-
Už jsem udělal pár videí,
kde vysvětluju goniometrické identity,
-
které se teď chystám vysvětlit
v tomto videu.
-
Dělám to, protože si potřebuji
sám zopakovat nějaké věci.
-
Řešil jsem jeden početní příklad
a potřeboval jsem toto znát.
-
A mám teď lepší nahrávací program,
tak zabiju dvě mouchy jednou ranou,
-
nahraju nové video
a trochu si ty věci sám osvěžím.
-
Goniometrické identity, které snad znáte,
protože jsem o nich už videa dělal,
-
a které si trochu lépe
zapamatujeme nebo dokážeme, zní:
-
Sinus (a plus b) se rovná
sinus a krát kosinus b
-
plus sinus b krát kosinus a.
-
To je první identita,
o které předpokládám, že ji znáte.
-
A když pak budeme chtít znát sinus…
Napíšu to trochu jinak.
-
Když budu chtít vyjádřit sinus a plus…
Napíšu to takto, minus c.
-
Což je totéž jako a minus c.
-
Takže můžeme tento vzorec použít a říct,
-
že se to rovná sinus a krát kosinus (-c)
-
plus sinus (-c) krát kosinus a.
-
A my víme, a to je další věc,
o které předpokládám, že ji znáte,
-
že kosinus (-c) se rovná kosinus c.
-
Že kosinus je sudá funkce.
-
Můžete to vidět při pohledu
na graf funkce kosinus
-
nebo přímo na jednotkové kružnici.
-
A že sinus je lichá funkce.
-
Sinus (-c) se vlastně rovná -sinus c.
-
Obě tyto informace můžeme použít,
abychom upravili druhý řádek shora,
-
a napíšeme, že sinus (a minus c)
se rovná sinus a krát kosinus c,
-
protože kosinus (-c)
je totéž jako kosinus c.
-
Krát kosinus c.
-
A pak minus sinus c.
-
Místo, abych psal tohle,
můžu napsat toto.
-
Minus sinus c krát kosinus a.
-
Takže jsme to tak zhruba dokázali
na předchozích znalostí.
-
Dobrá. A teď to použiju, abych dokázal
pár dalších goniometrických identit,
-
které budu potřebovat.
-
Takže další goniometrická identita zní,
že kosinus (a plus b) je roven kosinus a…
-
Nemícháme tady kosiny a siny.
-
Kosinus a krát sinus b.
-
A tady je minus…
Pardon.
-
Řekl jsem, abyste to nespletli,
a sám jsem to spletl.
-
Krát kosinus b
minus sinus a krát sinus b.
-
Když budete chtít vědět,
čemu se rovná kosinus (a minus b),
-
tak použijete ten samý postup.
-
Kosinus (-b) bude pořád
totéž jako kosinus b.
-
Takže to bude
kosinus a krát kosinus…
-
Kosinus (-b) je totéž jako kosinus b.
-
Ale tady pak budete mít sinus (-b),
což je totéž jako -sinus b.
-
A ty minusy se navzájem vyruší,
takže to bude plus sinus a krát sinus b.
-
Je to trochu záludné.
-
Když máte tady kladné znaménko,
dostanete napravo záporné.
-
Když vlevo máte minus,
dostanete vpravo plus.
-
Ale dál.
Nechci se tím moc zdržovat,
-
protože se potřebujeme
podívat na další identity.
-
Takže co když potřebuji vyjádřit,
řekněme, kosinus 2a?
-
Takže kosinus 2a.
-
To je stejné jako kosinus ( a plus a).
-
A můžeme použít vzoreček nahoře.
-
Když to druhé "a" se rovná mému "b",
tak se to rovná
-
kosinus a krát kosinus a
minus sinus a krát sinus a.
-
V tomhle případě je člen "b" taky "a",
-
takže můžu tuhle rovnici přepsat jako
kosinus na druhou "a".
-
Prostě jsem vynásobil
kosinus "a" sám sebou.
-
Minus sinus na druhou "a".
-
To je jedna identita.
-
Kosinus 2a je roven kosinus na druhou "a"
minus sinus na druhou "a".
-
Dám do rámečku identity,
které si ukazujeme v tomhle videu.
-
Takže jednu jsem právě ukázal.
-
Co když mi to nestačí?
Co když to chci vyjádřit v kosinech?
-
Použijeme definici goniometrických funkcí
pomocí jednotkové kružnice.
-
Tohle je úplně nejzákladnější identita.
-
Sinus na druhou "a" plus
kosinus na druhou "a" je roven 1.
-
Nebo to můžete napsat…
Jak bych to nejlíp ukázal.
-
Můžete napsat, že sinus na druhou "a"
je roven 1 minus kosinus na druhou "a".
-
A pak vezmeme levou stranu
a dosadíme ji sem.
-
Takže můžeme zapsat,
že kosinus (2a) je roven
-
kosinus na druhou "a"
minus sinus na druhou "a".
-
Ale sinus na druhou "a" je vyjádřený tady.
-
Takže minus…
Napíšu to jinou barvou.
-
Minus 1 minus kosinus na druhou "a".
-
To jsem dosadil za sinus na druhou "a".
-
A to se tedy rovná kosinus na druhou "a"
minus 1 plus kosinus na druhou "a".
-
Což se rovná…
Sečteme to.
-
Budu pokračovat napravo.
-
Máme jeden kosinus na druhou "a"
plus druhý kosinus na druhou "a",
-
takže to je
2 kosiny na druhou "a" minus 1.
-
A to všechno se rovná kosinus (2a).
-
A když budu chtít vyjádřit, čemu se rovná
kosinus na druhou "a" na základě tohoto?
-
Tak to prostě vypočítáme.
-
Když k oběma stranám rovnice přičteme 1…
Zapíšu to.
-
Tohle je naše další identita.
-
Ale když přičteme
k oběma stranám rovnice 1,
-
dostaneme, že 2 krát kosinus na druhou "a"
se rovná kosinus "2a" plus 1.
-
A když obě strany vydělíme 2,
vyjde nám,
-
že kosinus na druhou "a" se rovná 1/2…
Můžeme to přeskupit.
-
Krát 1 plus kosinus 2a.
-
A je to.
-
A máme další identitu.
-
Kosinus na druhou "a",
-
někdy se tomu říká identita
pro redukci mocniny.
-
A co kdybychom to chtěli vyjádřit
pomocí sinu na druhou "a"?
-
Vrátíme se zpátky
a z této identity víme,
-
že sinus na druhou "a" se rovná
1 minus kosinus na druhou "a".
-
Nebo ještě jinak.
-
Mohli bychom od obou stran odečíst
sinus na druhou "a" a dostali bychom…
-
Posunu se dolů.
-
Když od obou stran odečtu
sinus na druhou "a", dostaneme
-
kosinus na druhou "a" se rovná
1 minus sinus na druhou "a".
-
A můžeme se vrátit
k tomuto vzorci a napsat...
-
Napíšu to modře.
-
Můžeme napsat, že kosinus 2a se rovná…
-
Místo kosinus na druhou "a" napíšu toto…
-
Se rovná 1 minus sinus na druhou "a"
minus sinus na druhou "a".
-
Sinus na druhou "a".
-
Takže můj kosinus 2a je roven…
-
Mám minus sinus na druhou "a"
minus další sinus na druhou "a".
-
Takže mám 1 minus
2 krát sinus na druhou "a".
-
To je další identita.
-
Jiný způsob, jak vyjádřit kosinus 2a.
-
Našli jsme řadů způsobů,
jak napsat kosinus 2a.
-
Kdybychom chtěli vyjádřit
sinus na druhou 2a,
-
můžeme ho přičíst
k oběma stranám rovnice.
-
Udělám to a napíšu to sem,
abych ušetřil místo.
-
Trošku to posunu.
Takže se dostávám sem.
-
Když přičtu 2 krát sinus na druhou "a"
k oběma stranám, dostanu,
-
že 2 krát sinus na druhou "a"
plus kosinus 2a se rovná 1.
-
Od obou stran odečteme kosinus 2a.
-
Dostaneme, že 2 krát sinus na druhou "a"
se rovná 1 minus kosinus 2a.
-
Pak vydělíme obě strany 2 a vyjde nám,
-
že sinus na druhou "a" se rovná
1/2 krát (1 minus kosinus 2a).
-
A máme další objev.
Můžeme tomu tak říkat.
-
Naše zjištění.
-
A to je zajímavé.
Zajímavé sledovat tu symetrii.
-
Kosinus na druhou…
Jsou stejné, jenom tu máme
-
plus 2a pro kosinus na druhou
-
a tady máme minus kosinus 2a
u sinu na druhou.
-
Takže jsme už zjistili
spoustu zajímavých věcí.
-
Podíváme se, jestli můžeme
udělat se sinus 2a ještě něco.
-
Najdu barvu, kterou jsem ještě nepoužil.
Asi jsem už použil všechny.
-
Takže když chci vyjádřit sinus 2a,
to se rovná sinus (a plus a).
-
Což se rovná sinus "a"
krát kosinus...
-
Nechci to tak tlustě.
-
Krát kosinus "a" plus…
-
A tenhle kosinus "a", to je to druhé a.
Můžete to tak vnímat.
-
Plus sinus…
Používám ten vzorec sinus (a plus b).
-
Plus sinus toho druhého "a"
krát kosinus prvního "a".
-
Napsal jsem právě stejnou věc dvakrát,
-
takže to je prostě rovno
2 krát sinus "a" krát kosinus "a".
-
To bylo jednodušší.
-
Takže sinus 2a se rovná tomuto.
-
To je další výsledek.
-
Já už jsem tedy unavený
těmi všemi siny a kosiny.
-
A dokázal jsem spočítat vše,
co potřebuju pro svůj početní příklad.
-
Doufám, že vám tohle shrnutí pomohlo,
protože mně ano.
-
Můžete si toto zapsat,
můžete se to naučit nazpaměť,
-
ale doopravdy důležité je,
abyste si uvědomili,
-
že skutečně dokážete odvodit
všechny tyhle vzorce
-
z původních vzorců,
které už jsme znali.
-
A i u těchto vzorců vám můžu dokázat,
-
že je lze odvodit ze základních definic
našich goniometrických funkcí.
