< Return to Video

Trigonometry Identity Review/Fun

  • 0:00 - 0:01
    Обзор тригонометрических тождеств
  • 0:01 - 0:03
    Я уже провел несколько уроков, в которых рассматривал то,
  • 0:03 - 0:05
    что собираюсь рассмотреть и сейчас -
  • 0:05 - 0:06
    тригонометрические тождества.
  • 0:06 - 0:09
    Зачем я это делаю? Нужно было для себя повторить пройденное,
  • 0:09 - 0:12
    т.к. я решал задачи по исчислению, которые требовали
  • 0:12 - 0:15
    таких знаний. И у меня сейчас есть программа для записи получше,
  • 0:15 - 0:19
    потому я и подумал: а не убить ли сразу двух зайцев - снова запишу урок,
  • 0:19 - 0:22
    тем самым освежив все это в моей памяти.
  • 0:22 - 0:25
    Итак, тригонометрические тождества, как мы уже знаем,
  • 0:25 - 0:27
    т.к. я уже проводил уроки по ним,
  • 0:27 - 0:32
    немного запутанны для понимания и доказательства:
  • 0:32 - 0:39
    sin (a+b) = sin acos b + sin bcos a.
  • 0:39 - 0:48
  • 0:48 - 0:51
    Это первое тождество в этом уроке. Полагаю, мы его знаем.
  • 0:51 - 0:53
    А если бы мы захотели найти синус… Хорошо,
  • 0:53 - 0:54
    напишу немного по-другому.
  • 0:54 - 1:00
    Если бы я захотел найти синус а плюс…
  • 1:00 - 1:02
    Напишу так (-с)?
  • 1:02 - 1:05
    Это ведь то же самое, что и (a-c), так?
  • 1:05 - 1:08
    Можно было бы использовать вот эту формулу, тогда
  • 1:08 - 1:16
    это равно sin acos (-c) + sin (-c)cos a.
  • 1:16 - 1:24
  • 1:24 - 1:26
    И мы знаем (сделаем еще одно предположение в этом уроке),
  • 1:26 - 1:29
  • 1:29 - 1:35
    что cos (-c) = cos c,
  • 1:35 - 1:38
    что косинус – это четная функция.
  • 1:38 - 1:41
    Вы можете это увидеть, посмотрев на график косинуса,
  • 1:41 - 1:43
    или даже на единичную окружность.
  • 1:43 - 1:45
    Мы знаем также, что синус – нечетная функция.
  • 1:45 - 1:49
    Что sin (-c) = - sin c.
  • 1:53 - 1:56
    Поэтому можем использовать эту информацию, чтобы переписать
  • 1:56 - 2:02
    вторую строку: sin (a-c) = sin a*cos c…
  • 2:02 - 2:05
  • 2:05 - 2:08
    Потому что cos (-c) – то же, что и cos с.
  • 2:09 - 2:12
    Умножить на cos с.
  • 2:12 - 2:15
    Затем минус sin с.
  • 2:15 - 2:17
    Вместо того, чтобы написать это, могу написать это.
  • 2:17 - 2:23
    Минус sin c*cos a.
  • 2:23 - 2:26
    Так что мы вскользь это доказали, заранее зная
  • 2:26 - 2:28
    эти тождества.
  • 2:28 - 2:28
    Вполне логично.
  • 2:28 - 2:31
    Я использую все это, чтобы доказать ряд
  • 2:31 - 2:34
    других тригонометрических тождеств, которые мне понадобятся.
  • 2:34 - 2:40
    Итак, другое тригонометрическое тождество: cos (a+b) = cos a...
  • 2:40 - 2:44
    (в этом случае вы не смешиваете синусы и косинусы)
  • 2:44 - 2:46
  • 2:46 - 2:49
    … равен cos a*sin b.
  • 2:49 - 2:51
    И минус… Ой, извините.
  • 2:51 - 2:54
    Я сказал, что не смешиваются, а сам смешал.
  • 2:54 - 3:03
    Умножить на cos b минус sin a*sin b.
  • 3:03 - 3:08
    Если вы хотите знать, чему равен cos (a-b),
  • 3:08 - 3:10
    то используйте те же свойства.
  • 3:10 - 3:13
    cos (-b) = cos b.
  • 3:13 - 3:17
    Потому это будет равно cos а, умноженному на косинус -
  • 3:17 - 3:21
    cos (-b) = cos b -
  • 3:21 - 3:24
    а здесь у вас будет sin (-b),
  • 3:24 - 3:27
    который равен –sin b.
  • 3:27 - 3:31
    И эти два минуса сокращаются, поэтому здесь будет плюс
  • 3:31 - 3:34
    sin a*sin b.
  • 3:34 - 3:35
    Это немного коварно.
  • 3:35 - 3:38
    Если здесь плюс, то здесь будет минус.
  • 3:38 - 3:39
    И если здесь минус, то
  • 3:39 - 3:41
    здесь будет плюс.
  • 3:41 - 3:42
    Но вполне логично.
  • 3:42 - 3:44
    Не хочу подробно останавливаться на этом, т.к.
  • 3:44 - 3:47
    нужно вам показать еще много тождеств.
  • 3:47 - 3:50
    Итак, что если бы я захотел узнать,
  • 3:50 - 3:53
    допустим, чему равен cos2a?
  • 3:53 - 3:57
    cos2а.
  • 3:57 - 4:02
    Ну, это то же самое, что cos(а+а).
  • 4:02 - 4:03
    Тогда мы могли бы применить вот эту формулу.
  • 4:03 - 4:07
    Если второе «а» здесь равно «b», то получится
  • 4:07 - 4:14
    cos acos a – sin asin a,
  • 4:18 - 4:22
    (т.к. «b» также равно «а» в этом случае).
  • 4:22 - 4:27
    Можно переписать это так: это равно cos²a…
  • 4:27 - 4:31
    Это я так переписал cos а, умноженный на самого себя.
  • 4:31 - 4:35
    … минус sin²a.
  • 4:35 - 4:38
    Вот это, я думаю, уже тождество.
  • 4:38 - 4:41
    cos2а = cos²a – sin²a.
  • 4:42 - 4:46
    Я буду выделять тождества, которые
  • 4:46 - 4:47
    мы выведем на этом уроке.
  • 4:47 - 4:50
    Только что я показал вам это.
  • 4:50 - 4:51
    А что, если меня это не устраивает?
  • 4:51 - 4:54
    Если я хочу выразить это тождество через косинус?
  • 4:54 - 4:57
    Ну, можно развернуть понятие единичной окружности
  • 4:57 - 4:58
    для наших тригонометрических функций.
  • 4:58 - 5:01
    Это почти что самое главное тождество.
  • 5:01 - 5:05
    sin²a + cos²a = 1.
  • 5:07 - 5:10
    Или можно было бы написать так…
  • 5:10 - 5:11
    Подумаю, как лучше это сделать.
  • 5:11 - 5:16
    Можно написать, что sin²a = 1 - cos²a.
  • 5:19 - 5:21
    А потом взять это и подставить сюда.
  • 5:21 - 5:24
    Тогда можно переписать это тождество как равное
  • 5:24 - 5:29
    cos²a – sin²a,
  • 5:29 - 5:32
    Но sin²a – вот он записан.
  • 5:32 - 5:36
    Поэтому минус – напишу другим цветом –
  • 5:36 - 5:39
    минус (1 - cos²a).
  • 5:39 - 5:42
    Это то, что я подставил для sin²a.
  • 5:42 - 5:47
    Потому это равно cos²a - 1 + cos²a,
  • 5:47 - 5:50
  • 5:50 - 5:52
    что в свою очередь равно – если сложить…
  • 5:52 - 5:54
    (продолжу на правой стороне)
  • 5:54 - 5:56
    У нас есть один cos²a плюс еще один cos²a,
  • 5:56 - 6:03
    потому это равно 2 cos²a - 1.
  • 6:03 - 6:05
    И все это равно cos2а.
  • 6:09 - 6:11
    А теперь, если бы я захотел получить тождество, которое
  • 6:11 - 6:14
    показало бы, чему равен cos²a, исходя из этого тождества?
  • 6:14 - 6:15
    Это можно найти из этого тождества.
  • 6:15 - 6:18
    Если добавить 1 к обеим его частям…
  • 6:18 - 6:19
    Впрочем, давайте я запишу это.
  • 6:19 - 6:21
    Это одно из наших прочих тождеств.
  • 6:21 - 6:28
    Если добавим 1 к обеим частям этого тождества, получим
  • 6:28 - 6:37
    2 cos²a = cos2a + 1.
  • 6:37 - 6:41
    А если обе части разделить на 2, получится:
  • 6:41 - 6:47
    cos²a = ½ (можно переставить слагаемые)
  • 6:47 - 6:55
    умножить на (1 + cos2а).
  • 6:55 - 6:57
    Готово!
  • 6:57 - 7:00
    Теперь у нас есть еще одно тождество -
  • 7:00 - 7:05
    для cos²a, иногда это называют тождеством
  • 7:05 - 7:07
    понижения степени.
  • 7:07 - 7:09
    А теперь: если бы мы захотели получить тождество
  • 7:09 - 7:11
    относительно sin²a?
  • 7:11 - 7:14
    Возможно, мы могли бы вернуться к этому тождеству,
  • 7:14 - 7:16
    из которого известно, что sin²a = 1 - cos²a.
  • 7:18 - 7:19
    Или можно пойти другим путем.
  • 7:19 - 7:23
    Можно вычесть sin²a из обеих частей,
  • 7:23 - 7:25
    тогда мы получим… Напишу вот здесь, внизу.
  • 7:25 - 7:28
    Если я вычту sin²a из обеих частей, получится:
  • 7:28 - 7:34
    cos²a = 1 - sin²a.
  • 7:34 - 7:37
    А если вернуться к формуле для cos2а,
  • 7:37 - 7:41
    то можно записать – сделаю это голубым цветом…
  • 7:41 - 7:48
    Можно записать, что cos2а равен -
  • 7:48 - 7:51
    вместо cos²a подставлю вот это -
  • 7:51 - 7:56
    равен (1 - sin²a) - sin²a.
  • 7:56 - 7:57
  • 8:01 - 8:05
    Итак, чему равен cos2а?
  • 8:05 - 8:06
    Посмотрим.
  • 8:06 - 8:08
    У нас есть минус sin²a минус еще sin²a.
  • 8:08 - 8:08
  • 8:08 - 8:14
    Поэтому получится 1 - 2 sin²a.
  • 8:14 - 8:15
    Вот еще одно тождество.
  • 8:15 - 8:19
    И еще один способ записать cos2а.
  • 8:19 - 8:23
    Мы находим много способов выразить cos2а.
  • 8:23 - 8:26
    Теперь, если хотим решить тождество относительно 2 sin²a,
  • 8:26 - 8:28
    можем добавить его к обеим частям тождества.
  • 8:28 - 8:30
    Напишу здесь, чтобы не занимать много места.
  • 8:33 - 8:36
    Прокручу немного вниз…
  • 8:36 - 8:37
    Перейду сюда.
  • 8:37 - 8:41
    Если добавить 2 sin²a к обеим частям тождества,
  • 8:41 - 8:51
    получится 2 sin²a + cos2а = 1.
  • 8:51 - 8:54
    Вычтем cos2а из обеих частей.
  • 8:54 - 9:01
    Получим 2 sin²a = 1 - cos2а.
  • 9:01 - 9:05
    Затем разделим обе части на 2, получим
  • 9:05 - 9:12
    sin²a = ½ (1 – cos2a).
  • 9:12 - 9:17
    И у нас есть еще одно открытие, если можно так назвать.
  • 9:17 - 9:19
    Наше изобретение.
  • 9:19 - 9:20
    И это интересно.
  • 9:20 - 9:21
    Всегда интересно взглянуть на симметрию.
  • 9:21 - 9:24
    Косинус в квадрате – они идентичны, за исключением того, что
  • 9:24 - 9:28
    здесь у вас плюс косинус 2а для косинуса в квадрате,
  • 9:28 - 9:31
    а здесь – минус косинус 2а для синуса в квадрате.
  • 9:31 - 9:33
    Итак, мы нашли много интересных вещей.
  • 9:33 - 9:37
    Посмотрим, можем ли мы что-нибудь сделать с sin2а.
  • 9:40 - 9:43
    Выберу новый цвет, который еще не использовал.
  • 9:43 - 9:45
    Я уже использовал почти все цвета.
  • 9:45 - 9:50
    Итак, если я хочу найти sin2а - он равен sin(а+а).
  • 9:50 - 9:54
  • 9:54 - 10:04
    Что в свою очередь равно sin а, умноженному на косинус
  • 10:04 - 10:05
    ой, я не хочу такую толщину…
  • 10:05 - 10:10
    … умноженному на cos a плюс – и это cos а,
  • 10:10 - 10:11
    это второе «а».
  • 10:11 - 10:12
    Можете рассматривать это так.
  • 10:12 - 10:16
    Плюс sin – я использую тождество sin(а + b).
  • 10:16 - 10:18
    Плюс sin второго «а» умножить на
  • 10:18 - 10:20
    cos первого «а».
  • 10:20 - 10:22
    Только что я написал одно слагаемое дважды, потому
  • 10:22 - 10:26
    это равно 2 sin a*cos a.
  • 10:26 - 10:27
    Так немного проще.
  • 10:27 - 10:32
    Итак, sin2а равен вот этому.
  • 10:32 - 10:33
    Это другой результат.
  • 10:36 - 10:38
    Чувствую, что я немного устал уже от экспериментов
  • 10:38 - 10:40
    со всеми этими синусами и косинусами.
  • 10:40 - 10:42
    Мне удалось получить все результаты, необходимые для
  • 10:42 - 10:45
    моих задач по исчислению. Надеюсь, это был хороший обзор
  • 10:45 - 10:48
    для вас, потому что он был хорошим для меня.
  • 10:48 - 10:49
    Можете выписать все эти выражения.
  • 10:49 - 10:52
    Можете их выучить наизусть, если хотите, но действительно важный шаг –
  • 10:52 - 10:54
    это обнаружить, что вы можете вывести все эти формулы,
  • 10:54 - 11:00
    исходя из этих исходных формул,
  • 11:00 - 11:00
    которые у нас были.
  • 11:00 - 11:03
    И даже эти формулы – у меня есть доказательства,
  • 11:03 - 11:05
    чтобы показать вам, как получить эти формулы
  • 11:05 - 11:07
    из основных определений тригонометрических функций.
Title:
Trigonometry Identity Review/Fun
Description:

Revisiting the proofs of some trigonometry identities.

more » « less
Video Language:
English
Duration:
11:07
edubicle2 added a translation

Russian subtitles

Incomplete

Revisions