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Ho gia' fatto un po' di video che coprono quello
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che copriro', le identita' trigonometriche che
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copriro' in questo video.
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Il motivo per cui lo sto facendo e' che ho bisogno io stesso
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di un ripasso perche' stavo facendo un po' di problemi di calcolo in cui devo conoscere
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queste cose e ho un software per registrare migliore
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quindi ho pensato due piccioni con una fava, fammi riregistrare
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un vido e tipo rinfrescarmi le cose in testa.
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Percio' le identita' trigonometriche che assumero' che conosciamo
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dato che ci ho gia' fatto i video sopra e che
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devo un po' ricordare o dimostrare, sono che
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sin(a + b) = sin(a) * cos(b)
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+ sin(b) * cos(a).
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Questa e' la prima che assumo che conosciamo in questo video.
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E poi se volessi conoscere il seno di --- beh, lo
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scrivo giusto un po' diverso.
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Se volessi sapere il seno di a piu' ---
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lo scrivo cosi' --- meno c?
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Che e' la stessa cosa di a - c, giusto?
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Beh, potremmo usare questa formula qui sopra per dire: beh,
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questo e' uguale al sin(a) * cos(-c)
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+ sin(-c) * cos(a).
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E sappiamo, e suppongo che questa sia un'altra assunzione che
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dovremo fare in questo video, che il
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coseno di -c e' uguale semplicemente al coseno di c.
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Che il coseno e' una funzione pari.
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E potresti vederlo guardando il grafico della
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funzione coseno, o anche la circonferenza unitaria stessa.
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E che il seno e' una funzione dispari.
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Che il seno di -c in realta' e' uguale
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a meno il seno di c.
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Quindi possiamo usare entrambi queste informazioni per riscrivere
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la seconda riga qui sopra per dire che il seno di a - c e' uguale
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al seno di a per il coseno di c.
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Perche' il coseno di meno c e' la stessa cosa
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del coseno di c.
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Per il coseno di c.
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E poi, meno il seno di c.
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Invece di scrivere questo, potrei scrivere cosi'.
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Meno il seno di c per il coseno di a.
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Quindi l'abbiamo tipo pseudo dimostrato conoscendo questo
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e questo in anticipo.
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A posto.
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E usero' tutte queste per tipo dimostrare un po'
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di altre identita' trigonometriche di cui avro' bisogno.
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Quindi l'altra identita' trigonometrica e' che il coseno di a + b
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e' uguale al coseno di a --- non mischi il coseno e
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il seno in questa situazione.
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Coseno di a per il seno di b.
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Questo e' un meno --- beh, scusa/
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Ho appena detto che non li mischi e poi li ho mischiati.
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Per il coseno di b meno seno di a per il seno di b.
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Adesso, se volessi conoscere quant'e' il coseno di a meno b,
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beh, usi le stesse proprieta'.
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Coseno di -b, sara' sempre il coseno di b.
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Quindi questo sara' il coseno di a per il coseno ---
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coseno di -b e' la stessa cosa di coseno di b.
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Ma qui avrai seno di -b, che e'
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la stessa cosa di meno seno di b.
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E quel meno si annulla, quindi sara' piu' seno
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di a per il seno di b.
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Percio' e' un po' insidioso.
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Quando qui hai un segno piu' li' ottieni un meno.
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Quando qui hai un segno meno, li' ottieni
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un segno piu'.
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Ma a posto cosi'.
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Non voglio addentrarmici troppo perche' abbiamo molte
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altre identita' da mostare.
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Quindi se volessi un'identita' per
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diciamo, il coseno di 2a?
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Percio' cos(2a).
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Beh, e' come dire cos(a + a).
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Quindi potremmo usare questa formula qui sopra.
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La mia secona a' e' questa b, quindi sara' semplicemente uguale a
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cos(a) * cos(a) -
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sin(a) * sin(a).
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Anche la b e' una a in questa situazione, che potrei
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riscrivere come, questo e' uguale al cos^2(a).
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Ho semplicemente scritto cos(a) due volte, o per se' stesso.
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Meno sin^2(a).
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Questa suppongo che sia gia' un'identita'.
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Cos(2a) = cos^2(a) -
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sin^2(a).
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Fammi incorniciare le identita' che stiamo mostrando
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in questo video.
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Quindi ti ho mostrato questa.
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E se non fossi soddisfatto?
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Se la volessi in termine di coseno?
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Beh, potremmo usare la definizione di circonferenza unitaria
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delle nostre identita' trigonometriche.
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E' tipo l'identita' maggiormente fondamentale.
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Il sin^2(a) + cos^2(a)
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= 1.
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O potremmo scriverlo --- fammi pensare al
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modo migliore per farlo.
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Potresti scrivere che il seno al quadrato di a e' uguale
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a 1 meno il coseno al quadrato di a.
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E potremmo prendere questo e sostituirlo qui.
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Quindi potresti riscrivere questa identita' come uguale a
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cos^2(a) - sin^2(a).
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Ma il seno al quadrato di a sta qui.
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Quindi meno --- lo faccio in un colore diverso.
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Meno 1 meno il coseno al quadrato di a.
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E' quello che ho appena sostituito per il seno al quadrato di a.
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E quindi questo e' uguale al coseno al quadrato di a meno 1
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piu' il coseno al quadrato di a.
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Che e' uguale a --- stiamo solo sommando.
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Lo continuo a destra.
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Abbiamo 1 coseno al quadrato di a piu' un altro coseno al quadrato
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di a, quindi e' 2 coseno al quadrato di a meno 1.
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E tutto cio' e' uguale al coseno di 2a.
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Ora, e se volessi ottenere un'identita' che mi dia
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quant'e' il coseno al quadrato di a in termini di questo?
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Beh, potremmo risolverlo.
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Se sommiamo 1 a entrambi i lati di questa equazione, in realta',
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fammelo scrivere.
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Questa e' una delle nostre altre identita'.
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Ma se sommiamo 1 a entrambi i lati di questa equazione otteniamo 2 per
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il coseno al quadrato di a e' uguale al coseno di 2a piu' 1.
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E se dividiamo entrambi i lati di questo per 2 otteniamo il coseno
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al quadrato di a e' uguale a 1/2 --- ora potremmo risistemare questi
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semplicemente per fare --- per 1 piu' il coseno di 2a.
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E abbiamo finito.
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E abbiamo un'altra identita'.
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Coseno al quadrato di a, alle volte e' chiamata formula della
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riduzione della potenza.
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Adesso, e se volessimo qualcosa in termini di
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seno al quadrato di a?
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Beh allora magari potremmo tornare qui sopra e sappiamo
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da questa identita' che il seno al quadrato di a e' uguale a 1
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meno il coseno al quadrato di a.
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O saremmo potuti andare al contrario.
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Avremmo potuto sottrarre il seno al quadrato di a da entrambi i lati
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e avremmo ottenuto --- fammi andare qui sotto.
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Se sottraggo il seno al quadrato di a da entrambi i lati ottieni
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cos^2(a) = 1 - sin^2(a).
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E poi potremmo tornare a questa formula qui sopra e
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potremmo scrivere --- lo faccio in questo blu.
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Potremmo scrivere che cos(2a) e' uguale a ---
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invece di scrivere cos^2(a), scrivo ---
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e' uguale a 1 meno seno al quadrato di a meno
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il seno al quadrato di a.
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Quindi a quant'e' uguale il mio coseno di 2a?
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Vediamo.
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Ho a meno seno al quadrato di a meno un altro
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seno al quadrato di a.
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Quindi ho 1 meno 2 seno al quadrato di a.
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Percio' ecco un'altra identita'.
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Un altro modo di scrivere il mio coseno di 2a.
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Stiamo scoprendo un sacco di modi per scrivere coseno di 2a.
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Adesso se volessimo risolvere seno al quadrato di 2a potremmo
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sommarlo a entrambi i lati dell'equazione.
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Quindi fammelo fare e lo scrivo qui giusto
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per risparmiare spazio.
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Fammi spostare un po' in basso.
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Allora, mi sposto qui.
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Se sommo 2sin^2(a) a entrambi i lati di questo,
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ottengo 2sin^2(a) + cos(2a) = 1.
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Sottraggo cos(2a) da entrambi i lati.
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Ottieni 2sin^2(a) = 1 - cos(2a).
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Poi dividi entrambi i lati di questo per 2 e ottieni
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sin^2(a) = 1/2 * 1 - cos(2a).
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E abbiamo un'altra scoperta, suppongo che potremmo chiamarla.
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La nostra scoperta.
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Ed e' interessante.
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E' sempre interessante guardare le simmetrie.
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coseno al quadrato --- e' identica eccetto che hai
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un piu' 2a per il coseno al quadrato e hai un meno
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coseno di 2a qui per il seno al quadrato.
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Quindi abbiamo gia' trovato un sacco di cose interessanti.
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Vediamo se possiamo fare qualcosa col seno di 2a.
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Fammi scegliere un colore nuovo che non ho usato.
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Beh, ho usato piu' o meno tutti i colori.
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Allora, se voglio calcolare il seno di 2a, questo e' uguale
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al seno di a piu' a.
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Quindi e' uguale al seno di a per il co--- beh, non
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voglio farlo cosi' spesso.
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Per il coseno di a piu' --- e questo coseno di a,
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questa e' la seconda a.
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In realta', potresti vederla cosi'.
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Piu' il seno --- sto usando solo il seno di a piu' b.
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Piu' il seno della seconda a per il
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coseno della prima a.
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Ho scritto la stessa cosa due volte, quindi questo e' solo
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2 seno di a coseno di a.
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Questo e' stato un po' piu' semplice.
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Quindi seno di 2a e' uguale a questo.
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Quindi questo e' un altro risultato.
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Lo so sono un po' stanco di giocare con tutti
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questi seni e coseni.
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E sono stato in grado di ottenere tutti i risultati di cui avevo bisogno per il mio
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problema di calcolo, quindi spero che sia stato un buon ripasso per
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te perche' e' stato un buon ripasso per me.
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Puoi scriverti queste cose.
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Puoi impararle a memoria se vuoi, ma la cosa importante
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da portarti via e' realizzare che puoi davvero derivare tutte
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queste formule semplicemente da queste formule iniziali
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che avevamo.
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E anche queste, ho le dimostrazioni per mostrarti come ottenere
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queste dalle definizioni di base delle nostre
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identita' trigonometriche.
