-
Ülevaade trigonomeetrilistest valemitest
-
Ma olen juba teinud käputäie videoid, mis räägivad seda
-
millest ma hakkan rääkima -- trigonomeetrilistest valemitest
-
millest ma hakkan rääkima -- trigonomeetrilistest valemitest
-
Põhjus, miks ma seda teen, on et ma vajan ise ülevaadet
-
kuna ma lahendasin mõnesid algebra ülesandeid, mille puhul
-
oli seda vaja teada, ning mul on nüüd parem lindistustarkvara
-
Seega ma taban kaks kärbest ühe hoobiga: lindistan uuesti ühe
-
video ja värskendan teadmisi oma peas.
-
Seega trigonomeetrilised valemid, mida ma eeldan, et me teame
-
sest ma olen nende kohta juba videoid teinud ning nad on
-
natuke keerulised, et tõestada,
-
on et siinus(a+b) võrdub siinus(a) korrutada koosinus(b)
-
pluss siinus(b) korrutada koosinus(a).
-
See on esimene võrrand, mida ma eeldan, et me teame.
-
Kui me tahaksime teada siinus(a-b) -- ma panen selle
-
natuke teistmoodi kirja --
-
ma panen selle niimoodi kirja: siinus[a+(-c)]
-
ma panen selle niimoodi kirja: siinus[a+(-c)]
-
mis on sama, mis siinus(a-c), eks --
-
siis me võime kasutada seda ülemist valemit, et öelda
-
et see on võrdne siinus(a) korrutada koosinus(-c)
-
pluss siinus(-c) korrutada koosinus(a).
-
Ning me teame, et -- see on teine eeldus, mis
-
meil siin videos on -- me teame, et
-
koosinus(-c) võrdub lihtsalt koosinus(c)
-
sest me teame, et koosinusfunktsioon on paarisfunktsioon --
-
seda võib mõista, vaadates
-
koosinusfunktsiooni graafikut --
-
ja et siinusfunktsioon on paaritu funktsioon.
-
Seega siinus(-c) võrdub tegelikult
-
-siinus(c).
-
Seega me võime kasutada seda mõlemat teadmist, et uuesti
-
kirjutada teine rida, et öelda, et siinus(a-c) võrdub
-
siinus(a) korrutada koosinus(c) --
-
sest koosinus(-c) võrdub koosinus(c)
-
sest koosinus(-c) võrdub koosinus(c) --
-
Ehk siinus(a) korrutada koosinus(c)
-
miinus siinus(c) --
-
selle asemel, et kirjutada seda, võin kirjutada seda --
-
miinus siinus(c) korrutada koosinus(a).
-
Tähendab, me nii-öelda pseudotõestasime selle valemi
-
teades eelnevalt ülemisi ridu.
-
Olgu.
-
Nüüd ma kasutan kõiki neid, et tõestada rohkem
-
trigonomeetrilisi valemeid, mida mul vaja läheb.
-
Niisiis, teine valem on, et koosinus(a+b) võrdub --
-
siin me ei pane koosinust ja siinust segamini --
-
siin me ei pane koosinust ja siinust kõrvuti --
-
võrdub koosinus(a) korrutada siinus(b) --
-
palun vabandust. Ma just ütlesin, et
-
siin ei pane koosinust ja siinust kõrvuti ja siis ise panin --
-
Ehk koosinus(a) korrutada koosinus(b) miinus siinus(a) korrutada siinus(b).
-
Nüüd, kui me tahame teada, mis koosinus(a-b) on, siis
-
me kasutame neid samu omadusi.
-
Koosinus(-b) on ikka koosinus(b)
-
Seega, meil tuleb koosinus(a) korrutada koosinus(b)
-
Seega, meil tuleb koosinus(a) korrutada koosinus(b)
-
Aga siin tuleb meil siinus(-b), mis on sama, mis -siinus(b).
-
Aga siin tuleb meil siinus(-b), mis on sama, mis -siinus(b).
-
ning miinus ja miinus annavad kokku plussi, seega tuleb
-
pluss siinus(a) korrutada siinus(b)
-
See on tõesti natuke keeruline.
-
Kui sul on vasakul pluss, tuleb paremale miinus.
-
Kui sul on vasakul miinus, tuleb paremale pluss.
-
Kui sul on vasakul miinus, tuleb paremale pluss.
-
Olgu.
-
Ma ei taha sellesse liiga palju süveneda, sest meil on veel
-
palju valemeid, mida näidata.
-
Mis siis, kui ma tahaks, ütleme,
-
koosinus(2a) valemit?
-
Seega koosinus(2a), see on lihtsalt sama, mis koosinus(a+a).
-
Seega koosinus(2a), see on lihtsalt sama, mis koosinus(a+a).
-
Ja siis me võiksime kasutada seda ülemist valemit.
-
Kui mu teine "a" on lihtsalt mu "b", sis see võrdub
-
koosinus(a) korrutada koosinus(a) miinus
-
siinus(a) korrutada siinus(a).
-
Mu "b" on lihtsalt "a" selles situatsioonis, seega saan ma selle
-
kirjutada nii, et see võrdub koosinus(a) ruudus --
-
ma just kirjutasin koosinus(a) korrutada ta ise --
-
miinus siinus(a) ruudus.
-
See on siis valem:
-
koosinus(2a) võrdub koosinus(a) ruudus
-
miinus siinus(a) ruudus.
-
Las ma teen kasti ümber nendele valemitele,
-
mida me siin videos näitame.
-
Nii et ma just näitasin sulle seda valemit.
-
MIs siis, kui ma ei ole rahul?
-
Mis siis kui ma tahan selles valemis ainult koosinust?
-
Me võime mängu tuua ühe lihtsa valemi.
-
Me võime mängu tuua ühe lihtsa valemi.
-
See on üks kõige põhilisemaid valemeid.
-
Siinus(a) ruudus pluss koosinus(a) ruudus
-
võrdub 1.
-
Või sa võid seda kirjutada -- las ma mõtlen,
-
kuidas on kõige parem seda teha --
-
Sa võid kirjutada, et siinus(a) ruudus võrdub
-
1 miinus koosinus(a) ruudus.
-
Ja siis me võime võtta siinus(a) ruudus ja panna selle kasti sees olevasse valemisse.
-
Seega me võime kirjutada, et koosinus(2a)
-
võrdub koosinus(a) ruudus miinus --
-
aga siinus(a) ruudus on see siin.
-
Seega -- ma teen selle teist värvi --
-
koosinus(a) ruudus miinus 1 miinus koosinus(a) ruudus.
-
Selle ma avaldasin siinus(a) ruudus kaudu.
-
Ja seega koosinus(2a) võrdub koosinus(a) ruudus miinus 1
-
pluss koosinus(a) ruudus,
-
mis omakorda võrdub -- me lihtsalt liidame --
-
mis omakorda võrdub -- me lihtsalt liidame --
-
Seega tuleb koosinus(a) ruudus pluss koosinus(a) ruudus,
-
seega 2 koosinus(a) ruudus miinus 1.
-
Ja kõik see võrdub koosinus(2a).
-
Ja kõik see võrdub koosinus(2a).
-
Nüüd, mis siis, kui ma tahaksin saada võrrandit, kus oleks
-
koosinus(a) ruudus avaldatud selle valemi suhtes?
-
Me võime selle ära lahendada, kui
-
me lihtsalt liidame 1 mõlemale võrrandi poolele.
-
Las ma panen selle kirja.
-
See on üks meie tähtsatest valemitest.
-
Niisiis, kui me lisame 1 mõlemale võrrandi poolele, me saame
-
2 koosinus(a) ruudus võrdub koosinus(2a) pluss 1.
-
Ja kui me jagame võrrandi pooli kahega, saame me, et
-
koosinus(a) ruudus võrdub 1/2 -- me võime liidetavate asukohta
-
muuta -- ehk 1/2 korrutada 1 pluss koosinus(2a).
-
Ja me oleme valmis.
-
Meil on veel üks tähtis võrrand.
-
Meil on koosinus(a) ruudus valem.
-
Meil on koosinus(a) ruudus valem.
-
Mis siis, kui me tahaksime saada näiteks
-
siinus(a) ruudus?
-
Siis me võiksime minna tagasi üles ja ma teame
-
sellest võrrandist, et siinus(a) ruudus on võrdne
-
1 miinus koosinus(a) ruudus.
-
Või me võime teist teed pidi minna.
-
Me võiksime lahutada siinus(a) ruudus mõlemast võrrandi
-
poolest ja saaksime -- las ma kirjutan sinna alla.
-
Kui ma lahutaksin siinus(a) ruudus võrrandi mõlemast poolest,
-
me saaksime koosinus(a) ruudus võrdub 1 miinus siinus(a) ruudus.
-
Ja siis me võiksime minna tagasi selle valemi juurde siin ja
-
kirjtuada, et -- ma teen seda sinise värviga --
-
me võiksime kirjutada, et koosinus(2a) võrdub --
-
selle asemel, et kirjutada koosinus(a) ruudus ma kirjutan selle --
-
et koosinus(2a) võrdub 1 miinus siinus(a) ruudus
-
miinus veel üks siinus(a) ruudus.
-
miinus veel üks siinus(a) ruudus.
-
Seega mu koosinus(2a) võrdub millega?
-
Vaatame.
-
Mul on miinus siinus(a) ruudus miinus veel üks
-
siinus(a) ruudus.
-
Seega tuleb 1 miinus 2 siinus(a) ruudus.
-
Siin on veel üks võrrand.
-
Veel üks viis, kuidas koosinus(2a) kirja panna.
-
Meil on neid võimalusi juba päris palju.
-
Nüüd, kui me tahaksime avaldada siinus(a) ruudus, me
-
võiksime lisada 2 siinus(a) ruudus mõlemale võrrandi poolele.
-
Las ma teen seda ja ma kirjutan selle siia, et ruumi kokku hoida.
-
Las ma teen seda ja ma kirjutan selle siia, et ruumi kokku hoida.
-
Ma kerin natuke allapoole.
-
Niisiis:
-
Kui ma lisan 2 siinus(a) ruudus mõlemale võrrandi poolele, siis
-
ma saan 2 siinus(a) ruudus pluss koosinus(2a) võrdub 1.
-
Lahutan koosinus(2a) võrrandi mõlemast poolest.
-
Saan 2 siinus(a) ruudus on võrdne 1 miinus koosinus(2a).
-
Siis jagan mõlemad pooled kahega ja saan
-
siinus(a) ruudus võrdub 1/2 korrutada 1 miinus koosinus(2a).
-
Ja meil on veel üks nii-öelda avastus,
-
leid.
-
Ja see on huvitav.
-
Alati on huvitav vaadata sümmeetriat.
-
Koosinus ruudus -- need on identsed, ainult et
-
koosinusruudu puhul tuleb pluss koosinus(2a) ja
-
siinusruudu puhul tuleb miinus koosinus(2a).
-
Seega me oleme juba leidnud päris palju huvitavaid seoseid.
-
Vaatame, kas me saame midagi teha siinus(2a)-ga.
-
Vaatame, kas me saame midagi teha siinus(2a)-ga.
-
Valime uue värvi, mida ma ei ole veel kasutanud.
-
Noh, ma olen peaaegu kõik värvid ära kasutanud.
-
Igal juhul, kui ma tahan avaldada siinus(2a), siis see võrdub
-
siinus(a+a),
-
mis on võrdne siinus(a) korrutada...
-
mis on võrdne siinus(a) korrutada...
-
korrutada koosinus(a) -- ja see koosinus(a),
-
see on teine a.
-
Nii võib seda vaadata --
-
pluss siinus(a) -- ma kasutan lihtsalt siinuse summa valemit --
-
pluss siinus teisest "a-st" korrutada
-
koosinus esimesest "a-st".
-
Ma kirjutasin just sama asja 2 korda, seega see võrdub lihtsalt
-
2 siinus(a) korrutada koosinus(a).
-
See oli natuke lihtsam.
-
Seega siinus(2a) võrdub 2 siinus(a) koosinus(a)
-
See on veel üks hea võrrand.
-
See on veel üks hea võrrand.
-
Ma olen natuke väsinud kõikide nende
-
siinust ja koosinustega mängimisest.
-
Ja ma sain kõik oma tulemused, mida mul vaja oli enda
-
algebra ülesande jaoks, seega loodetavasti see oli hea ülevaade
-
sinu jaoks, sest see oli hea ülevaade minu jaoks.
-
Võid need valemid üles kirjutada.
-
Võid need valemid pähe õppida, kui soovid,
-
aga kõige tähtsam on, et kõiki neid valemeid
-
on võimalik algvalemitest tõlkida
-
mis meil alguses olid.
-
Ja isegi need, nende jaoks on mul tõestused olemas,
-
mis näitavad, kuidas neid saada
-
trigonomeeria põhivalemitest.
