-
Обзор тригонометрических тождеств
-
Я уже провел несколько уроков, в которых рассматривал то,
-
что собираюсь рассмотреть и сейчас -
-
тригонометрические тождества.
-
Зачем я это делаю? Нужно было для себя повторить пройденное,
-
т.к. я решал задачи по исчислению, которые требовали
-
таких знаний. И у меня сейчас есть программа для записи получше,
-
потому я и подумал: а не убить ли сразу двух зайцев - снова запишу урок,
-
тем самым освежив все это в моей памяти.
-
Итак, тригонометрические тождества, как мы уже знаем,
-
т.к. я уже проводил уроки по ним,
-
немного запутанны для понимания и доказательства:
-
sin (a+b) = sin acos b + sin bcos a.
-
-
Это первое тождество в этом уроке. Полагаю, мы его знаем.
-
А если бы мы захотели найти синус… Хорошо,
-
напишу немного по-другому.
-
Если бы я захотел найти синус а плюс…
-
Напишу так (-с)?
-
Это ведь то же самое, что и (a-c), так?
-
Можно было бы использовать вот эту формулу, тогда
-
это равно sin acos (-c) + sin (-c)cos a.
-
-
И мы знаем (сделаем еще одно предположение в этом уроке),
-
-
что cos (-c) = cos c,
-
что косинус – это четная функция.
-
Вы можете это увидеть, посмотрев на график косинуса,
-
или даже на единичную окружность.
-
Мы знаем также, что синус – нечетная функция.
-
Что sin (-c) = - sin c.
-
Поэтому можем использовать эту информацию, чтобы переписать
-
вторую строку: sin (a-c) = sin a*cos c…
-
-
Потому что cos (-c) – то же, что и cos с.
-
Умножить на cos с.
-
Затем минус sin с.
-
Вместо того, чтобы написать это, могу написать это.
-
Минус sin c*cos a.
-
Так что мы вскользь это доказали, заранее зная
-
эти тождества.
-
Вполне логично.
-
Я использую все это, чтобы доказать ряд
-
других тригонометрических тождеств, которые мне понадобятся.
-
Итак, другое тригонометрическое тождество: cos (a+b) = cos a...
-
(в этом случае вы не смешиваете синусы и косинусы)
-
-
… равен cos a*sin b.
-
И минус… Ой, извините.
-
Я сказал, что не смешиваются, а сам смешал.
-
Умножить на cos b минус sin a*sin b.
-
Если вы хотите знать, чему равен cos (a-b),
-
то используйте те же свойства.
-
cos (-b) = cos b.
-
Потому это будет равно cos а, умноженному на косинус -
-
cos (-b) = cos b -
-
а здесь у вас будет sin (-b),
-
который равен –sin b.
-
И эти два минуса сокращаются, поэтому здесь будет плюс
-
sin a*sin b.
-
Это немного коварно.
-
Если здесь плюс, то здесь будет минус.
-
И если здесь минус, то
-
здесь будет плюс.
-
Но вполне логично.
-
Не хочу подробно останавливаться на этом, т.к.
-
нужно вам показать еще много тождеств.
-
Итак, что если бы я захотел узнать,
-
допустим, чему равен cos2a?
-
cos2а.
-
Ну, это то же самое, что cos(а+а).
-
Тогда мы могли бы применить вот эту формулу.
-
Если второе «а» здесь равно «b», то получится
-
cos acos a – sin asin a,
-
(т.к. «b» также равно «а» в этом случае).
-
Можно переписать это так: это равно cos²a…
-
Это я так переписал cos а, умноженный на самого себя.
-
… минус sin²a.
-
Вот это, я думаю, уже тождество.
-
cos2а = cos²a – sin²a.
-
Я буду выделять тождества, которые
-
мы выведем на этом уроке.
-
Только что я показал вам это.
-
А что, если меня это не устраивает?
-
Если я хочу выразить это тождество через косинус?
-
Ну, можно развернуть понятие единичной окружности
-
для наших тригонометрических функций.
-
Это почти что самое главное тождество.
-
sin²a + cos²a = 1.
-
Или можно было бы написать так…
-
Подумаю, как лучше это сделать.
-
Можно написать, что sin²a = 1 - cos²a.
-
А потом взять это и подставить сюда.
-
Тогда можно переписать это тождество как равное
-
cos²a – sin²a,
-
Но sin²a – вот он записан.
-
Поэтому минус – напишу другим цветом –
-
минус (1 - cos²a).
-
Это то, что я подставил для sin²a.
-
Потому это равно cos²a - 1 + cos²a,
-
-
что в свою очередь равно – если сложить…
-
(продолжу на правой стороне)
-
У нас есть один cos²a плюс еще один cos²a,
-
потому это равно 2 cos²a - 1.
-
И все это равно cos2а.
-
А теперь, если бы я захотел получить тождество, которое
-
показало бы, чему равен cos²a, исходя из этого тождества?
-
Это можно найти из этого тождества.
-
Если добавить 1 к обеим его частям…
-
Впрочем, давайте я запишу это.
-
Это одно из наших прочих тождеств.
-
Если добавим 1 к обеим частям этого тождества, получим
-
2 cos²a = cos2a + 1.
-
А если обе части разделить на 2, получится:
-
cos²a = ½ (можно переставить слагаемые)
-
умножить на (1 + cos2а).
-
Готово!
-
Теперь у нас есть еще одно тождество -
-
для cos²a, иногда это называют тождеством
-
понижения степени.
-
А теперь: если бы мы захотели получить тождество
-
относительно sin²a?
-
Возможно, мы могли бы вернуться к этому тождеству,
-
из которого известно, что sin²a = 1 - cos²a.
-
Или можно пойти другим путем.
-
Можно вычесть sin²a из обеих частей,
-
тогда мы получим… Напишу вот здесь, внизу.
-
Если я вычту sin²a из обеих частей, получится:
-
cos²a = 1 - sin²a.
-
А если вернуться к формуле для cos2а,
-
то можно записать – сделаю это голубым цветом…
-
Можно записать, что cos2а равен -
-
вместо cos²a подставлю вот это -
-
равен (1 - sin²a) - sin²a.
-
-
Итак, чему равен cos2а?
-
Посмотрим.
-
У нас есть минус sin²a минус еще sin²a.
-
-
Поэтому получится 1 - 2 sin²a.
-
Вот еще одно тождество.
-
И еще один способ записать cos2а.
-
Мы находим много способов выразить cos2а.
-
Теперь, если хотим решить тождество относительно 2 sin²a,
-
можем добавить его к обеим частям тождества.
-
Напишу здесь, чтобы не занимать много места.
-
Прокручу немного вниз…
-
Перейду сюда.
-
Если добавить 2 sin²a к обеим частям тождества,
-
получится 2 sin²a + cos2а = 1.
-
Вычтем cos2а из обеих частей.
-
Получим 2 sin²a = 1 - cos2а.
-
Затем разделим обе части на 2, получим
-
sin²a = ½ (1 – cos2a).
-
И у нас есть еще одно открытие, если можно так назвать.
-
Наше изобретение.
-
И это интересно.
-
Всегда интересно взглянуть на симметрию.
-
Косинус в квадрате – они идентичны, за исключением того, что
-
здесь у вас плюс косинус 2а для косинуса в квадрате,
-
а здесь – минус косинус 2а для синуса в квадрате.
-
Итак, мы нашли много интересных вещей.
-
Посмотрим, можем ли мы что-нибудь сделать с sin2а.
-
Выберу новый цвет, который еще не использовал.
-
Я уже использовал почти все цвета.
-
Итак, если я хочу найти sin2а - он равен sin(а+а).
-
-
Что в свою очередь равно sin а, умноженному на косинус
-
ой, я не хочу такую толщину…
-
… умноженному на cos a плюс – и это cos а,
-
это второе «а».
-
Можете рассматривать это так.
-
Плюс sin – я использую тождество sin(а + b).
-
Плюс sin второго «а» умножить на
-
cos первого «а».
-
Только что я написал одно слагаемое дважды, потому
-
это равно 2 sin a*cos a.
-
Так немного проще.
-
Итак, sin2а равен вот этому.
-
Это другой результат.
-
Чувствую, что я немного устал уже от экспериментов
-
со всеми этими синусами и косинусами.
-
Мне удалось получить все результаты, необходимые для
-
моих задач по исчислению. Надеюсь, это был хороший обзор
-
для вас, потому что он был хорошим для меня.
-
Можете выписать все эти выражения.
-
Можете их выучить наизусть, если хотите, но действительно важный шаг –
-
это обнаружить, что вы можете вывести все эти формулы,
-
исходя из этих исходных формул,
-
которые у нас были.
-
И даже эти формулы – у меня есть доказательства,
-
чтобы показать вам, как получить эти формулы
-
из основных определений тригонометрических функций.