Angles Formed by Parallel Lines and Transversals

ここに２つの直線を書きます。

１つの直線を直線ＡＢとします。点Ａと点Ｂの両方を通る直線です。

さらにもう１つの直線がここにあります。

この直線を直線ＣＤとします。

点Ｃと点Ｄを通り，果てしなく伸びる線です。

これらの直線は同一平面上にあります。この場合の平面は，このスクリーンかみなさんが見ている小さな紙切れのことですね。

この２直線は絶対に交わりません。絶対に交わりません。同一平面上において，お互いに絶対に交わりません。

もし，２直線が同じ直線ではなく，絶対に交わらず，同一平面上にあるのなら，２直線は平行であると言えます。２直線は平行であると言えます。

２直線は全く同じ方向を，間違いなく同じ方向を向いており，

数学的に見ると，同じ傾きをもっていると言えます。

２直線が他の直線と交わるときは，異なる交点を持ちます。

もし，ここに座標軸をかけば，２直線は異なる２点で交わります。しかし，２直線は同じ傾きをもっています。

これから平行線と角度の関係について考えましょう。

ここに２つの直線をかきました。

直線ＡＢは直線ＣＤに平行とかくことができます。

数学の記号を用いてこのようにかくことができます。

また，このように小さい矢のような記号を用いることで，２直線の平行を表すことができます。

矢の記号を１つだけでなく，２つにすることでも，

この直線とこの直線の平行を表すことができます。

今，２つの平行線に交わるように直線をひきます。

２直線に交わるようにこのようにひきます。

そして，この直線を直線Ｌとします。

直線Ｌは平行な２直線に交わり，

この直線Ｌを横断線と言います。

横断線は，２つの平行線を横断しています。

ここで，横断線によってできた角について考えてみましょう。

そして，できた角の間にどのような関係があるのか考えてみましょう。

横断線と２つの平行線の交点にできた角について考えてみます。

始めに，ここにある角について考えてみます。

この角は

Ｄと何か他の点を用いて表せそうですが，

あえてこの角と言います。

この角はこの角の対頂角と等しいことは知っていますね。

この角はこの角と対頂角の関係にあります。

つまり，この角とこの角は等しくなります。

また，この角は，この角と対頂角の関係にあるので，等しくなります。

また，交点を挟む２つの角は等しいということが言えます。

このことを，このように２重の角の記号を用いて表すこともできます。

もしくは，このように表すこともできます。

この２つの角と，この２つの角は等しいことがわかりました。

ここで全く同じことを考えることができます。

この２つの角とこの２つの角はそれぞれ等しいです。

これらは全て対頂角です。

ここで面白いのは，これらの角の関係を考えることです。

ここにあるこの角とこの角の関係をつかむことです。

もし，この２つの角の関係に気づいていたら，

２つの角が全く等しくなることは明らかでしょう。

そして，もし分度器を用いて測ってみたら，角は等しくなるでしょう。

もし私が左右にまっすぐな平行線をかいたら，それはさらにはっきりするでしょう。

この２つの直線を平行だと仮定し，ここに横断線をかくと

この角はこの角と全く同じ大きさになります。

ここから予想できるのは，この線よりも傾いた直線でもこのことが成り立つことです。

この場合においても，このように直線をひけばここに角ができ，

この角とこの角が等しいことは，証明するまでもないくらい明らかです。

これは数学者が直観的に明らかだということの１つです。

つまり，直線をどのように傾けても，これらの角は等しくなるということが言えます。

もしくは，分度器をここにおいて実際に角度を測ってみてもいいでしょう。

ここに分度器を置いたら，０°を示す目盛をこの辺に合わせ，もう一つの辺にある目盛を読み取ります。

そして，ここにも分度器を置いて，同じように測ります。

一方の目盛をこの平行線の上に置き，もう一方の点にある目盛を読み取ります。

このことから，この角と

この角とこの角が等しいだけではなく，この角も等しいということが分かります。そして，この角もまた等しいということが分かります。

つまり，緑の角は全て同じ理由から等しいということが言えます。

この角とこの角は

同じ角度をもち，この角度とも等しいということが言えます。なぜなら，これらは，向かい合った角，または対頂角だからです。

ここで重要なことは，対頂角は等しいということと，同位角は等しいということです。

新しい用語をここで紹介すると，この角とこの角は同位角です。

この例で言うと，それぞれの交点の右上にあります。こっちの角でも交点の右上にあります。

これは交点の左上と左上です。同位角は常に等しいということが言えます。

もう一度言いますが，これは明らかなことです。

その上でみんながわかるように言い換えると，この角とこの角が等しいだけでなく，

この角とこの角が等しいこともまた本質的に証明できます。そして，これらの２つの角は，

小文字を使って次のように表すことができます。

これを小文字a，これを小文字ｂ，これを小文字ｃで表します。

小文字ｄ，

そして，e，f，g，hと表します。

対頂角が等しいことから，ｂ＝ｃであることがわかります。

そして，ｂ＝ｆであることもわかります。なぜなら，同位角だからです。

そして，＝ｆとなり，＝ｇであることもわかります。対頂角は等しい，同位角は等しいことから

明らかにｂ＝ｇであることがわかりました。

そして，ここから錯角が等しいことがわかります。

それらは２直線の交点の内側にあり，

それぞれ横断線の反対側にあることがわかります。

「錯角」という言葉は知らなくてもよいのですが，

この図で見たことは，覚えなければなりません。対頂角は等しくなり，同位角も等しくなる。

そして，もう一つのことも同じように覚えてください。∠aと∠dは等しくなり，∠hと∠eも等しくなります。