

e então calcular as fronteiras, mas vamos fazer assim...

Então isso irá de x igual a Pi sobre 2 até Pi...

de onde u parte?

Bem, quando x é igual a Pi sobre 2, u é igual

ao cosseno de Pi sobre 2.

.

Porquê u é apenas o cosseno de x.

E então quando x é Pi, i será o cosseno de Pi.

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E agora a parte legal.

Cosseno de x ao quadrado.

Bem, isso é exatamente a mesma coisa... é u ao quadrado...

E menos seno de x dx, que é a mesma coisa...

é du... fiz isso aqui...

.

Isso é bastante tranquilo e eu irei apenas

reescrever isso.

Qual é o cosseno de Pi?

Cosseno de Pi é menos 1.

Cosseno de Pi sobre 2, bem isso é zero...

E então nós temos a integral de u igual a zero até u que é igual a

menos 1 de u ao quadrado du.

E agora isso se parece com um problema simples.

Então isso é igual à antiderivada de u

ao quadrado, que é bastante simples.

u ao cubo sobre 3.

Você apenas faz a derivada disso,

você obtém isso.

E tudo que eu fiz, eu aumentei este expoente para chegar ao cubo e

eu dividi por este expoente.

Agora nós iremos calcular isso para menos 1 e

subtrair disso, isso calculado para zero.

E isso é igual a menos 1 ao cubo sobre 3 menos

zero sobre 3, e então isso é igual a menos 1/3.

E nós terminamos.

E se nós olharmos para esta área do nosso gráfico original, que

nós já resolvemos, e nós chamamos de área da curva entre

aqui e aqui, que é menos 1/3.

Ou se nós quisermos a área absoluta, porquê você não pode de fato

ter uma área negativa, isso é 1/3, mas nós sabemos que isso é negativo

porquê esta curva está sob o eixo-x aqui...

E isso parece estar certo, isso parece algo em torno de 1/3...

Eu digo que este cubo bem aqui é 1, então isso

se parece com algo em torno de 1/3...

A intuição sempre serve para alguma coisa.

E na esperança que você tenha achado isso ao menos vagamente útil...

Agora deixe-me... uma vez que nós temos um pouco de tempo.

Nas esperança que você tenha entendido isso e se você conseguiu, então não se preocupe

com o que eu estarei a fazer agora, mas eu quero lhe mostrar como eu

normalmente resolvo isso, apenas pensando no problema pela

Regra da Cadeia reversa.

Isso é algumas vezes mais rápido.

Mas isso é de fato a mesma coisa que nós fazemos quando

simplesmente substituímos.

Então deixe-me apagar tudo isso...

.

E então se eu tiver esta integral bem aqui, o que eu faço é dizer...

"bem, eu tenho um cosseno de x ao quadrado"...

.

Eu tenho o cosseno de x ao quadrado e então eu tenho menos seno de x.

Isto é a derivada disto...

E uma vez que a derivada está aqui, eu posso apenas litar com toda

essa coisa como um termo de x.

Então isso é a mesma coisa.

Então a antiderivada é cosseno de x ao cubo sobre 3 e eu

resolvo isso para pi e pi sobre 2...

E lembre-se, como eu fiz isso?

O que me possibilitou tratar este cosseno de x apenas como sendo um x ou

como um u quando eu fiz a substituição?

Bem, eu tinha esta derivada sentada bem aqui,

menos seno de x...

E então o que me possibilitou apenas fazer a

antiderivada, na pretenção de que este cosseno de x é apenas um x,

é apenas um u... você poderia dizer... e apenas ter seu

expoente, elevar isso por 1 e dividí-lo por 3 e então e então

resolvê-lo para Pi ate Pi sobre 2.

Então isso é igual a cosseno de Pi ao cubo sobre 3 menos cosseno

de Pi sobre 2 ao cubo, sobre 3.

Isso é menos 1 ao cubo, então isso é igual a menos

1/3 menos... isso é zero!

E então nós chegamos à mesma resposta.

Eu quis apenas lhe mostrar isso...

Isso é exatamente igual à substituição!

E aqui eu simplesmente não fiz formalmente a substituição, mas isso

é exatamente a mesma coisa.

De qualquer maneira, na esperança de que isso tenha lhe sido útil.

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