Angles Formed by Parallel Lines and Transversals

Tuna mistari miwili hapa.

Tuuite huu mstari hapa, AB.

A na B zote ziko kwenye mstari.

Tuna mstari mwingine hapa.

Huu tunauita mstari CD.

Hivyo umepita kwenye nukta C na nukta D.

Na unaendelea bila kikomo.

Hii mistari imekaa sehemu moja.

Kwa hali hii, sehemu yenyewe ni kioo chetu,

au sehemu ndogo ya karatasi ambayo

tunaiangalia hapa.

Na haijawahi kuingiliana.

Hivyo ipo sehemu moja, lakini

haijawahi kukutana.

Kama hivi ni kweli na endapo sio

mstari mmoja, haiwezi kukutana

na ipo sehemu moja,

hivyo tunasema hii mistari ni sambamba.

Inaelekea kwenye uelekeo mmoja,

uelekeo mmoja.

Kama tukiitazama kama algebra,

tungeweza kusema ina mteremko sawa.

ila haiwezi kukutana.

Zinatumia nukta tofauti.

Tukichora mistari ya majira hapa,

zingekutana katika nukta tofauti,

ila zingekuwa na mporopoko sawa.

Ninachotaka kufanya ni kutafuta

pembe zinazohusiana na mistari sambamba.

Hivyo hapa, tuna mistari sambamba miwili.

Tunaweza kusema mstari AB ni sambamba kwa mstari CD.

Wakati mwingine unaweza kuona imebainishwa

kwenye mchoro kama huu.

Wanaweka mshale kuonesha

kuwa hii ni mistari sambamba.

Na kama umeshatumia mshale mmoja,

wanaweza kuweka mishale miwili kuonesha huu mstari ni sambamba

na huu mstari hapa.

Sasa baada ya hapo, ninachotaka kufanya

ni kuchora mstari utakaoingiliana na hii mistari sambamba.

Huu ndio mstari unaoingiliana na yote.

Ngoja nichore vizuri.

Nachora huo mstari hapo.

Nitafanya kitu hapa.

Ninauita huu mstari L.

Na huu mstari unaoingiliana na mistari sambamba,

tunauita mkingamo.

Huu ni mstari kingamo.

Unapishana na mistari sambamba yote.

Huu ni mkingamo.

Ninachotafuta ni pembe zinazotengenezwa,

na zinavyoendana na nyingine.

Pembe zilizotengenezwa kwenye mapishano

baina ya mstari kingamo na mistari sambamba.

Kwanza, tunaweza kuanza na

hii pembe hapa.

Tunaweza kuiita hii pembe--

kama nikiamua kUweka jina, itakuwa

D, hii nukta na kisha kitu kingine.

Ninaweza kuiita hii pembe hapa.

Tunafahamu hii itakuwa sawa na pembe inayoelekeana nayo.

Hivyo hii pembe inaelekeana na hii.

Hivyo itakuwa sawa na hiyo pembe hapo.

Pia tunafahamu hii pembe hapa,

itakuwa sawa na pembe inayoelekeana nayo, au pembe

inayotizamana nayo baada ya kukutana.

Hivyo itakuwa sawa na hiyo.

Wakati mwingine inaweza kubainishwa hivi,

ambapo unaweza kuona alama za pembe mbili kama hiyo.

Au wakati mwingine mtu anaweza kuandika

hivi ilikuonesha kuwa hizi pembe zinalingana

na hizi mbili hapa pia zinalingana.

Sasa jambo lingine tunalofahamu ni

tunaweza kufanya zoezi kama hilo hapa juu,

hizi mbili zitakuwa zinalingana

na hizo zitakuwa zinalingana.

Zote ni pembe mshabaha.

Kinachoshangaza hapa ni kuangalia mahusiano

baina ya hii pembe hapa, na hii pembe

hapa juu.

Na kama ukiangalia tu, utaona

uhusiano wenyewe ni upi--ni kwamba

zinakuwa ni pembe zinazolingana, kama

ukiweka kipima pembe na kupima,

utapata vipimo sawa.

Na nikichora mistari sambamba--

Ninachora imenyooka kulia na kushoto,

itakuwa kawaida kidogo.

Nikichukulia hii mistari miwili ni sambamba,

na nina mstari mkingamo hapa, ninachosema ni

hii pembe itakuwa

na vipimo sawa na hii.

Ili kuona hilo, fikiria kama unachora mstari.

Na kadiri unavyoona tofauti-- hivyo

inaonekana ndicho kinachotokea hapa.

Ukichukua mstari kama huu na kuuangalia hapa,

ni wazi kuwa zinalingana.

Na hakuna uhakika kwenye hili.

Hiki ni moja wapo ya vitu ambavyo mtu wa hesabu

atasema ni kawaida, kama ukiangalia

ukiwa unachora mstari, unaweza

kusema hizi pembe zinalingana.

Au unaweza kuweka kipima pembe hapa

ili upime hizi pembe.

Ukiweka kipima pembe hapa, utakuwa

na upande mmoja wa pembe hapa kwenye nyuzi sifuri,

na upande mwingine utaonesha hiyo alama.

Ukiweka kipima pembe hapa,

kitatokea kitu kilekile.

Upande mmoja utakuwa kwenye huu mstari sambamba,

na upande mwingine utakuwa kwenye nukta ileile.

Kwa kupewa hiyo, tunafahamu kwamba sio tuu

upande huu ni sawa na upande huu,

ni sawa pia na huu upande hapa.

Na hiyo inatuambia kuwa pale

pia ni sawa na ule upande pale.

Hivyo hizi zote zenye kijani ni sawa.

Kwa makubaliano yaleyale, hii pembe

itakuwa na vipimo sawa na hii pembe.

Na hiyo itakuwa sawa na hii pembe,

kwa sababu zinaelekeana, au ni pembe mshabaha.

Jambo muhimu la kufahamu

ni tulichokifanya hapa.

Pembe mshabaha zinalingana na pembe mkabala

kwenye sehemu za muingiliano zinalingana.

Hivyo hilo ni jina jipya

ninalitoa hapa.

Hii pembe na hii pembe zinalingana.

Zinawakilisha kona ya juu upande wa kulia,

kwenye huu mfano, tulioufanya.

Hapa pia nafikiri zinawakilisha upande wa juu kona ya kulia

mwa makutano.

Hii itakuwa kona ya juu upande wa kushoto.

Zitakuwa pembe zinazoelekeana na zinalingana.

Kwa mara nyingine nadhani,

kwa kukosekana jina zuri.

Mbali na hilo kuna jina lingine

tutaliona.

Tumehakikisha kuwa sio kwamba tu, hii pembe

ni sawa na hii, bali pia

ni sawa na hii pembe pia.

Na hizi pembe mbili-- ngoja nizipe majina

ili tupige hatua hapa.

Hivyo nitatumia herufi ndogo

kwenye pembe.

Tuiite hii a, hii b

Hii herufi c, herufi d,

kisha hii itakuwa e, f, g, h.

Tunafahamu kwenye pembe mshabaha b ni sawa na c.

Pia tunafahamu b ni sawa na f

kwa sababu ni pembe mkabala.

Kama f ni sawa na g.

Basi pembe mshabaha zinalingana,

Pembe mkabala nazo zinalingana,

pia tunafahamu b ni sawa na g.

Pia tunaweza kusema pembe za ndani zinalingana.

Unaziona zipo kwa ndani

ya mwingiliano.

Zipo kati ya mistari, ila zipo

pande zinazokinzana.

Sio lazima ufahamu hii dhana,

pembe za ndani zinazokinzana, inatakiwa

ufahamu tulichokifanya hapa.

Fahamu pembe mshabaha zinakuwa sawa

na pembe mkabala zinakuwa sawa pia.

Umeona na kwingine pia.

Tunafahamu itakuwa sawa na d, ambayo

itakuwa sawa na h, ambayo itakuwa sawa na e.