Introduction to Logarithms

An introduction to logarithms

Benvenuto alla presentazione sui logaritmi.

E' bene vederla almeno una volta.

Fammi assicurare che la penna funzioni.

Logaritmo.

Questa è una delle parole che scrivo sempre sbagliata.

Sono andato al MIT e in realtà uno dei uno dei gruppi a cappella

si chiamava i Logarhythms.

Come il ritmo (rhythm), come la musica.

Ma comunque, sto divagando.

Ma cos'è un logaritmo?

Beh, il modo più semplice per spiegare cos'è un logaritmo

è --- credo si possa dire che sia l'inverso

di prendere l'esponente o roba simile.

Mi spiego.

Se dico che 2^3 --- beh, lo sappiamo

dal modulo sugli esponenti.

2^3, beh è pari a 8.

E ancora una volta, questo e' un 2, non è una Z.

2^3 fa 8, quindi esce fuori che in realta'

log --- e log è l'abbreviazione di logaritmo ---

logaritmo in base 2 di 8 è pari a 3.

Magari quando lo vedi dici: oh

comincia ad avere un senso.

Questo dice, se ti chiedo quant'e' il logaritmo in base 2 di 8,

questo dice: 2 elevato a quale potenza è pari a 8?

Quindi la risposta di un logaritmo - puoi dire la risposta a questa

espressione logaritmica, o se calcoli questa

espressione logaritmica, ottieni un numero che è in realtà

l'esponente a cui avresti elevato il 2 per arrivare a 8.

E ancora una volta, questo e' 3.

Facciamo un altro paio di esempi e credo che lo capirai.

Se dovessi dire log --- che è successo alla penna?

logaritmo in base 4 di 64 è uguale a x.

Un altro identico modo di riscrivere questa equazione e' dire

4 ^ x = 64

O pensandoci diversamente, 4 elevato a cosa

è uguale a 64?

Beh, sappiamo che 4 alla terza potenza è 64.

Percio' sappiamo che in questo caso, questo equivale a 3.

Quindi log base 4 di 64 è pari a 3.

Fammi fare un altro po' di esempi e credo che

piu' esempi vedi, piu' inizierà ad avere un qualche senso.

I logaritmi sono un'idea semplice, ma penso che ti possano

confondere perché sono l'inverso dell'elevamento a potenza,

che a volte è gia' di per sé un concetto confuso.

Allora, qual è il logaritmo in base 10 di diciamo, un milione.

Metto un po' di punti qui per star sicuri.

Quindi questo e' uguale a punto interrogativo.

Bene, tutto quello che dobbiamo chiederci è 10 alla quale potenza

è pari a un milione.

E dieci alla qualsiasi potenza è di fatto uguale a 1

seguito dalla potenza di --- se dici 10 alla quinta potenza, è pari

a 1 seguito da cinque zeri.

Quindi, se abbiamo 1 seguito da 6 zeri questo è come

10 alla sesta potenza.

Quindi, 10 alla sesta potenza è pari a un milione.

Quindi, dato che 10 alla sesta potenza è pari a un milione,

logaritmo in base 10 di un milione è uguale a 6.

Basta ricordare: il 6 è l'esponente a cui eleviamo 10

per ottenere il milione.

Lo so che lo sto dicendo in cento modi diversi

e spero che uno o due di questi milioni di modi diversi

in cui lo spiego abbia un senso.

Facciamone un altro po'.

In realtà, ne farò anche uno un po' spiazzante.

log base 1/2 di 1/8.

Diciamo che questo è uguale a x.

Quindi ricordiamoci, è semplicemente

come dire che 1/2 --- oops.

1/2 ---

dovrebbe essere tra parentesi ---

alla potenza di x è uguale a 1/8.

Bene, sappiamo che 1/2 alla terza potenza è pari a 1/8.

Quindi log base 1/2 di 1/ 8 è uguale a 3.

Fammi fare un altro po' di problemi.

In realtà, fammi mischiare un po'.

Diciamo che log base x di 27 è uguale a 3.

Quant'è x?

Bene, proprio come quello che abbiamo fatto prima, questo dice che

x alla terza potenza è pari a 27.

Oppure x è uguale alla radice cubica di 27.

E tutto ciò significa che c'è qualche numero che moltiplicato

per se' stesso tre volte è uguale a 27.

E credo che a questo punto tu sappia

che quel numero sarebbe 3.

x è uguale a 3.

Quindi potremmo scrivere logaritmo in base 3 di 27 è pari a 3.

Fammi pensare ad un altro esempio.

Faccio solo numeri relativamente piccoli perché non ho

con me una calcolatrice e devo fare tutto a mente.

Allora, qual è log --- fammici pensare.

Qual è il logaritmo in base 100 di 1?

Questo è un problema a trabocchetto.

Quindi, ancora una volta, diciamo semplicemente che questo è uguale

al punto interrogativo.

Quindi ricordati: questo è logaritmo in base 100 di 1.

Quindi questo dice 100 elevato a punto interrogativo

è uguale a 1.

Ebbene, a cosa dobbiamo elevare --- se abbiamo un numero

e lo eleviamo a quale potenza, quand'e' che fa 1?

Bene, se ti ricordi le regole degli esponenti, o meglio

non dalle regole degli esponenti, dai moduli sugli esponenti, qualsiasi cosa

alla potenza di zero è pari a uno.

Quindi potremmo dire che 100 alla potenza di 0 è uguale a 1.

Quindi potremmo dire logaritmo in base 100 di 1 è uguale a 0

perché 100 alla potenza di zero è pari a 1.

Fammiti porre un'altra domanda.

Se ti chiedessi logaritmo, diciamo base 1 di 0?

Allora, a quant'e' uguale?

Bene, quello che ti sto chiedendo, sto dicendo 1 ---

diciamo che è uguale a x.

2 alla qualche potenza x è pari a 0.

Quindi quant'è x?

Beh, esiste qualcosa a cui posso elevare 2

per ottenere 0?

No.

Quindi questo fa indefinito.

Soluzione indefinita o nessuna soluzione.

Non c'è nessun numero a cui possa elevare 2

per ottenere 0.

Allo stesso modo se ti chiedeessi logaritmo base 3

di diciamo -1.

E assumiamo di avere a che fare con i numeri reali,

che sono la maggior parte dei numeri con cui penso a questo punto

tu abbia avuto a che fare.

Non c'è nessuna potenza a cui possa elevare 3

per ottenere un numero negativo, quindi questo è indefinito.

Quindi, fintanto che hai una base positiva qui,

questo numero, per poter essere definito, deve essere maggiore di ---

beh, deve essere maggiore o uguale --- no.

Deve essere maggiore di zero.

Non uguale a.

Non può essere zero e non può essere negativo.

Facciamo un altro paio di problemi.

Credo di avere un altro minuto e mezzo.

Sei già preparato per fare il modulo di livello 1 sui logaritmi,

ma facciamone un altro paio.

Qual è il logaritmo in base 8 - ne faccio uno un po'

spinoso --- di 1 / 64.

Interessante.

Sappiamo che il logaritmo in base 8 di 64 sarebbe uguale a 2, giusto?

Perché 8 al quadrato è pari a 64.

Ma 8 a quale potenza equivale a 1 / 64?

Bene, abbiamo imparato dal modulo sugli esponenti negativi

che è uguale a 2 negativo.

Se ti ricordi, 8^-2 è lo stesso

di 1 / 8 alla seconda.

8 al quadrato, che è pari a 1 / 64.

Interessante.

Te lo lascio per pensarci su.

Quando prendi l'inverso di qualsiasi cosa di cui tu stia

calcolando il logaritmo, esce fuori una risposta negativa.

E faremo molti altri problemi sui logaritmi ed esploreremo

molte di più delle proprietà dei logaritmi nei moduli futuri.

Ma penso che sia pronto a questo punto per fare il primo livello

degli esercizi sui logaritmi.

Ci vediamo nel prossimo modulo.