લઘુગુણક નું પરિચય

લઘુગુણક વિષે પરિચય

લઘુગણકના પ્રસ્તુતિમાં આપનું સ્વાગત છે.

ઓછામાં ઓછા એક વખત જોવા સારુ.

ચલો હવે મને લખવાનું સાધન (પેન) ચાલુ કરવા દો.

લઘુગણક.

આ એક મારો સૌથી વધુ ખોટી જોડણી વાળો શબ્દ છે.

હું એમઆઇટી ગયેલો અને હકીકતે ત્યાં એક કાપેલા જૂથ હતુ,

તેઓ લોગર્હ્યથ્મ્સ (લઘુગણક) કહેવાતા હતા.

સંગીત ની જેમ, લય ની જેમ.

પણ ખેર, આ બાજુ મા રાખીને બીજુ જોઇએ.

તો લઘુગણક એટલે શું ?

તો, સૌથી સરળ ભાષામાં કહું કે લઘુગણક એટલે શું તો

પ્રથમ એ કે - ધારી લઉ કે તે માત્ર વ્યસ્ત છે

કઇંક ની ઘાત લઇ લેવી.

મને સમજાવવા દો.

જો હું કહું કે બે ની ત્રણ ઘાત - તો, આપણે

ઘાતાંક (એક્શ્પોનેંટ) મોડ્યુલથી જાણીએ છીએ.

બે ની ત્રણ ઘાત આઠ થાય.

અને ફરી એક વાર, આ બે (૨) છે, z નહિ.

બે ની ત્રન ઘાત આંઠ થાય, અને વાસ્તવમાં એટલા જ થાય છે.

લોગ-- અને લોગ ટુકો શબ્દ છે લોગરીથ્મ(લઘુગણક) માટે.

લોગ આઠ (૮) આધાર બે(૨) એ ત્રણ(૩) થાય,

મને લાગે છે કે જ્યારે તમે એ જોયુ છે તો તમે ઓહ કેહવા જઇ રહ્યા છો,

તે થોડુક સમજાવવાનો પ્રયત્ન કરતુ હોય એમ લાગે છે.

જો હુ તમને પુછુ કે લોગ આઠ(૮)અધાર બે(૨) તો,

૨ ની કેટ્લી ઘાત બરાબર આઠ(૮) થાય?

તો લઘુગણકનો જવાબ એજ-- તમે કહી શકો છો તે લઘુગણક સમીકરણનો જવાબ

,અથવા જો તમે આ લઘુગણક સમીકરણનુ મૂલ્યાંકન કરો તો,

તમને તે સંખ્યા મળી જવી જોઇએ કે જે હકિકતે ઘાતાંક છે કે

૨ નુ એવુ કરો કે જવાબ આઠ મળે.

અને ફરી એક વખત, એ ત્રણ થાય.

ચાલો થોડાક વધુ ઉદાહરણો જોઈએ અને મને લાગે છે કે તેથી તમને સમજાઇ જશે.

જો હું કહું લોગ --મારી પેનને શું થશે?

લોગ ૬૪ આધાર ૪ એ x બરાબર થાય.

આ સમીકરણને બીજી રીતે લખવું હોય તો ધારે કે ચારની

X ઘાત ૬૪થાય.

અથવા બીજી રીતે તે વિષે વિચાર કરીએ, ચારની કેટલી

ઘાત ૬૪ બરાબર્ થાય?

સારુ, આપણે જાણીએ છીએ કે ચાર ની ત્રણ ઘાત ૬૪ થાય.

તો આપણે જાણીએ છીએ કે આ કિસ્સામાં, એ ત્રણ (૩) થાય.

તેથી લોગ ૬૪ આધાર ૪ એ ૩ થાય.

મને વધુ ઉદાહરણો કરવા દો અને મારો વિચાર છે કે જેટલા વધુ

ઉદાહરણો જોશો, તો એ સમજવાનું શરુ થઇ જશે

લઘુગણક એ સરળ છે, પણ મને લાગે છે કે

તેઓ મુંજવણ મા છે કારણ કે તે ઘાતાંક(એક્શ્પોનેંટ) નો વ્યસ્ત છે ,

કે જે પોતે જ મુંજવણ ભર્યો ખ્યાલ છે.

તો લોગ દશ લાખ આધાર ૧૦ શુ થાય.

વધુ ખાત્રી કરવા માટે કેટલાક અલ્પવિરામ મુકો.

તેથી આ પ્રશ્ન ચિહ્ના બરાબર થાય.

સારુ, આપણે આપણી જાત ને પુછીએ 10 ની કેટલી ઘાત

દશ્ લાખ થાય.

અને દસ ની કોઇ પણ ઘાત એ એકની પાછળ

ઘાતંક -- જો તમે કહો કે દસ ની પાંચ ઘાત, એ

એક ની પાછળ પાંચ શુન્ય બરાબર થાય.

તેથી, જો એક ની પાછળ છ (૬) શુન્ય તો એ

દસ ની છ (૬) ઘાત બરાબર થાય.

તેથી દશ ની છ (૬) ઘાત દસ લાખ બરાબર થાય.

તેથી, દશ ની છ ઘાત એ લોગ દસ લાખ આધાર

૧૦ એ છ(૬) થાય.

યાદ રાખો કે, આ એ ઘાતાંક (એક્શ્પોનેંટ) છે જે

એક લાખ મેળવવા માટે આપણે દશ ને વધાર્યા છે.

હુ જાણુ છુ કે હુ તમને આ હજારો અલગ અલગ રીતે કહિ રહ્યો છુ અને

સદનસિબે, લાખો માથી એક બે જે હુ

સમજાવી રહ્યો છુ એ ખરેખર સમજી શકાશે.

ચલો કેટ્લાક વધુ જોઇએ.

હકિકતે, હુ જરા વધારે અટ્પટુ(confusing) કરીશ.

લોગ ૧/૨ આધાર ૧/૮.

ચલો એ x બરાબર છે એમ ધારીએ.

તેથી, યાદ કરો કે, એ

૧/૨ કેહવા જેવુ છે.. વાહ્હ્હ્હ....

૧/૨

એ કદાચ કૌસ હોવા જોઇએ.

x ની ઘાત ૧/૮ બરાબર છે.

સારુ, આપણે જાણીએ છીએ કે ૧/૨ ની ત્રણ ઘાત ૧/૮ થાય.

તેથી, લોગ ૧/૮ આધાર ૧/૨ એ ત્રણ(૩) થાય.

ચલો મને બીજા વધારે ઉદાહરણ કરવા દો.

હકિકતે, મને જરા મિશ્રણ કરવા દો.

ચલો કહિએ કે, લોગ સત્તાવિસ(૨૭) આધાર x એ ત્રણ(૩) છે.

તો x શુ થાય?

આ આપણે આગળ જોયુ એવુ જ છે, અહીં x ની

ત્રણ ઘાત સત્તાવીસ થાય.

અથવા x એ સત્તાવીસ નુ ઘનમુળ છે.

અને આ બધાનો મતલબ અએ થાય કે કોઇ સંખ્યા ને

એના જ ત્રણ ગણા એ સત્તાવીસ થાય.

અને હવે તમને સમજ પડી હશે કે એ

સંખ્યા ત્રણ હશે.

x બરાબર ત્રણ થાય.

તો આપણે લખી શકીએ કે લોગ સત્તાવીસ આધાર ત્રણ એ ત્રણ થાય.

હવે મને બીજા એક ઉદ્દાહરણ વીશે વીચારવા દો.

હુ ફક્ત નાની સંખ્યા ના જ ઉદ્દાહરણ લઇ રહ્યો છુ કેમ કે મારી પાસે

કેલ્ક્યુલેટર નથી અને મારે એ મારા મગજ માં જ કરવા પડે છે.

તો લોગ શુ છે? -- ચલો મને આ વીશે વિચારવા દો.

લોગ એક(૧) આધાર સો (૧૦૦) શુ થાય?

આ જરા મુશ્કેલ છે.

તો ફરી એક વાર, ચલો કહીએ કે આ

પ્રશ્નાર્થ ચિહ્ન(?) બરાબર થાય.

તો યાદ કરો કે આ લોગ એક આધાર સો (૧૦૦) છે.

તેથી આ એવુ કેહવા માગે છે કે, પ્રશ્નર્થ ચિહ્ના (?) ની સો(૧00) ઘાત

એ એક(૧) થાય.

સારુ, આપણે શુ કરવુ જોઇએ કે-- જો આપણી જોડે એક સંખ્યા હોય

અને એમાથી એક (૧) જવાબ મેળવવા માટે એની કેટ્લી ઘાત જોઇએ?

સારુ, જો તમને ઘાતાંક(એક્શ્પોનેંટ)ના નિયમો માથી અથવા

ઘાતાંક(એક્શ્પોનેંટ)ના નિયમો સિવાયના માથી કાઇ યાદ હોય તો

કોઇ પણ ની શુન્ય (0) ઘાત એક (૧) થાય.

તો આપણે કહી શકીએ કે સો(૧00) ની શુન્ય(0) ઘાત એક(૧) થાય.

તેથી આપણે કહી શકીએ કે લોગ એક આધાર સો(૧00) એ શુન્ય (0) થાય.

કારણ કે એકસો ની શુન્ય ઘાત એક થાય.

ચલો મને બીજો એક પ્રશ્ન પુછવા દો.

જો હુ પુછુ કે, લોગ શુન્ય આધાર બે શુ થાય?

તો એ શુ થાય?

સારુ, હુ શુ પુછી રહ્યો છુ, હુ કહી રહ્યો છુ બે(૨)-- ચલો

કહીએ કે એ x છે.

બે ની x ઘાત એ શુન્ય છે.

તો x શુ થાય?

સારુ, એવી કોઇ સંખ્યા છે કે જેને બે (૨) ની

ઘાત બનાવતા જવાબ શુન્ય મળે?

ના.

તો આ નક્કી કરી શકાય તેમ નથી.

નક્કી ન કરી શકાય એવી અથવા કોઇ જવાબ નથી.

એવી કોઇ સંખ્યા નથી કે જે બે(૨) ની

ઘાત થાય અને જવાબ શુન્ય મળે.

એજ રીતે, જો હુ તમને પુછુ કે લોગ

ઋણ સંખ્યા આધાર ત્રણ (3).

અને આપણે ધારીએ કે આપણે પ્રાક્રુતીક સંખ્યા ને લઇ રહ્યા છીએ,

કે જે મને લાગે છે કે એ મોટાભાગ ની સંખ્યા છે કે જેની

જોડે તમે સંકળાયેલા હોવ છો.

એવી કોઇ સંખ્યા નથી કે જેની ત્રણ ઘાત કરતા

ઋણ સંખ્યા મળે, તેથી આ અનડિફાઇન એટલે કે એનો કોઇ જવાબ નથી.

તો જ્યારે આધાર ધન હોય, ત્યારે એ

સંખ્યા નો જવાબ મેળવવા માટે, એ

સંખ્યા થી મોટી અથવા સમાન હોવી જોઇએ.

એ શુન્ય કરતા મોટી હોવી જોઇએ.

શુન્ય બરાબર નહિં.

તે શુન્ય અને ઋણ ના હોઇ શકે.

ચલો કેટ્લાક વધુ ઉદ્દહરણ જોઇએ.

મને લાગે છે મારી જોડે બીજી એક મિનીટ અને અડધી મિનીટ એટલે કે દોઢ મિનીટ છે.

તમે હવે ઓલરેડી પેહલા લેવલ ના લઘુગણક મોડ્યુલ થી તૈયાર છો.

પણ ચલો બીજા કેટલાક જોઇએ.

અહિ હુ જરા ફેરવુ છુ,

લોગ એક/ચોસઠ આધાર આઠ શુ થાય?

રસપ્રદ છે.

આપણે જાણીએ છીએ કે લોગ ચોસઠ(૬૪) આધાર આઠ(૮) નો જવાબ બે(૨) થાય, સાચુ કે?

કારણ કે આઠ નો વર્ગ ચોસઠ થાય.

પણ આઠ ની કેટ્લી ઘાત કરીએ તો એક/ચોસઠ (૧/૬૪) થાય?

સારુ, આપણે ઋણ હિમાયતી (એક્શ્પોનેંટ) મોડ્યુલ માથી શીખ્યા કે

એ ઋણ બે (-૨) થાય.

જો તમને યાદ હોય તો, આઠ ની ઋણ બે (-૨) ઘાત એ

એક/આઠ (૧/૮) ની બે ઘાત એટ્લે કે વર્ગ બરાબર થાય.

આઠ નો વર્ગ એ એક/ચોસઠ (૧/૬૪) બરાબર થાય.

રસપ્રદ છે.

હુ એ તમને વીચારવા માટે આપુ છુ.

જ્યારે તમે કોઇ લઘુગણક નો વ્યસ્ત કરો છો તો

એનો જવાબ ઋણ મળે છે.

અને આપણે બીજા ઘણા લઘુગણક ઉદ્દાહરણ અને

લઘુગણક ના બીજા ઘણા ગુણધર્મો ભવિષ્ય ના મોડ્યુલ મા જોઇશુ.

પણ હુ વિચારુ છુ કે તમે આ તબક્કે

લઘુગણક ના પ્રથમ લેવલ માટે તૈયાર છો.

ચલો તો બીજા મોડ્યુલ મા મળીશુ.