Tożsamości Trygonometryczne - Powtórka / Zabawa

Ponowne spotkanie z dowodami niektórych tożsamości trygonometrycznych.

Przygotowałem już do tej pory wiele filmów pokrywających temat, o którym chcę dzisiaj mówić.

Będę dziś mówić o tożsamościach trygonometrycznych.

Robię to dlatego, że sam potrzebuję powtórzyć ten materiał, ponieważ rozwiązywałem zadania

wymagające ode mnie tej wiedzy, i mam teraz lepszy program do nagrywania, więc pomyślałem, że

upiekę dwie pieczenie na jednym ogniu: nagram to jeszcze raz i zarazem odświeżę sobie te rzeczy.

Tożsamości trygonometryczne, które założę, że znamy

(ponieważ już zrobiłem o tym filmy i są one konieczne do zapamiętania wraz z dowodem)

Sinus(a+b) jest równy sinus(a) razy cosinus(b) dodać sinus(b) razy cosinus(a).

To pierwsza z tożsamości, których znajomość założę w tym filmie.

Następnie, jeżeli będziemy chcieli znać sinus -- zapiszę to po prostu odrobinę inaczej

Co jeśli chciałbym obliczyć sinus (a -- zapiszę to w ten sposób -- dodać (-c)) ?

Co jest tym samym co odjęcie c, racja?

W zasadzie moglibyśmy użyć wzoru powyżej, żeby stwierdzić, że jest to równe

sinus(a) razy cosinus(-c) dodać sinus(-c) razy cosinus(a).

Wiemy (i będzie to kolejnym założeniem jakie przyjmę w tym filmie), że

cosinus(-c) to po prostu cosinus(c)

Cosinus jest funkcją parzystą.

Możecie to zobaczyć na wykresie cosinusa, albo nawet na kole jednostkowym.

Natomiast sinus to funkcja nieparzysta.

Więc sinus(-c) będzie właściwie równy minus sinus(c)

Możemy użyć obu tych informacji, żeby przepisać drugą linijkę tutaj, mówiąc, że

sinus(a-c) jest równy sinus(a) razy cosinus (c)

Ponieważ cosinus(-c) jest tym samym co cosinus(c)

Odjąć sinus(c)

Zamiast pisać to [sin(-c)] mogę napisać to [-sin(c)]

Odjąć sinus(c) razy cosinus(a).

Więc mamy pseudo dowód tej tożsamości przy znajomości tego i tego [założeń]

Zadowalające.

Użyję tego aby udowodnić jeszcze więcej tożsamości trygonometrycznych,

których będę potrzebował.

Następna tożsamość trygonometryczna brzmi następująco:

Cosinus(a+b) jest równy cos(a) -- w tej sytuacji nie pomylicie sinusa z cosinusem

Cosinus(a) razy sinus(b) [błąd]

A tu będzie minus.

Och, wybaczcie. Dopiero powiedziałem, że niczego nie pomieszacie i sam pomieszałem.

Razy cosinus(b) odjąć sinus(a) razy sinus(b)

Teraz, jeśli chcecie wiedzieć ile wynosi cosinus(a-b), możecie użyć tych samych właściwości

Cosinus(-b) to nadal będzie cosinus(b)

Więc to będzie cosinus(a) razy cosinus(-b) {a więc to samo co cosinus(b)}

A tutaj będziemy mieli sinus(-b) co jest tym samym co minus sinus(b)

A ten minus unieważni tego, więc będzie dodać sinus(a) razy sinus(b)

Więc jest to trochę zdradzieckie.

Kiedy tutaj mamy znak plus dostajemy znak minus tam.

Kiedy tutaj mamy znak minus tam mamy znak plus.

Ale to też zadowalające.

Nie chcę się nad tym za długo rozwodzić bo mamy bardzo dużo tożsamości do pokazania.

Jeśli chciałbym mieć tożsamość na, powiedzmy, cosinus(2a)?

To jest dokładnie to samo co cosinus(a dodać a)

Następnie możemy użyć tożsamości z góry.

Jeżeli drugie a będzie moim b wtedy to jest po prostu równe

cosinus(a) razy cosinus(a) odjąć sinus(a) razy sinus(a)

b jest drugim a w tej sytuacji, którą mógłbym przepisać jako równą

cosinus kwadrat od a

Po prostu zapisałem cosinus(a) do 2 potęgi, albo przemnożony przez siebie.

Odjąć sinus kwadrat od a.

Myślę, że to już jest tożsamość.

Cosinus(2a) jest równy cosinus kwadrat od a odjąć sinus kwadrat od a

Wyróżnię ramką tożsamości, które pokazujemy w tym filmie.

Tę dopiero co pokazałem.

Co jeśli mnie to nie zadowala?

Co jeśli chcę otrzymać w wyniku jedynie cosinusy?

Moglibyśmy uciec do definicji funkcji trygonometrycznych z kołem jednostkowym.

To poniekąd najbardziej podstawowa tożsamość.

Sinus kwadrat od a dodać cosinus kwadrat od a jest równe 1.

Albo moglibyście to zapisać -- niech pomyślę nad najlepszym sposobem, żeby to zrobić.

Możecie napisać, że sinus kwadrat od a jest równy 1 odjąć cosinus kwadrat od a.

Następnie możemy to wziąć i zrobić podstawienie tutaj.

Możemy więc przepisać tę tożsamość jako równą

cosinus kwadrat od a odjąć sinus kwadrat od a

ale sinus kwadrat od a jest tutaj

więc odjąć -- zrobię to w innym kolorze

odjąć (1 odjąć cosinus kwadrat od a)

To jest to co właśnie podstawiłem za sinus kwadrat od a

To jest równe cosinus kwadrat od a odjąć 1 dodać cosinus kwadrat od a.

Co jest równe -- po prostu dodajemy,

Będę kontynuował po prawej.

Mamy jeden cosinus kwadrat od a dodać następny cosinus kwadrat od a

więc mamy 2 cosinusy kwadrat od a odjąć 1

I to wszystko jest równe cosinus(2a)

Co jeśli chciałbym dostać tożsamość, która powie mi czym jest cosinus kwadrat używając tylko cos(2a)?

Możemy po prostu rozwiązać ze względu na to [cosinus kwadrat] równanie.

Jeżeli dodamy jeden do obu stron równania.

Właściwie przepiszę to.

To następna z naszych tożsamości.

Jeśli dodamy 1 do obu stron równania dostaniemy

2 razy cosinus kwadrat od a jest równe cosinus(2a) dodać 1

Teraz jeśli podzielimy obustronnie przez 2 otrzymamy, że

cosinus kwadrat od a jest równy 1/2 -- możemy poprzestawiać te wyrazy --

razy 1 dodać cosinus(2a)

Skończyliśmy.

Mamy następną tożsamość.

Cosinus kwadrat a, czasem jest nazywana tożsamością redukcji wykładnika.

Co jeśli teraz chcielibyśmy otrzymać coś z sinusem kwadrat od a?

Może powinniśmy wrócić tutaj, a wiemy przecież z tej tożsamości, że

sinus kwadrat od a jest równy 1 odjąć cosinus kwadrat od a

Albo moglibyśmy to zrobić w inny sposób.

Moglibyśmy odjąć sinus kwadrat od obu stron i dostalibyśmy -- przejdę na dół

Jeśli odjąłbym obustronnie sinus kwadrat od a moglibyśmy dostać

cosinus kwadrat od a jest równy 1 odjąć sinus kwadrat od a

Następnie moglibyśmy wrócić do tego wzoru i zapisać -- zrobię to na niebiesko.

Moglibyśmy zapisać, że cosinus(2a) jest równy --

zamiast pisać cosinus kwadrat od a, zapiszę to

jest równe 1 odjąć sinus kwadrat od a odjąc sinus kwadrat od a

Cosinus(2a) jest więc równy?

Zobaczmy.

Mam minus sinus kwadrat odjąć następny sinus kwadrat.

Mam więc 1 odjąć 2 sinusy kwadrat od a.

To jest kolejna tożsamość.

Następny sposób na zapisanie cosinus(2a).

Odkrywamy wiele sposobów na zapisanie cosinus(2a)

Jeśli chcielibyśmy teraz rozwiązać równanie ze względu na sinus kwadrat od a

moglibyśmy dodać go obustronnie.

Zrobię to i zapiszę to tutaj, żeby zaoszczędzić miejsce.

Przewinę odrobinę w dół.

Będę pisał tutaj.

Jeżeli dodam 2 sinusy kwadrat od a do obu stron dostanę

2 sinusy kwadrat od a dodać cosinus(2a) jest równe 1

Odejmujemy obustronnie cosinus(2a)

Dostajemy, że 2 sinusy kwadrat od a jest równe 1 odjąć cosinus(2a)

Następnie dzielimy obustronnie przez 2 i otrzymujemy

sinus kwadrat od a jest równy 1/2 razy 1 odjąć cosinus(2a)

Możemy nazwać to naszym kolejnym odkryciem.

To ciekawe.

Zawsze są ciekawe sytuacje symetryczne.

Cosinus kwadrat -- one są identyczne oprócz tego, że mamy

dodać cosinus(2a) dla cosinusa kwadrat

oraz odjąć cosinus(2a) dla sinus kwadrat

Znaleźliśmy do tej pory mnóstwo ciekawych faktów.

Zobaczmy, czy możemy zrobić coś z sinus(2a)

Wybiorę nowy kolor którego jeszcze nie używałem.

Użyłem praktycznie wszystkich kolorów..

Jeśli więc chciałbym obliczyć sinus(2a) jest on równy sinus(a dodać a)

Co jest równe sinus(a) razy co..

(nie chcę żeby to było takie grube)

razy cosinus(a) dodać -- ten cosinus (a) to drugie a

Możecie patrzeć na to w ten sposób

Dodać sinus -- korzystam po prostu z sinus(a+b)

Dodać sinus od drugiego a razy cosinus od pierwszego a.

Napisałem to samo dwukrotnie więc to się łączy do 2 sinus(a)cosinus(a)

To było trochę łatwiejsze.

Sinus(2a) jest więc równy temu.

To kolejny wynik.

Jestem już trochę zmęczony zabawą z tymi wszystkimi sinusami i cosinusami,

ale udało mi się uzyskać wszystkie wyniki, których potrzebuję do moich całek.

Mam nadzieję, że to była dla was dobra powtórka, bo dla mnie na pewno była.

Możecie przepisać te rzeczy.

Możecie zapamiętać je wszystkie, ale najważniejsze jest,

by zauważyć, że można tak naprawdę wyprowadzić je wszystkie używając jedynie tych początkowych.

A nawet na te [początkowe], posiadam również dowody, które pokażą wam jak je dostać

z podstawowych definicji funkcji trygonometrycznych.