Angles Formed by Parallel Lines and Transversals

Diciamo che abbiamo qui due rette.

Chiamiamo questa retta qui sopra retta AB.

Quindi A e B si trovano su questa retta.

E abbiamo quest'altra retta qui.

Chiameremo questa retta CD.

Quindi la retta passa per il
punto C e per il punto D.

E continua all'infinito.

Diciamo che entrambe queste
rette si trovano sullo stesso piano.

E in questo caso
il piano è il nostro schermo,

oppure il piccolo
foglio di carta che

stiamo guardando.

Queste rette non si intersecano mai.

Sono sullo stesso piano, ma

non si intersecano mai.

Se queste due affermazioni sono
vere, e se le rette non sono

coincidenti, non si intersecano mai

e possono essere
sullo stesso piano,

quindi diciamo che queste
rette sono parallele.

Vanno nella stessa
direzione in generale,

in effetti, proprio nella
stessa direzione.

Se lo guardiamo da
un punto di vista algebrico,

diciamo che hanno lo
stesso coefficiente angolare,

ma intercettano y in punti diversi.

Esse comprendono punti diversi.

Se disegniamo i nostri
assi coordinati qui,

le rette li intersecano
in punti diversi,

ma hanno esattamente
la stessa pendenza.

E quello che voglio
fare è pensare a quale

relazione c'è tra
angoli e rette parallele.

Qui abbiamo
queste due rette parallele.

Possiamo dire che la retta
AB è parallela alla retta CD.

A volte lo vedrai indicato

sui disegni geometrici
in questo modo.

Si mette una piccola
freccia qui per mostrare

che queste due
rette sono parallele.

E se hai già
usato la freccia singola,

si può mettere una doppia freccia per
mostrare che questa retta è parallela

a quest'altra qui.

Fatto questo, quello che voglio fare è

tracciare una retta che intersechi
entrambe queste rette parallele.

Ecco una retta che le
interseca entrambe.

La disegno un po' meglio.

La disegno qui.

Anzi, faccio alcuni punti qui.

E chiamo questa retta l.

Questa retta che interseca
entrambe le rette parallele,

la chiamiamo trasversale.

Questa è una retta trasversale.

È trasversale rispetto a
entrambe le rette parallele.

È una trasversale.

E voglio ragionare sugli
angoli che si formano,

e a come sono
in relazione tra loro.

Gli angoli formati dall'intersezione

tra questa retta trasversale
e le due rette parallele.

Possiamo, prima di tutto, iniziare

con questo angolo qui.

Possiamo chiamare questo angolo--

beh abbiamo dei riferimenti qui,

D, questo punto, e poi qualcos'altro.

Mi limiterò a considerare
questo angolo qui.

Sappiamo che è uguale
al suo angolo opposto al vertice.

Questo angolo è opposto
al vertice a quest'altro.

Quindi sarà uguale a quest'altro angolo.

Sappiamo anche che
questo angolo qui,

è uguale al suo angolo
opposto al vertice, cioè l'angolo

opposto all'intersezione.

Cioè sarà uguale a questo.

E a volte lo vedrai indicato così,

con un doppio segno di
angolo come questo.

Oppure a volte qualcuno
usa questo segno

per mostrare che
questi due sono uguali

e questi due sono uguali.

Ora l'altra cosa
che sappiamo è che

possiamo fare esattamente
la stessa cosa qui sopra,

questi due sono uguali tra loro

e questi due sono uguali tra loro.

Sono tutti angoli opposti al vertice.

La cosa interessante qui
è pensare alla relazione

tra questo angolo qui e questo angolo

proprio qui.

Se guardi, in realtà è ovvio

qual è la relazione-- cioè

sono esattamente uguali,

se metti il goniometro qui e li misuri

ottieni la stessa ampiezza per entrambi.

Se disegno due rette parallele,

le disegno in orizzontale, così

forse è un po' più evidente.

Diciamo che queste
due rette sono parallele,

e ho una trasversale qui,
quello che sto dicendo

è che questo angolo sarà

esattamente identico
a questo angolo.

Per visualizzarlo, immagina
di inclinare questa retta.

Con diverse inclinazioni--

fino a che assomiglia
al caso che abbiamo qui.

Se metti la retta così e guardi,

è chiaro che questo
è uguale a questo.

E in realtà non c'è alcuna
dimostrazione di questo.

È una di quelle cose
che per un matematico

sono intuitivamente ovvie, che se guardi

inclinando questa retta,

dirai che questi angoli sono uguali.

Oppure pensa di mettere
un goniometro qui

per misurare questi angoli.

Se metti qui un goniometro,

hai un lato dell'angolo a zero gradi,

e l'altro lato specifica la misura.

Se metti il goniometro qui,

accade esattamente la stessa cosa.

Un lato sarebbe su
questa retta parallela,

e l'altro lato indicherebbe
esattamente sulla stessa misura.

Detto questo, sappiamo non solo che

questo lato è
equivalente a questo lato,

ma è anche equivalente
a questo lato qui.

Perciò questo è anche

equivalente a questo lato quaggiù.

Tutte queste cose
in verde sono equivalenti.

E per la stesso identico
ragionamento, questo angolo

ha la stessa ampiezza di questo angolo.

Ed è uguale a questo angolo,

perché sono opposti al vertice.

La cosa importante da capire

è proprio quello che abbiamo dedotto qui.

Gli angoli opposti al vertice
sono uguali e gli angoli corrispondenti

agli stessi punti di
intersezione sono uguali.

Questa è una nuova definizione

che sto introducendo proprio ora.

Questo angolo e questo
angolo sono corrispondenti.

Rappresentano diciamo
l'angolo in alto a destra,

in questo esempio,
rispetto all'intersezione.

Qui rappresentano ancora,
direi, l'angolo in alto a destra

rispetto all'intersezione.

Questo sarebbe
l'angolo in alto a sinistra.

Sono sempre uguali,
gli angoli corrispondenti.

E ancora una volta,
in realtà credo

per mancanza di un termine
migliore, è abbastanza ovvio.

Ci sono altre parole

che si possono incontrare.

Abbiamo essenzialmente appena
dimostrato che non solo questo angolo

è equivalente a questo
angolo, ma è anche

equivalente a questo angolo qui.

E questi due angoli--
gli do un nome in modo

che possiamo andare avanti.

Utilizzo lettere in minuscolo

per gli angoli.

Chiamiamoli a, b, c, tutti in minuscolo.

c in minuscolo per l'angolo,
d in minuscolo,

e poi questi e, f, g, h.

Ora per gli angoli opposti al vertice
sappiamo che b è uguale a c.

Ma sappiamo anche
che b è uguale a f

perché sono angoli corrispondenti.

E che f è uguale a g.

Gli angoli opposti
al vertice sono equivalenti,

gli angoli corrispondenti
sono equivalenti,

e sappiamo anche,
ovviamente, che b è uguale a g.

Quindi si dice che gli angoli
alterni interni sono equivalenti.

Vedi che sono all'interno

dell'intersezione.

Si trovano tra le due rette, ma

su lati opposti della trasversale.

Non devi sapere questa strana parola,

angoli alterni interni, in realtà

lo deduci da quello
che abbiamo visto qui.

Sai che gli angoli opposti
al vertice sono uguali

e che gli angoli
corrispondenti sono uguali.

E lo vedi anche con gli altri.

Sappiamo che a è uguale a d,

è uguale a h, che è uguale a e.