Преговор на тригонометричните тъждества

Преглед на доказателствата на някои от тригонометричните тъждества.

Вече направих няколко видеа за тригонометрични тъждества.

Ще разгледаме няколко и в това видео.

Причината да направя това е, че аз самият имам нужда от преглед,

защото решавах задачи от математически анализ, които изискваха да знам и тригонометрия.

Сега имам и по-добър записващ софтуер и си помислих:

"с един куршум два заека" – хем ще запиша видео,

хем ще си припомня нещата и за себе си.

Тригонометричните тъждества, които приемам, че познаваме,

защото вече съм правил видеа за тях, но са и малко сложни за запомняне или доказване,

едно от тях е: синус от (а плюс b) е равно на

синус от а по косинус от b плюс синус от b по косинус от а.

Това е първото тъждество, което приемам, че знаем.

И ако искаме да намерим синус от...

Ще го запиша по различен начин.

Ако искам да намеря синус от а плюс – ще го запиша така –

минус с, което е същото като 'а минус с', нали?

Добре, можем просто да ползваме тази формула тук и да кажем:

"Това е равно на синус от а по косинус от минус с,

плюс синус от минус с по косинус от а."

Знаем също така, че косинус от минус с

е равно просто на косинус от с.

Косинусът е четна функция.

И можеш да видиш това, гледайки графиката на

функцията косинус или дори единичната окръжност.

А синусът е нечетна функция.

Синус от минус с е равно на

минус синус от с.

Можем да използваме и двете информации, за да пробразуваме

втория ред тук горе, така че синус от (а минус с) да е равно на

синус от а по косинус от с.

Понеже косинус от минус с е същото като

косинус от с.

По косинус от с.

И после, минус синус от с.

Вместо да запиша това, ще запиша следното:

минус синус от с по косинус от а.

Така уж доказахме това, защото знаехме това и това предварително.

Добре.

Ще използвам всички тези, за да докажа още няколко

тригонометрични тъждества, от които ще имам нужда.

Друго тригонометрично тъждество е, че косинус от а плюс b

е равно на косинус от а – в това тъждество не смесваме синусите и косинусите;

на косинус от а по синус от b.

Това е минус... Да, извинявай.

Току-що казах, че не смесваме, и после ги смесих.

... по косинус от b, минус синус от а по синус от b.

Сега, ако искаш да разбереш колко е косинус от (а минус b),

можеш да използваш същите тези свойства.

Косинус от минус b, това е просто косинус от b.

Това ще бъде косинус от а по косинус...

Косинус от минус b е същото като косинус от b;

но тук ще имаме синус от минус b, което е

същото като минус синус от b.

И този минус ще се съкрати, значи става плюс синус от а

по синус от b.

Малко е подвеждащо.

Когато имаш знак плюс тук, получаваш минус тук.

Когато имаш знак минус там, тук става плюс.

Но стига толкова.

Не искам да се спирам на това твърде дълго, защото имаме

още много тъждества за разглеждане.

А ако исках тъждество, да речем, за косинус от 2а?

Така, косинус от 2а.

Добре, това е същото като косинус от (а плюс а).

И после можем да ползваме тази формула ето тук.

Ако моето второ а е моето b тук, тогава това ще е просто равно на

косинус от а по косинус от а,

минус синус от а по синус от а.

Моето b е 'а' в тази ситуация, която мога да преобразувам до:

равно на косинус на квадрат от а –

просто написах косинус от а по същото;

минус синус на квадрат от а.

Това си е още едно тъждество.

Косинус от 2а е равно на косинус на квадрат от а

минус синус на квадрат от а.

Нека отбележа тъждествата, които разглеждаме в това видео.

Току-що ти показах ето това.

Ами ако не съм доволен?

Ами ако искам да присъства само косинус?

Можем да разгледаме определението за единичната окръжност

на нашите тригонометричните функции.

Това е може би най-основното тъждество.

Синус на квадрат на а плюс косинус на квадрат от а

е равно на 1.

Можем да запишем това... Нека помисля за

най-добрия начин да направим това.

Можем да запишем, че синус на квадрат от а е равно на

1 минус косинус на квадрат от а.

След това можем да вземем това и да заместим ето тук.

Можем да преобразуваме това тъждество като равно на

косинус на квадрат от а минус синус на квадрат от а.

Но синус на квадрат от а е това ето тук.

Така че минус – ще направя това в различен цвят;

минус (1 минус косинус на квадрат от а).

Това заместих за синус на квадрат от а.

И това е равно на косинус на квадрат от а, минус 1,

плюс косинус на квадрат от а.

Което е равно на – просто добавяме;

ще продължа вдясно.

Имаме веднъж косинус на квадрат от а плюс още веднъж

косинус на квадрат от а, така че става 2 по косинус на квадрат от а, минус 1.

И всичко това е равно на косинус от 2а.

Сега ако искам да получа тъждество, което ми дава

косинус на квадрат от а по отношение на това?

Ами, можем просто да решим това.

Ако добавим 1 от двете страни на това равенство,

ще го запиша.

Това е още едно от нашите тъждества.

Но ако добавя 1 към двете страни на това равенство, получаваме

2 по косинус на квадрат от а е равно на косинус от 2а плюс 1.

И ако разделим двете страни на това на 2, получаваме

косинус на квадрат от а е равно на 1/2 – сега можем да преместим тези

просто така – по 1 плюс косинус от 2а.

И сме готови.

Имаме още едно тъждество.

Косинус на квадрат от а, понякога се нарича "тъждество

за намаляване на степените", ето тук.

Сега ако искам да открия нещо по отношение на

синус на квадрат от а?

Ами, тогава може би трябва да се върнем тук и ще знаем от това

равенство, че синус на квадрат от а е равно на 1

минус косинус на квадрат от а.

Или може да отидем в обратна посока.

Можем да извадим синус на квадрат от а от двете страни

и ще получим – ще го напиша тук долу.

Ако извадя синус на квадрат от а от двете страни, ще получа

косинус на квадрат от а е равно на 1 минус синус на квадрат от а.

И после можем да се върнем в тази формула ето тук и

да запишем – ще го направя в син цвят.

Можем да запишем косинус от 2а е равно на –

вместо да напиша косинус на квадрат от а, ще напиша това –

е равно на 1 минус синус на квадрат от а,

минус синус на квадрат от а.

Така моят косинус от 2а е равен на колко?

Имам а минус синус на квадрат от а, минус още един

синус на квадрат от а.

Така имам 1 минус 2 по синус на квадрат от а.

Ето тук имаме още едно тъждество.

Друг начин да запишем моя косинус от 2а.

Oткриваме много начини да запишем нашия косинус от 2а.

Сега ако искаме да решим за синус на квадрат от 2а, можем

да го добавим към двете страни на равенството.

Нека го направим, ще го запиша тук,

за да спестя място.

Ще преместя малко по-надолу.

Ако добавя 2 по синус на квадрат от а към двете страни на това,

ще получа 2 по синус на квадрат от а, плюс косинус от 2а, е равно на 1.

Изваждаме косинус от 2а от двете страни.

И получаваме: 2 по синус на квадрат от а е равно на 1 минус косинус от 2а.

След това разделяме двете страни на 2 и получаваме:

синус на квадрат от а е равно на 1/2 по (1 минус косинус от 2а).

Имаме нашето ново откритие, ако мога да се изразя така.

Намерихме го.

И е интересно.

Винаги е интересно да видиш симетрията.

Косинус на квадрат – идентични са, освен това

плюс 2а тук за косинус на квадрат, и имаме минус

косинус от 2а тук за синус на квадрат.

Така вече сме открили много интересни неща.

Да видим дали можем да направим нещо за това синус от 2а.

Ще избера нов цвят тук, който не съм използвал още.

Добре, вече съм използвал всичките си цветове.

Ако искам да намеря синус от 2а, това е равно

на синус от (а плюс а).

Което е равно на синус от а по ко – не

искам толкова дебело;

по косинус от а плюс – а този косинус от а,

това е второто а.

Плюс синус – просто използвам синус от (а плюс b);

плюс синус от второто а по косинус от първото а.

Написах едно и също нещо два пъти, така че това е

2 по синус от а по косинус а.

Това беше малко по-лесно.

Така синус от 2а е равно на това.

Това е друг резултат.

Аз вече малко се поуморих от тези синуси и косинуси.

И успях да получа всички резултати, от които имам нужда

за моята задача от анализ, така че се надявам да е било добър преговор за теб,

защото беше добър преговор и за мен.

Можеш да си запишеш тези неща.

Можеш да ги запаметиш, ако искаш, но наистина е важно

да разбереш, че можеш да извлечеш всички тези формули

първоначалните формули, които имаме тук.

И дори и за тези имам доказателство, което показва как се получават те

само от основните определения на тригонометричните функции.