Trigonometry Identity Review/Fun

Revisiting the proofs of some trigonometry identities.

Обзор тригонометрических тождеств

Я уже провел несколько уроков, в которых рассматривал то,

что собираюсь рассмотреть и сейчас -

тригонометрические тождества.

Зачем я это делаю? Нужно было для себя повторить пройденное,

т.к. я решал задачи по исчислению, которые требовали

таких знаний. И у меня сейчас есть программа для записи получше,

потому я и подумал: а не убить ли сразу двух зайцев - снова запишу урок,

тем самым освежив все это в моей памяти.

Итак, тригонометрические тождества, как мы уже знаем,

т.к. я уже проводил уроки по ним,

немного запутанны для понимания и доказательства:

sin (a+b) = sin acos b + sin bcos a.

Это первое тождество в этом уроке. Полагаю, мы его знаем.

А если бы мы захотели найти синус… Хорошо,

напишу немного по-другому.

Если бы я захотел найти синус а плюс…

Напишу так (-с)?

Это ведь то же самое, что и (a-c), так?

Можно было бы использовать вот эту формулу, тогда

это равно sin acos (-c) + sin (-c)cos a.

И мы знаем (сделаем еще одно предположение в этом уроке),

что cos (-c) = cos c,

что косинус – это четная функция.

Вы можете это увидеть, посмотрев на график косинуса,

или даже на единичную окружность.

Мы знаем также, что синус – нечетная функция.

Что sin (-c) = - sin c.

Поэтому можем использовать эту информацию, чтобы переписать

вторую строку: sin (a-c) = sin a*cos c…

Потому что cos (-c) – то же, что и cos с.

Умножить на cos с.

Затем минус sin с.

Вместо того, чтобы написать это, могу написать это.

Минус sin c*cos a.

Так что мы вскользь это доказали, заранее зная

эти тождества.

Вполне логично.

Я использую все это, чтобы доказать ряд

других тригонометрических тождеств, которые мне понадобятся.

Итак, другое тригонометрическое тождество: cos (a+b) = cos a...

(в этом случае вы не смешиваете синусы и косинусы)

… равен cos a*sin b.

И минус… Ой, извините.

Я сказал, что не смешиваются, а сам смешал.

Умножить на cos b минус sin a*sin b.

Если вы хотите знать, чему равен cos (a-b),

то используйте те же свойства.

cos (-b) = cos b.

Потому это будет равно cos а, умноженному на косинус -

cos (-b) = cos b -

а здесь у вас будет sin (-b),

который равен –sin b.

И эти два минуса сокращаются, поэтому здесь будет плюс

sin a*sin b.

Это немного коварно.

Если здесь плюс, то здесь будет минус.

И если здесь минус, то

здесь будет плюс.

Но вполне логично.

Не хочу подробно останавливаться на этом, т.к.

нужно вам показать еще много тождеств.

Итак, что если бы я захотел узнать,

допустим, чему равен cos2a?

cos2а.

Ну, это то же самое, что cos(а+а).

Тогда мы могли бы применить вот эту формулу.

Если второе «а» здесь равно «b», то получится

cos acos a – sin asin a,

(т.к. «b» также равно «а» в этом случае).

Можно переписать это так: это равно cos²a…

Это я так переписал cos а, умноженный на самого себя.

… минус sin²a.

Вот это, я думаю, уже тождество.

cos2а = cos²a – sin²a.

Я буду выделять тождества, которые

мы выведем на этом уроке.

Только что я показал вам это.

А что, если меня это не устраивает?

Если я хочу выразить это тождество через косинус?

Ну, можно развернуть понятие единичной окружности

для наших тригонометрических функций.

Это почти что самое главное тождество.

sin²a + cos²a = 1.

Или можно было бы написать так…

Подумаю, как лучше это сделать.

Можно написать, что sin²a = 1 - cos²a.

А потом взять это и подставить сюда.

Тогда можно переписать это тождество как равное

cos²a – sin²a,

Но sin²a – вот он записан.

Поэтому минус – напишу другим цветом –

минус (1 - cos²a).

Это то, что я подставил для sin²a.

Потому это равно cos²a - 1 + cos²a,

что в свою очередь равно – если сложить…

(продолжу на правой стороне)

У нас есть один cos²a плюс еще один cos²a,

потому это равно 2 cos²a - 1.

И все это равно cos2а.

А теперь, если бы я захотел получить тождество, которое

показало бы, чему равен cos²a, исходя из этого тождества?

Это можно найти из этого тождества.

Если добавить 1 к обеим его частям…

Впрочем, давайте я запишу это.

Это одно из наших прочих тождеств.

Если добавим 1 к обеим частям этого тождества, получим

2 cos²a = cos2a + 1.

А если обе части разделить на 2, получится:

cos²a = ½ (можно переставить слагаемые)

умножить на (1 + cos2а).

Готово!

Теперь у нас есть еще одно тождество -

для cos²a, иногда это называют тождеством

понижения степени.

А теперь: если бы мы захотели получить тождество

относительно sin²a?

Возможно, мы могли бы вернуться к этому тождеству,

из которого известно, что sin²a = 1 - cos²a.

Или можно пойти другим путем.

Можно вычесть sin²a из обеих частей,

тогда мы получим… Напишу вот здесь, внизу.

Если я вычту sin²a из обеих частей, получится:

cos²a = 1 - sin²a.

А если вернуться к формуле для cos2а,

то можно записать – сделаю это голубым цветом…

Можно записать, что cos2а равен -

вместо cos²a подставлю вот это -

равен (1 - sin²a) - sin²a.

Итак, чему равен cos2а?

Посмотрим.

У нас есть минус sin²a минус еще sin²a.

Поэтому получится 1 - 2 sin²a.

Вот еще одно тождество.

И еще один способ записать cos2а.

Мы находим много способов выразить cos2а.

Теперь, если хотим решить тождество относительно 2 sin²a,

можем добавить его к обеим частям тождества.

Напишу здесь, чтобы не занимать много места.

Прокручу немного вниз…

Перейду сюда.

Если добавить 2 sin²a к обеим частям тождества,

получится 2 sin²a + cos2а = 1.

Вычтем cos2а из обеих частей.

Получим 2 sin²a = 1 - cos2а.

Затем разделим обе части на 2, получим

sin²a = ½ (1 – cos2a).

И у нас есть еще одно открытие, если можно так назвать.

Наше изобретение.

И это интересно.

Всегда интересно взглянуть на симметрию.

Косинус в квадрате – они идентичны, за исключением того, что

здесь у вас плюс косинус 2а для косинуса в квадрате,

а здесь – минус косинус 2а для синуса в квадрате.

Итак, мы нашли много интересных вещей.

Посмотрим, можем ли мы что-нибудь сделать с sin2а.

Выберу новый цвет, который еще не использовал.

Я уже использовал почти все цвета.

Итак, если я хочу найти sin2а - он равен sin(а+а).

Что в свою очередь равно sin а, умноженному на косинус

ой, я не хочу такую толщину…

… умноженному на cos a плюс – и это cos а,

это второе «а».

Можете рассматривать это так.

Плюс sin – я использую тождество sin(а + b).

Плюс sin второго «а» умножить на

cos первого «а».

Только что я написал одно слагаемое дважды, потому

это равно 2 sin a*cos a.

Так немного проще.

Итак, sin2а равен вот этому.

Это другой результат.

Чувствую, что я немного устал уже от экспериментов

со всеми этими синусами и косинусами.

Мне удалось получить все результаты, необходимые для

моих задач по исчислению. Надеюсь, это был хороший обзор

для вас, потому что он был хорошим для меня.

Можете выписать все эти выражения.

Можете их выучить наизусть, если хотите, но действительно важный шаг –

это обнаружить, что вы можете вывести все эти формулы,

исходя из этих исходных формул,

которые у нас были.

И даже эти формулы – у меня есть доказательства,

чтобы показать вам, как получить эти формулы

из основных определений тригонометрических функций.