Implicit derivative of (x-y)^2 = x + y + 1

Да се упражним в
диференциране на неявни функции.

Нека да намерим
производната на y спрямо x.

Ще предположим, че
y е функция на x.

Нека да запишем означението за производна d/dx

в двете страни на уравнението.

Прилагаме правилата за намиране на производна.

Първо от лявата страна.

Действително просто ще приложим
верижното правило.

Първо търсим производната спрямо

x на (x – y) на квадрат.

Верижното правило ни казва, че това

ще бъде равно на производната на нещо,
което е повдигнато на квадрат,

спрямо нещото, което просто

ще бъде 2 пъти по
(x – y) на първа степен.

Няма да записвам единица ето тук.

Умножено по производната
на нещото спрямо x.

Производната на x спрямо
x е равна на 1,

а производната на y спрямо x,

е това, което искаме
да намерим от уравнението.

Ще бъде равно на 1 – dy/dx.

Нека да изясня малко по-добре

това, което току-що направих ето тук.

Това ето тук е производната

на (x – y) на квадрат спрямо (x – y).

Спрямо (x – y).

А ето това нещо тук е производната

на (x – y) спрямо x.

Просто прилагаме верижното правило.

Нека сега да се прехвърлим към
дясната страна на уравнението.

Това ще бъде равно на производната

на x спрямо x, т.е. е равно на 1.

Производната на y спрямо x.

Ще запишем това като
производната на y спрямо x.

И накрая производната спрямо x

на константа, което ще бъде равно на нула.

Нека сега да проверим, дали може да решим
уравнението за производната на y

спрямо x.

Това е най-очевидното нещо,
което може да направим.

Нека да го изясним.

Това нещо ето тук мога
да го запиша като 2x – 2y.

Нека да го направя,
за да спестя малко място.

Това е равно на 2x – 2y, ако
просто разкрия скобите и умножа по 2.

А сега мога да умножа (2x – 2y)

по всеки един от тези членове.

2x – 2y умножено по 1 е просто
равно на 2x – 2y.

След това 2x – 2y умножено
по минус dy/dx,

което ще бъде равно на минус (2x – 2y).

Можем да го запишем като (2y – 2x) умножено по dy/dx.

умножено по dy/dx.

И е равно на 1 + dy/dx.

Ще направя всички dy/dx в оранжево.

1 + dy/dx

Сега има няколко неща, които

може да се опитаме да направим.

Може да извадим (2x – 2y)
от двете страни на уравнението.

Нека да го направим.

Нека да извадим 2x – 2y
от двете страни на уравнението.

Ето тук ще извадим

2x – 2y от тази страна на уравнението.

След това може също да извадим
dy/dx от двете страни на уравнението,

така че всички членове dy/dx
да останат от лявата страна,

а всички членове, които не са dy/dx,
да останат от дясната страна.

Нека да го направим.

Ще извадим dy/dx
от дясната страна и dy/dx

ето тук от лявата страна.

И какво ни остана сега?

Какво ни остана сега?

От лявата страна на уравнението
ето тези се унищожават.

Остава (2y – 2x) по dy/dx
минус 1 по dy/dx

или просто минус dy/dx.

Нека да го опростим.

Може да запишем ето това
като минус 1 по dy/dx.

Това означава, че може
просто да съберем

тези два коефициента.

Това се опростява до (2y – 2x)
минус 1 по производната

на y спрямо x, което ще бъде

равно на...От тази страна
ето тези се унищожават.

Оставаме с 1 минус 2x + 2y

Нека да го запиша по следния начин.

Или може да го запишем като

минус минус 2y, което
е просто плюс 2y.

След това имаме минус 2x.

След това добавяме това 1, плюс 1.

А сега, за да решим уравнението
за dy/dx, следва просто

да разделим двете страни
на 2y – 2x – 1.

И оставаме просто с...Ето тук

заслужаваме поздравления.

Както можеш да видиш,
най-трудната част беше реално

алгебрата, необходима
да решим уравнението за dy/dx.

Получаваме, че производната на y спрямо

x e равна на 2y – 2x + 1

върху 2y – 2x – 1.