Johdatus logaritmeihin.

Johdatus logaritmeihin.

Tervetuloa opettelemaan logaritmeja.

Kirjoitetaan aluksi sana "logaritmi", koska

se on jälleen eräs outo sana, kuten "hypotenuusa".

ja on hyvä nähdä kyseinen sana ainakin kerran.

Annas kun otan kynän esiin.

"Logaritmi"

Tämä sana on itselläni altis kirjoitusvirheille.

Kävin kerran MIT:n ja näin erään yhtyeen,

jonka nimi oli "Logarytmit".

"Rytmi", kuten musiikissa.

Nyt poiketaan jo aiheesta.

Mikä siis on logaritmi?

No, helpoin tapa selittää logaritmi

--ainakin luulen niin, on sanoa, että se on sama,

kuin ottaisi käänteisarvon eksponentista.

Anna, kun selitän.

Tiedämme eksponenttimoduuleista,

että,

kaksi potenssiin kolme on yhtä kuin kahdeksan.

Huomautan, että tämä tässä on kakkonen, ei Z-kirjain.

Kaksi potenssiin kolme on kahdeksan, joten saamme huomata, että--

log, jota kirjoitan tulee sanasta "logaritmi",

2-kantainen log kahdeksasta on yhtä kuin kolme.

Luulen, että kun katsot tätä laskua,

siinä näyttää olevan jotain järkeä.

Tämä lasku kertoo, että jos kysyisin mitä 2-kantainen logaritmi

kahdeksasta on, mikä luku potenssiin kaksi on kahdeksan.

Joten vastaus logaritmiin-- voit sanoa, että vastaus

tähän logaritmilausekkeeseen tai jos lasket tämän

lausekkeen, saat vastaukseksi numeron,

joka olisi eksponentti numerolle kaksi, että saisit vastaukseksi kahdeksan.

Eli tämä numero olisi siis kolme.

Käydään läpi pari esimerkkiä, jotta ymmärrät paremmin.

Jos sanon, että log-- mitäs kynälleni tapahtui?

4-kantainen logaritmi 64:stä on x.

Toinen tapa kirjoittaa tämä yhtälö on

neljä potenssiin x on yhtä kuin 64.

Tai toinen tapa ajatella sitä on kysyä:

Neljä potenssiin mikä on 64?

Tiedämme. että numero neljä kolmanteen potenssiin korotettuna on 64.

Joten tiedämme, että tässä tapauksessa laskun tulos on kolme.

Joten 4-kantainen log 64:stä on kolme.

Mitä enemmän esimerkkejä näet, sitä enemmän niissä alkaa olla järkeä.

Tehdään siis lisää esimerkkejä.

Logaritmien idea on yksinkertainen, mutta mielestäni ne voivat

olla hankalia, koska ne ovat eksponentin käänteistoiminto,

mikä jo itsessään voi olla sekava asia.

Mikä on siis kymmenkantainen logaritmi vaikkapa miljoonasta?

Laitetaan pari pistettä miljoonalle tänne, jotta saa selvää.

Tämä on siis yhtä kuin "?".

Voimme kysyä itseltämme: Mikä on kymmenen potenssiin mikä,

jotta saamme miljoonan.

Ja kymmenen mihin tahansa potenssiin on itse asiassa ykkönen, jota seuraa

-- vaikkapa kymmenen potenssiin viiden tapauksessa --

viisi nollaa.

Joten jos meillä on ykkönen ja kuusi nollaa, se on sama asia, kuin

10 potenssiin kuusi

Siispä kymmenen potenssiin kuusi on yhtä kuin miljoona.

Koska 10 kuudenteen potenssiin on miljoona,

10-kantainen logaritmi miljoonasta on kuusi.

Muista, että tämä kuusi on eksponentti, jolla korotamme kymppiä

saadaksemme miljoonan.

Tiedän, että selitän saman asian ainakin sadalla eri tavalla ja

toivon mukaan yksi näistä tavoista uppoaa

sinuunkin niin, että tässä alkaa olla jotain järkeä.

Tehdään hieman lisää esimerkkejä.

Tehdäänpä tällä kertaa hieman hämmentävä esimerkki.

1/2 -kantainen logaritmi 1/8:sta.

Olkoon tämä yhtä kuin x.

Muista, että tämä on vain sama asia,

kuin sanoisi 1/2-- opsista

1/2.

Nuo tuossa puolikkaan ympärillä ovat sulkeet.

Eli 1/2 potenssiin x on yhtä kuin 1/8.

Tiedämme siis, että 1/2 potenssiin kolme on yhtä kuin 1/8.

Joten 1/2 -kantainen logaritmi 1/8:sta on yhtä kuin kolme.

Tehdään lisää tehtäviä.

Pistetään vielä vähän hankalammaksi.

Olkoon x-kantainen logaritmi 27:stä yhtä kuin kolme.

Mikä on x?

Juuri kuten teimme aiemminkin, tämä kertoo, että

x kolmanteen potenssiin on 27.

Tai x on yhtä kuin kuutiojuuri 27:stä.

Kaikki mitä tämä tarkoittaa on, että on olemassa jokin numero,

jota kerrottuamme itsellään kolmesti saamme tulokseksi 27.

Ja luulen, että tässä vaiheessa tiedät, että

tämä luku on kolme.

x on yhtä kuin kolme.

Joten voimme kirjoittaa 3-kantainen logaritmi 27:stä on yhtä kuin kolme

Otetaanpa uusi esimerkki.

Otan laskuihin pikkunumeroita, koska laskimeni ei ole tässä

ja joudun ratkaisemaan nämä päässäni.

Mitä on siis log-- mietitäänpäs.

Mitä on 100-kantainen logaritmi numerosta yksi?

Tämä on kompakysymys.

Olkoon tämä jälleen kerran yhtä kuin

kysymysmerkki.

Muistam että tämä on sadankantainen logaritmi ykkösestä.

Tämä siis kertoo meille, että sata potenssiin kysymysmerkki

on yhtä kuin yksi

Mikä luku meidän on laitettava potenssiksi, jos haluamme

saada minkä tahansa muun luvun muutettua ykköseksi?

No, jos muistat eksponentin laskusäännöistä,

tai no oikeastaan eksponenttimoduuleista, että

mikä tahansa luku potenssiin nolla on yhtä kuin yksi.

Joten voimme sanoa, että sata potenssiin nolla on yhtä kuin yksi.

Samalla voimme nähdä, että 100-kantainen logaritmi luvusta yksi on yhtä kuin nolla,

koska sata nollanteen potenssiin vastaa ykköstä.

Anna kun kysyn jotakin.

Mitä tulee vastaukseksi, jos otamme 2-kantaisen logaritmin nollasta?

Mikä on tämän laskun vastaus?

Mitä siis kysyn sinulta on toisin sanoen-- olkoon

tuo tuossa yhtä kuin x

siis mikä on kaksi johonkiin potenssiin yhtä kuin nolla.

Mikä on x?

Onko siis olemassa mitään lukua, jonka voi laittaa

kakkosen potenssiksi, jotta saamme nollan vastaukseksi?

Ei ole.

Tätä ei ole siis määritelty.

Määrittelemätön tai ei vastausta.

Ei ole olemassa lukua, joka voidaan laittaa kahden potenssiin

ja saada vastaukseksi nolla.

Samaan tapaan voisin kysyä sinulta 3-kantaista logaritmia

sanotaanko vaikka luvusta -1.

Ja oleteteaan, että kysesssä on reaaliluvut,

jotka ovat suurin piirtein ne luvut, joiden kanssa olet ollut

tähän asti tekemisissä.

Ei ole olemassa lukua, jonka voin laittaa kolmosen potenssiksi

saadakseni negatiivisen luvun.

Niin kauan, kuin sinulla on positiivinen kantaluku täällä.

Tämän numeron täytyy olla suurempi kuin--

sen täytyy olla suurempi tai yhtä suuri-- ei

sen täytyy suurempi, kuin nolla.

Ei yhtäsuuruinen nollan kanssa.

Kantaluku ei voi olla nolla tai negatiivinen luku.

Tehdään pari muuta esimerkkiä.

Minulla taitaa olla enää yli minuutti aikaa videolle.

Olet jo valmis läpäisemään ykköstason logaritmimoduulin,

mutta ratkaistaan vielä pari muuta ongelmaa.

Mitä on 8-kantainen logaritmi-- joku hankala luku...

8-kantainen logaritmi 1/64:stä?

Mielenkiintoista.

Tiedämme, että 8-kantainen 64:stä on yhtä kuin kaksi, vai kuinka?

Kahdeksan neliö on yhtä kuin 64.

Mutta kahdeksan potenssiin mikä on yhtä kuin 1/64?

Tiedämme negatiivisten eksponenttien moduulista,

että vastaus on -2.

Voit ehkä muistaa, että kahdeksan potenssiin -2

on sama asia, kuin 1/8 potenssin kaksi.

Kahdeksan neliö, joka on yhtä kuin 1/64.

Mielenkiintoista.

Jätän tämän sinun pohdiskeltavaksesi.

Kun otat käänteisluvun mistä logaritmin otakin,

se muuttaa vastauksen negatiiviseksi.

Ratkomme paljon muita logaritmitehtäviä ja käymme läpi

muita logaritmin ominaisuuksia tulevissa moduuleissa.

Mutta olet mielestäni nyt valmis läpäisemään tason yksi

tehtävät logaritmeista.

Nähdään seuraavassa moduulissa.