< Return to Video

ทบทวน/สนุกกับสมบัติตรีโกณมิติ

  • 0:00 - 0:00
    -
  • 0:00 - 0:03
    ผมได้ทำวิดีโอหลายอันแล้วโดยพูดถึงเรื่อง
  • 0:03 - 0:04
    ที่ผมจะพูดถึงต่อไป นั่นคือสมบัติตรีโกณมิติ
  • 0:04 - 0:06
    ที่ผมจะพูดถึงในวิดีโอนี้
  • 0:06 - 0:09
    สาเหตุที่ผมทำ เพราะผมอยากทบทวน
  • 0:09 - 0:12
    เองด้วย เพราะผมกำลังทำโจทย์แคลคูลัสที่
  • 0:12 - 0:15
    ทำให้ผมต้องรู้ของพวกนี้, และผมมีซอฟต์แวร์อัดวิดีโอดีกว่าเดิมด้วย
  • 0:15 - 0:18
    ผมเลยคิดว่ายิงปืนนัดเดียวได้นกสองตัว ผมจะ
  • 0:18 - 0:22
    อัดวิดีโอและทบทวนความคิดผมไปพร้อมกันเลย
  • 0:22 - 0:25
    สมบัติตรีโกณฯ ที่ผมจะถือว่าเรารู้แล้ว
  • 0:25 - 0:26
    เพราะผมทำวิดีโอเรื่องพวกนั้นมาแล้ว และมันค่อนข้าง
  • 0:26 - 0:32
    ยุ่งหากต้องจำหรือพิสูจน์ นั่นคือไซน์
  • 0:32 - 0:38
    ของ a บวก b เท่ากับไซน์ของ a คูณโคไซน์
  • 0:38 - 0:47
    ของ b บวกไซน์ของ b คูณโคไซน์ของ a
  • 0:47 - 0:50
    นั่นคืออันแรก ผมว่าใช่นะ ในวิดีโอที่เรารู้มา
  • 0:50 - 0:53
    แล้วหากเราอยากรู้ว่าไซน์ของ -- อืม ผมแค่
  • 0:53 - 0:54
    เขียนอีกแบบนึง
  • 0:54 - 1:00
    หากผมอยากหาไซน์ของ a บวก -- ผม
  • 1:00 - 1:02
    จะเขียนแบบนี้แล้วกัน -- ลบ c?
  • 1:02 - 1:04
    มันก็เหมือนกับ a ลบ c, จริงไหม?
  • 1:04 - 1:07
    เราก็ใช้สูตรนี่ตรงนี้ แล้วบอกว่า,
  • 1:07 - 1:15
    นั่นเท่ากับไซน์ของ a คูณโคไซน์ของลบ c
  • 1:15 - 1:24
    บวกไซน์ของลบ c คูณโคไซน์ของ a
  • 1:24 - 1:26
    และเรารู้, ผมเดาว่านี่เป็นเรื่องที่
  • 1:26 - 1:28
    เรารู้มาก่อนแล้วก่อนมาที่วิดีโอนี้, คือว่า
  • 1:28 - 1:35
    โคไซน์ของลบ c เท่ากับโคไซน์ของ c
  • 1:35 - 1:37
    นั่นคือโคไซน์คือฟังก์ชันคู่
  • 1:37 - 1:40
    และคุณรู้ได้จากกราฟ
  • 1:40 - 1:43
    ของฟังก์ชันโคไซน์ หรือแม้กระทั่งจากวงกลมหน่วยเอง
  • 1:43 - 1:45
    และไซน์เป็นฟังก์ชันคี่
  • 1:45 - 1:48
    นั่นคือไซน์ของลบ c ที่จริงแล้วเท่ากับ
  • 1:48 - 1:53
    ลบไซน์ของ c
  • 1:53 - 1:55
    เราก็ใช้ข้อมูลสองอย่างนี้เขียน
  • 1:55 - 2:01
    บรรทัดที่สองตรงนี้ว่า ไซน์ของ a ลบ c เท่ากับ
  • 2:01 - 2:05
    ไซน์ของ a คูณโคไซน์ของ c
  • 2:05 - 2:07
    เพราะโคไซน์ของ c ก็เหมือน
  • 2:07 - 2:09
    กับโคไซน์ของ c
  • 2:09 - 2:11
    คูณโคไซน์ของ c
  • 2:11 - 2:14
    แล้วก็, ลบไซน์ของ c
  • 2:14 - 2:16
    แทนที่จะเขียนนี่, ผมเขียนแบบนี้แทน
  • 2:16 - 2:23
    ลบไซน์ของ c คูณโคไซน์ของ a
  • 2:23 - 2:26
    แล้วเราก็เหมือนกับพิสูจน์นี้ได้หากเรารู้
  • 2:26 - 2:27
    อันนี้กับอันนี้มาก่อน
  • 2:27 - 2:28
    ใช้ได้
  • 2:28 - 2:30
    และผมจะใช้สูตรเหล่านี้พิสูจน์
  • 2:30 - 2:34
    สมบัติตรีโกณฯ อื่นๆ ที่ผมอยากได้อีก
  • 2:34 - 2:40
    สมบัติตรีโกณฯ อีกอันคือโคไซน์ของ a บวก b
  • 2:40 - 2:43
    เท่ากับโคไซน์ของ a -- คุณอย่าสลับโคไซน์
  • 2:43 - 2:45
    กับไซน์ในกรณีแบบนี้ล่ะ
  • 2:45 - 2:48
    โคไซน์ของ a คูณไซน์ของ b
  • 2:48 - 2:51
    และนี่คือลบ -- โอ้ ขอโทษ
  • 2:51 - 2:53
    ผมเพิ่งบอกคุณว่าอย่าปนกัน แล้วผมก็ทำมันปนซะเอง
  • 2:53 - 3:03
    คูณโคไซน์ของ b ลบ ไซน์ของ a คูณไซน์ของ b
  • 3:03 - 3:08
    ทีนี้, หากคุณอยากรู้ว่าโคไซน์ของ a ลบ b คืออะไร
  • 3:08 - 3:09
    คุณก็ใช้สมบัติเดิมได้
  • 3:09 - 3:12
    โคไซน์ของลบ b, มันก็ยังเท่ากับโคไซน์ของ b
  • 3:12 - 3:16
    และนั่นจะเป็นโคไซน์ของ a คูณโคไซน์ --
  • 3:16 - 3:20
    โคไซน์ของลบ b นั้นเหมือนกับโคไซน์ของ b
  • 3:20 - 3:23
    แต่ในที่นี้ เราจะได้ไซน์ของลบ b, ซึ่ง
  • 3:23 - 3:26
    ก็เท่ากับลบไซน์ของ b
  • 3:26 - 3:31
    และลบนั่นตัดกัน เราเลยได้บวกไซน์
  • 3:31 - 3:34
    ของ a คูณไซน์ของ b
  • 3:34 - 3:34
    มันต้องระวังหน่อย
  • 3:34 - 3:37
    ตอนคุณมีเครื่องหมายบวก คุณจะได้เครื่องหมายลบตรงนี้
  • 3:37 - 3:39
    ตอนคุณมีเครื่องหมายลบ คุณจะได้
  • 3:39 - 3:40
    เครื่องหมายบวกตรงนี้
  • 3:40 - 3:41
    แต่เอาล่ะ
  • 3:41 - 3:44
    ผมไม่อยากใช้เวลามากนัก เพราะเรายังมี
  • 3:44 - 3:46
    สมบัติมากมายต้องแสดง
  • 3:46 - 3:50
    หากผมอยากได้สมบัติของ
  • 3:50 - 3:53
    สมมติว่า โคไซน์ของ 2a?
  • 3:53 - 3:56
    โคไซน์ของ 2a
  • 3:56 - 4:01
    นั่นก็เหมือนกับโคไซน์ของ a บวก a
  • 4:01 - 4:03
    แล้วเราก็ใช้สูตรนี่ตรงนี้
  • 4:03 - 4:07
    หาก a ตัวที่สองของผมคือ b, แล้วนี่ก็เท่ากับ
  • 4:07 - 4:14
    โคไซน์ของ a คูณโคไซน์ของ a ลบไซน์ของ
  • 4:14 - 4:18
    a คูณไซน์ของ a
  • 4:18 - 4:21
    b ของผมก็คือ a ในกรณีนี้, ซึ่งผมเขียน
  • 4:21 - 4:26
    ใหม่ได้ว่า นี่เท่ากับโคไซน์กำลังสองของ a
  • 4:26 - 4:30
    ผมแค่เขียนโคไซน์ของ a คูณตัวเองสองครั้ง หรือคูณตัวเอง
  • 4:30 - 4:34
    ลบไซนืกำลังสองอขง a
  • 4:34 - 4:37
    นี่คือสมบัติอย่างหนึ่งแล้ว
  • 4:37 - 4:40
    โคไซน์ของ 2a เท่ากับโคไซน์กำลังสองของ a ลบ
  • 4:40 - 4:42
    ไซน์กำลังสองของ a
  • 4:42 - 4:46
    ขอผมแกะกล่องสมบัติที่เราจะ
  • 4:46 - 4:47
    แสดงในวิดีโอกันบ้าง
  • 4:47 - 4:49
    ผมเพิ่งแสดงอันนึงไป
  • 4:49 - 4:51
    แต่ถ้าผมยังไม่พอใจล่ะ?
  • 4:51 - 4:53
    ถ้าผมอยากเขียนทุกอย่างในรูปของโคไซน์ล่ะ?
  • 4:53 - 4:56
    เราก็ใช้นิยามวงกลมหน่วย
  • 4:56 - 4:58
    ของฟังก์ชันตรีโกณฯ ได้
  • 4:58 - 5:00
    นี่เป็นเหมือนสมบัติพื้นฐานที่สุด
  • 5:00 - 5:05
    ไซน์กำลังสองขง a บวกโคไซน์กำลังสอง
  • 5:05 - 5:06
    ของ a เท่ากับ 1
  • 5:06 - 5:10
    หรือคุณอาจเขียนว่า -- ผมคิด
  • 5:10 - 5:11
    วิธีทำที่ดีที่สุดสักหน่อย
  • 5:11 - 5:15
    คุณสามารถเขียนได้ว่า ไซน์กำลังสองของ a เท่ากับ
  • 5:15 - 5:18
    1 ลบโคไซน์ ไซน์กำลังสองของ a
  • 5:18 - 5:21
    แล้วเราก็เอานี่มาแทนตรงนี้ได้
  • 5:21 - 5:24
    เราสามารถเขียนสมบัตินี่ใหม่ว่าเท่ากับ
  • 5:24 - 5:28
    โคไซน์กำลังสองของ a ลบไซน์กำลังสองของ a
  • 5:28 - 5:32
    แต่ไซน์กำลังสอง a อยู่นี่ตรงนี้
  • 5:32 - 5:35
    งั้นลบ -- ผมจะใช้อีกสีนะ
  • 5:35 - 5:39
    ลบ 1 ลบโคไซน์กำลังสองของ a
  • 5:39 - 5:42
    นั่นคือสิ่งที่ผมใช้แทนไซน์กำลังสองของ a
  • 5:42 - 5:47
    แล้วนี่ก็เท่ากับโคไซน์กำลังสองของ a ลบ 1
  • 5:47 - 5:49
    บวกโคไซน์กำลังสองของ a
  • 5:49 - 5:52
    ซึ่งเท่ากับ -- เราแค่บวกเข้าไป
  • 5:52 - 5:54
    ผมจะทำต่อทางขวานะ
  • 5:54 - 5:56
    เราได้ 1 โคไซน์กำลังสองของ a บวกโคไซน์กำลังสอง
  • 5:56 - 6:02
    ของ a อีกตัว, เลยเป็น 2 โคไซน์กำลังสองของ a ลบ 1
  • 6:02 - 6:04
    และทั้งหมดนั้นเท่ากับโคไซน์ของ 2a
  • 6:04 - 6:08
    -
  • 6:08 - 6:11
    แล้วถ้าหากผมอยากได้สมบัติที่บอกว่า
  • 6:11 - 6:13
    โคไซน์กำลังสอง a คืออะไรในรูปของเจ้านี่ล่ะ?
  • 6:13 - 6:15
    เราก็สามารถแก้มันได้
  • 6:15 - 6:17
    ถ้าเราบวก 1 ทั้งสองข้างสมการ,
  • 6:17 - 6:18
    ขอผมเขียนลงไปนะ
  • 6:18 - 6:21
    นี่คือสมบัติอีกอย่างหนึ่ง
  • 6:21 - 6:28
    หากเราบวก 1 ทั้งสองข้างของสมการ เราจะได้ 2 คูณ
  • 6:28 - 6:36
    โคไซน์กำลังสองของ a เท่ากับโคไซน์ของ 2a บวก 1
  • 6:36 - 6:40
    และหากเราหารทั้งสองข้างด้วย 2 เราจะได้
  • 6:40 - 6:47
    โคไซน์กำลังสองของ a เท่ากับ 1/2 -- ทีนี้เราเรียงเทอมใหม่
  • 6:47 - 6:54
    ลองทำดู -- คูณ 1 บวกโคไซน์ของ 2a
  • 6:54 - 6:56
    เราก็จบแล้ว
  • 6:56 - 6:59
    ได้อีกสมบัตินึง
  • 6:59 - 7:04
    โคไซน์กำลังสองของ a, บางครั้งเรียกว่าสมบัติ
  • 7:04 - 7:07
    ลดเลขชี้กำลัง
  • 7:07 - 7:09
    ทีนี้ ถ้าเราอยากได้มันในรูป
  • 7:09 - 7:11
    ไซน์กำลังสองของ a ล่ะ?
  • 7:11 - 7:14
    บางทีเราสามารถกลับไปตรงนี้ แล้วเรารู้จาก
  • 7:14 - 7:16
    สมบัตินี้ว่าไซน์กำลังสองของ a เท่ากับ 1
  • 7:16 - 7:17
    ลบโคไซน์กำลังสองของ a
  • 7:17 - 7:18
    หรือเราทำกลับอีกทางก็ได้
  • 7:18 - 7:22
    เราลบไซน์กำลังสองออกทั้งสองข้าง
  • 7:22 - 7:25
    แล้วเราจะได้ -- ขอผมเขียนลงไปนะ
  • 7:25 - 7:27
    หากผมลบไซน์กำลังสองของ a จากทั้งสองข้าง คุณจะได้
  • 7:27 - 7:34
    โคไซน์กำลังสองของ a เท่ากับ 1 ลบไซน์กำลังสองของ a
  • 7:34 - 7:36
    แล้วเราก็กลับไปที่สูตรนี่บนนี้
  • 7:36 - 7:41
    แล้วเราก็เขียนลงไป -- ผมจะใช้สีฟ้านี่นะ
  • 7:41 - 7:48
    เราก็เขียนมันลงไปได้ว่าโคไซน์ของ 2a เท่ากับ --
  • 7:48 - 7:50
    แทนที่จะเขียนเป็นโคไซน์กำลังสองของ a, ผมจะเขียนนี่ -
  • 7:50 - 7:55
    ว่าเท่ากับ 1 ลบไซน์กำลังสองของ a ลบ
  • 7:55 - 7:56
    ไซน์กำลังสองของ a
  • 7:56 - 8:00
    -
  • 8:00 - 8:05
    แล้วโคไซน์ของ 2a เท่ากับอะไร?
  • 8:05 - 8:05
    ลองดู
  • 8:05 - 8:07
    ผมได้ ลบ ไซน์กำลังสองของ a ลบ
  • 8:07 - 8:08
    ไซน์กำลังสองของ a อีกตัว
  • 8:08 - 8:13
    เราเลยได้ 1 ลบ 2 ไซน์กำลังสองของ a
  • 8:13 - 8:15
    นี่ก็อีกสมบัติหนึ่ง
  • 8:15 - 8:19
    เป็นวิธีเขียนโคไซน์ของ 2a อีกแบบนึง
  • 8:19 - 8:22
    เราค้นพบวิธีเขียนโคไซน์ของ 2a หลายแบบเลย
  • 8:22 - 8:25
    ทีนี้หากเราอยากแก้หาไซน์กำลังสองของ 2a เราก็
  • 8:25 - 8:27
    บวกมันเข้าทั้งสองข้างของสมการ
  • 8:27 - 8:29
    ผมจะทำให้ดู และผมเขียนตรงนี้
  • 8:29 - 8:32
    จะได้ประหยัดที่
  • 8:32 - 8:36
    ขอผมเลื่อนลงมาหน่อยนะ
  • 8:36 - 8:37
    ผมจะไปตรงนี้
  • 8:37 - 8:40
    ถ้าผมแค่บวก 2 ไซน์กำลังสองของ a ทั้งสองข้าง ผม
  • 8:40 - 8:51
    จะได้ 2 ไซน์กำลังสองของ a บวกโคไซน์กำลังสองของ 2a เท่ากับ 1
  • 8:51 - 8:53
    ลบโคไซน์ของ 2a จากทั้งสองข้าง
  • 8:53 - 9:01
    คุณจะได้ 2 ไซน์กำลังสองของ a เท่ากับ 1 ลบโคไซน์ของ 2a
  • 9:01 - 9:05
    แล้วคุณก็หารทั้งสองข้างนี้ด้วย 2 แล้วได้ไซน์
  • 9:05 - 9:12
    กำลังสองของ a เท่ากับ 1/2 คูณ 1 ลบโคไซน์ของ 2a
  • 9:12 - 9:17
    แล้วเราก็ได้สมบัติอีกอย่างแล้ว จะเรียกอย่างนั้นก็ได้
  • 9:17 - 9:18
    การค้นพบใหม่
  • 9:18 - 9:19
    น่าสนใจดี
  • 9:19 - 9:21
    มันน่าสนใจเวลาเห็นความสมมาตร
  • 9:21 - 9:24
    โคไซน์กำลังสอง -- มันเหมือนกันเลยยกเว้นคุณได้
  • 9:24 - 9:27
    บวก 2a ตรงนี้สำหรับโคไซน์กำลังสอง และคุณมีลบ
  • 9:27 - 9:30
    โคไซน์ของ 2a ตรงนี้สำหรับไซน์กำลังสอง
  • 9:30 - 9:33
    เราได้ค้นพบสิ่งที่น่าสนใจมากมาย
  • 9:33 - 9:37
    ลองดูว่าเราทำอะไรกับไซน์ของ 2a ได้บ้าง
  • 9:37 - 9:40
    -
  • 9:40 - 9:42
    ขอผมเลือกสีที่ยังไม่ได้ใช้หน่อย
  • 9:42 - 9:44
    อืม ผมใช้ครบทุกสีแล้ว
  • 9:44 - 9:50
    งั้นหากผมอยากหาไซน์ของ 2a, นี่ก็เท่ากับ
  • 9:50 - 9:54
    ไซน์ของ a บวก a
  • 9:54 - 10:03
    ซึ่งเท่ากับไซน์ของ a คูณโค -- อืม ผมไม่อยาก
  • 10:03 - 10:04
    ทำตัวหนา
  • 10:04 - 10:10
    คูณโคไซน์ของ a บวก -- โคไซน์ของ a นี่
  • 10:10 - 10:11
    นั่นคือ a ตัวที่สอง
  • 10:11 - 10:12
    ที่จริง คุณคิดอย่างนั้นก็ได้
  • 10:12 - 10:15
    บวกไซน์ -- ผมแค่ใช้ไซน์ของ a บวก b
  • 10:15 - 10:18
    บวกไซน์ของ a ตัวที่สองคูณ
  • 10:18 - 10:19
    โคไซน์ของ a ตัวแรก
  • 10:19 - 10:22
    ผมแค่เขียนของอย่างเดียวกันสองที นี่เลยได้
  • 10:22 - 10:26
    เป็น 2 ไซน์ของ a, โคไซน์ของ a
  • 10:26 - 10:27
    นั่นเลยดูง่ายขึ้น
  • 10:27 - 10:32
    ดังนั้นไซน์ของ 2a เท่ากับอันนั้น
  • 10:32 - 10:33
    นั่นคือผลอีกอย่างนึง
  • 10:33 - 10:35
    -
  • 10:35 - 10:38
    ผมรู้ว่าผมเริ่มเหนื่อยกับการเล่น
  • 10:38 - 10:39
    ไซน์โคไซน์พวกนี้แล้ว
  • 10:39 - 10:41
    และผมได้ผลที่ต้องการสำหรับ
  • 10:41 - 10:44
    โจทย์แคลคูลัสแล้วด้วย หวังว่านี่คงช่วย
  • 10:44 - 10:48
    คุณทบทวนด้วย เพราะมันช่วยผมทบทวนไปในตัว
  • 10:48 - 10:49
    คุณสามารถเขียนสิ่งเหล่านี้ลงไป
  • 10:49 - 10:51
    คุณจำมันก็ได้ถ้าต้องการ แต่บทเรียน
  • 10:51 - 10:54
    ที่สำคัญคือการสังเกตว่าคุณสามารถพิสูจน์
  • 10:54 - 10:59
    สูตรเหล่านี้ทั้งหมดนี้จากสูตรเริ่มต้นเหล่านี้
  • 10:59 - 11:00
    ที่เรามี
  • 11:00 - 11:02
    และสูตรเหล่นี้ ผมได้พิสูจน์ไว้ด้วยว่าจะหา
  • 11:02 - 11:05
    มันจากนิยามพื้นฐานของฟังก์ชัน
  • 11:05 - 11:06
    ตรีโกณฯ อย่างไร
Title:
ทบทวน/สนุกกับสมบัติตรีโกณมิติ
Description:

กลับมาดูวิธีพิสูจน์สมบัติตรีโกณมิติต่างๆ

more » « less
Video Language:
English
Duration:
11:07

Thai subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.