Bestämda integralen med substitution

Lösa en bestämd integral med substitution (eller omvänt kedjeregeln)

Så jag har skickat detta bestämd integral problem och det verkade

Så jag har skickat detta bestämd integral problem och det verkade

som god som någon, och jag tror är nyckeln med det bara till

se massor av exempel.

Så låt oss göra det.

Denna bestämd integral är från pi över 2 till pi av minus cosinus

kvadrat av x gånger synden x DX.

Så innan vi bara chug genom math och göra den

antiderivatives och använda de grundläggande teorem i Flervariabelanalys

Om du vill utvärdera bestämd integral, låt oss tänka på

Vad vi än gör.

Visas i så jag har diagram funktionen höger här, minus cosinus

kvadrat av x gånger synden av x.

Och vad vi bryr oss om, vi definierar de konkreta

integrerad mellan pi över 2, vilket är ungefär här.

Låt mig se om jag kan göra det lite större.

Så mellan pi över 2 vilket är rätt där, och mellan pi.

Så bestämd integral av denna funktion mellan här och

här är i huvudsak området i kurvan mellan de

kurvan och x-axeln.

Och sedan i en kurva ligger under x-axeln här, detta område är

kommer för att vara ett negativt tal.

Så det ger oss omedelbart en intuition.

Vi bör få ett negativt tal när vi utvärdera detta

och bara för att bevisa det jag faktiskt skriver det här.

Så låt oss nu utvärdera detta bestämd integral.

Så låt oss nu utvärdera detta bestämd integral.

Nu jag ska ordna några av villkoren här bara för att göra det en

litet lättare att läsa.

Men det sätt som jag alltid tänker på det är, bra jag har

en cosinus och synd.

Cosinus kvadrat, så att alla dessa galna saker

händer det, så det verkar som jag kunde använda substitution

eller omvänd kedjan regler några här.

Och vad var regeln kedjan?

Kedjan regeln sade om jag tog derivatan av f g x

att det är lika med f prime g x gånger g prime i x.

Som kanske helt det förvirrar för dig, men jag skrev bara att här

eftersom vi skulle kunna säga, och vad händer om g x är cosinus för x. f

Prime g x är cosinus för x squared, och sedan den

derivat av g x eller derivat av cosinus

x är synd av x.

Det är väl faktiskt minus synd x, och vi har en minus synd

här, så det fungerar väl också.

Om det förvirrar för dig, ignorera det.

Vi ska väl i huvudsak bara gör samma sak,

men vi ska göra det med ersättning.

Så låt mig göra det med ersättning.

Låt mig en radera detta om detta förvirrar folk.

Låt mig en radera detta om detta förvirrar folk.

Jag vill göra det men det är åtminstone förvirrande för dig.

OK Låt mig radera som.

Faktiskt, låt mig göra det med substitutionsprincipen, eftersom den

Jag gjorde bara är typ av min genväg tillbaka i den

dag när jag var en mathlete.

Men det är bra att kunna göra det med ersättning, hjälper dig

från att göra slarvig misstag.

Så låt mig skriva om detta först.

Detta är samma sak som integrerad från pi över 2 till

Pi av cosinus kvadrat av x.

Egentligen vill jag skriva att som cosinus för x squared.

Samma sak, rätt.

Gånger minus synd x DX.

Och nu bör vara tydligare för dig.

Vad är derivat av cosinus för x?

Det är minus synd av x.

Så jag har en funktion och det är att squared, och jag har sin

derivat, så jag kan räkna ut sin antiderivative med hjälp

ersättning eller regeln omvänd kedjan.

Så låt oss göra en ersättning.

u är lika med cosinus för x.

Hur visste jag för att ersätta u är lika med cosinus för x?

Bra eftersom jag säger väl derivat av detta

funktionen är här.

Så när jag hittar du kommer här helheten till slut

är du, och låt mig Visa som du.

Så vad är du/dx?

du/dx är lika med minus synd av x.

Att förhoppningsvis vi lärt redan.

Så vad är du?

Om vi multiplicerar båda sidor med den differentiella d x får du

är lika med minus synd x DX.

Så om vi tittar på den ursprungliga ekvationen, detta just här vi

bara visade är lika som du, och det här är vad?

Cosinus för x är u.

Det var vår Ursprunglig substitution.

Så har vi u kvadrat.

Så har vi u kvadrat.

Så nu ska vi ta integral.

Och jag kommer att godtyckligt växla färger.

Och jag kommer att godtyckligt växla färger.

Och detta är nu en mycket viktig sak.

Om du ska göra ersättning, om vi tänker

u är säga lika med cosinus för x, vi ska ha till faktiskt

göra denna ersättning vid gränserna.

Vi kan göra substitution och vända substitution

och sedan utvärdera gränser, men låt oss göra det.

Så om detta är från x är lika med pi över 2 till pi,

Vad är u kommer från?

Bra när x är lika med pi över 2, är u lika

till cosinus för pi över 2.

till cosinus för pi över 2.

Eftersom u är bara cosinus för x.

Och sedan när x är pi, jag kommer att vara cosinus av pi.

Och sedan när x är pi, jag kommer att vara cosinus av pi.

Och nu roligt delen.

Cosinus för x squared.

Ja, det är precis samma sak är u kvadrat.

Och minus synd x DX, det är samma sak

är du--gjorde det här.

är du--gjorde det här.

Detta är enkelt och jag kommer bara

att skriva om den.

Vad är cosinus av pi?

Cosinus för pi är minus 1.

Cosinus för pi över 2, ja, det är 0.

Så vi har integrerad från u är lika med 0 och u är lika med

negativa 1 i u kvadraten du.

Och nu detta verkar vara ett enkelt problem.

Det är alltså lika med antiderivative u

kvadrat, vilket är ganska enkelt.

u cubed över 3.

Du kan bara ta derivat av detta,

Du får detta.

Allt jag gjorde är jag ökade denna exponenten för att få tredje, och

Jag dividerat med den exponenten.

Nu vi har att utvärdera det vid minus 1 och

Subtrahera från att det utvärderas på 0.

Så är det lika med minus 1 tredje över 3 minus

0 över 3 och så här är lika med minus 1/3.

Och vi är klar.

Och om vi tittar på detta område från vårt ursprungliga Graf, vad

Vi löst bara, som vi sade området i kurvan mellan

här och här är minus 1/3.

Eller om vi ville ha området absolut eftersom du inte verkligen

ha ett negativt, det är 1/3 men vi vet att det är negativt

eftersom kurvan ligger under x-axeln här.

Och som ser rätt, som ser ut ungefär 1/3.

Jag menar om kuben här är 1, sedan som

ser ut ungefär 1/3.

Intuition alla fungerar åtminstone.

Du hittat som så förhoppningsvis vagt användbart.

Låt mig--faktiskt eftersom vi har lite tid.

Förhoppningsvis du förstått detta, och oroa dig inte om du gjorde,

om vad jag ska göra nu, men jag vill visa dig hur jag

tenderar att göra det där jag bara tycker att det är den

omvänd kedjan regel.

Det är ibland lite snabbare.

Men det är egentligen samma sak som vad vi bara

gjorde med substitution.

Så om vi radera allt detta.

Så om vi radera allt detta.

Och så om vi har denna integrerad rätt här, hur jag jag säga

Jag har väl cosinus för x squared.

Jag har väl cosinus för x squared.

Jag har cosinus för x squared, och sedan har jag minus synd av x.

Detta är derivat av detta.

Eftersom derivatan är här, kan jag bara behandla detta hela

sak som en x-term.

Det är alltså samma sak.

Så är antiderivative cosinus för x till tredje över 3, och

utvärdera det på pi och pi över 2.

Och kom ihåg, hur jag göra detta?

Vad får mig att behandla detta cosinus för x precis som ett x eller

som ett u när jag gjorde det med ersättning?

Väl hade jag dess derivat som sitter just här,

minus synd av x.

Så det är vad gav mig licens att bara ta det

antiderivative, låtsas som denna cosinus för x är bara ett x,

är bara ett u, du kan säga, och bara ta det

exponent, höja den med 1 och dividera det med 3 och sedan

utvärdera den från pi att pi över 2.

Det är alltså lika med cosinus för pi cubed över 3 minus cosinus

cubed över 3 av pi över 2.

Detta är minus 1 till tredje, så detta är lika med minus

1/3 minus detta är 0.

Så vi får samma svar.

Jag ville bara visa dig att.

Det är exakt samma sak med substitution.

Det är bara jag inte formellt gjorde att ersätta, men det är

exakt samma sak.

Hur som helst, hoppas du hittat som hjälpsamma.

Hur som helst, hoppas du hittat som hjälpsamma.